Казанджан Э.П. Графики (2004) (1003961), страница 2
Текст из файла (страница 2)
эксгремум (в дан ььом случае при х=О) возможен и тогда, когда производная бесконечна или пе существует. Стало быть, найдя производную у', нужно искать точки, где она равна О, а> или пе существует. Это расширенное необходимое условие экстремума. 1 достаточное условие экстремума. 1:,сли функция у=у(х)»спрерывна в некоторой окрестности точки х„, лиффсрснцнрусма в этой окрестности, кроме, быть может, самой точки х„, и ее производная у' меняетзнак в точке х„,тофункцияуилзеез эксгремум вточке хя .' максимум прн смене знака с+ па —, минимум при смене >нека с- на+. 11 достаточное условие:экстремума.
Если функция у=у(х) имеет непрерывную вторую производнун> в окрсспюсти гочки зя и У (хя)=0, а У" (хо)еО, то функция у имеет экстремум в гочке хе ' максимум при у" (х„) <0 „минимум при у" (х„) ь О. ТЕЙЛОРОВСКИЕ РАЗЛО)КЕ!.!ИЯ ОКВИВАЛЕН'1'НЫЕ БЕС!:ОНЕЧР!О МАЛЫЕ х 1 — солх —— з х->О; зпь г- х е — 1-х 1п(! +х) —.т агсгйп х — х !Кх — х — х /1+.г — ! —— агс !К х — х БЕСКОНЕЧНО БО ' И>1! !ИЕ х - >:ю; !Их <х" «е' > х > е' =!'хе- — + — ч-... (!х1<е>) > х' х з!ах =- х — — + — -.„(Ц < ьэ) 3! х х сг>з.з.=.1-- — -ч — ' —... (!х!«ю) '>! й! х х 1п(!+х) =х — — + — —... (!х!<1) 2 3 т( т — 1) (1з-х) =.1-:тт+ — — ---х-+...
(!х(<1) 1, ! ----- =1 — хе х — ... — =1 ь х+ х +.„('х! «!) 1ьт 1 — х х х агсгцх= х- — ' ь — -- ... (!х; «!) 3 5 х 3х агсгйпх — х+ — ' —, — '' — -„. !!х( .!) 6 40 1)(» .! 2х-! 3) .= » "+х з з» 3 — многочлсн 3-й степени (рнс.!). Очевидно: х ь2.т-»3= (.Хч-!) ь2>0; у(!)=О г<0 нрн х<1; у: О ири,» >1; !'(0) -' -3, [-!айлел! и!«ои»55о !и!.»с: '\ г: — «т «»'.! ! — «~ хз — ! -!.—: Π—. ф» иеииэ! Вен«- 31) 3 1. ! =(.» ! ду возрас«всг: г»- !«т ' " =О ири х =- —— !'ис.
! перси«б; 1'! 88 ( — - ):= — — -=-3,26. [1р 27 ! ! — кр«гвая вьи«уклл, ири х: —— 3 во! 5!»та !'1', !7,, 15', Коигролынас го 5ки: у( -!) — -!. ! ) -',;- —: — '.13; г!— ,2! 8»Л 1!3 'т 64 [) г»»с» 55»5, что кривая симме ! рична относительно точки ! 88» - . — '. В этом чс5-5»о убелиться. если ввести 55о»ву«о«пере- 3 271 ! чснн»х! х ! --л, !'о»да 3 88 фуи5тиия ! ! — ис'5ст»зая 27 88 !' Х »Х Х вЂ” «"! 5 -Г ... ! 5< .«27 ! по аргучсн»у т рассмотрснис характсрных примеров начнем с многочлепов: »-! у =-пах -> !«!.т и,..-!.
п»,хч !«„; будем полагать па > 0: ц > 3 [очевидно. что при н =-0 и л =- ! получается прямая, а при и = 2— 55арабола. объекты с««ником известные). 1!апоыниь!»!»5«щис свойства чногочлснов, Область опрсдслсния —. вся чис.«овги! ось. Всгоду лен[«ер!»и»«к«с»ь и бсско5геч5гая «[55ффере>5- цирусчость. Асимптот иет. ! [!«и х -> +со; у -э +е«, а при т -> — «з . г -э +я, в зависимости о! чепгосги или почетности с»висни и. 1 ! 7 [рис. 2). Очевидно: .х 5 т-! 2=(.»» —; ! — >О 2,) 4 при всех >и у(2) =0; у <0 при х < 2 „1 > О, 13 при х > 2; г(0) = -4. ! Найлом прои»водные; у'=3»" -2х=х(3т-2)=0 0 - чаксимум, г»ч, (О) =»-4; .~,»!» )2/3 - л»инил»ул!.
у»», ) --1---1 12/ '7=-43 5. " '»3/ ' 1 »[«ун»тция возрастает ири х.. 0 и х > 2/3; убыРэ»с. 2 вает при 0 < х«2/3; у" = бх — ' = О при т = !!3 — персгио; у( 1«3) = — 1 ! О/27 = — 4, 07 . Кривая выпукла ири .» < 1/3. вогнута при .»- >1 3 . Кривая симмсзричиа относительно гочки (1,'3, ! !О/27). Контрольныс точки у( -!) = -6; у(- !/2) -- — 35/8 = -4,38; у(1) = — 4: у(3/ ) = =- — ! 7/8 = -2,13; !«(9/4) .—. — !49/6«4 ж 2,33, 3.
у -- (.т — 2) (.т ' -' 2х ! 5 ) 6. ) =(х — 2)(х 5-1) 7. г = (.». — 4 ) ( х з - 4 ) 8. г=(х — 4)(х -'5) 4. г=-( т — 3)(х — 2»+ 2) 5.,г =-(х-3)(» е.та 3) Полезно показать (самостоятельио), что всякий многочлеи 3- ей степени [независимо от того, один у него действительный корень нли три) симметричен относительно т»эчки пере«иоа. Схема доказательства простак у =х ч ат" +6х+с, у'=- ...„5»= ...
= 0 ири» -- ... [обозначил! через и). Вводим иовуго персмсннуго т=х — гх, тогда: х" ==,, х" = ..„у =....=( ь ...!+ 1«, т. е. функция у (3 нечетная по ар«умснту .т-- с», 2. у ==(х-- )(х -' х+21-.,» — х' -4 — многочлсн 3 й степени 9. у — -(х — 1)(х — 2)(.» — 3) — многочлен 3-й степени (рис. 3).
Очевидно: у=О при х=1, х=2 и х=З; у<0 при х<! и 2сх<3; у>0 при 1< т<2 и х>3; у(0) = -- -6. График функции симметричен относительно то ~ки 12, О), так как функция у нечегна по смешснному аргументу г =.».— 2; г(г) =(! 1)!(1 1)=- =г(г' 1) =г'-г. Найдем производные: Рис. 3 у, '=Зт — 1=0 цри г=1/А =0,58 минимум; у„„„(1/»/3)= =-2/Э»~3 =-0,38. Функция убывает цри О <! < 1/»/3. возрасгвет при 1>)/ /3; у,", =-6! =-0 при 1=0 — перегиб; у! „=-у), =-(1.
Кривая вогнута при ! > О, т. е, .т > 2 . Контрольныс точки. у'( „=-1; у),, = »'),, =-! 5/8.=1,88, !3. у=(х — 1)(х '-!); , — (т 2)(хз,2); у =. (х-ь1)(х -ь1) 14. у=(х -ь1)(х--х-1)=.т — »" —.т-1 многочлец 4-й степени !рис. 4). Очевидно: (1,62 ! =-0 при х =(! ь»/5)/2 = »; у > О при '( О,бэ' х,-0,62 н х>1,62; у<О при -0.62<»-:1,62, Найлем произнолцыс: у' = 4хз — Зх' — 1=-(х — 1)(2». + 1) = 0 при л ==! — минимум: у„„„(1) .= -2. Ф» кция убываег при х, 1, возрастает при .т -.
1: у" =12х" -бл = Ох(2х-1) =0 10. у =- х(х — 2)(х — 1) 11. у =-х(х ч-!н.т ~ 2) 12. у=-(х-1) (л — 2) !о (о (о при х = ; у=~ — точки пере- ~!/2 ',— 25/16=-1,56 гиба. Кривая выпукла при О<.»с1/2 и вогнута при х<0 и х>1/2.
Когггрольные точки; у(0) =--1; г(-1):--2; у'(О) =- 1; у'(1/2)=-5/4; у( ) =5. !'нс. 5 Самостоятельно: у=-(х ь1)(». ч.л.-1). 15, у = ( х" +1) (л — х + 1) =- х ' - х з + 2»" — х+ 1 — многочлсн 4-й степени 1рнс. 5). Очевидно: у > О при всех х !оба сомножителя пгвюжительны); у(0)=1, Найдем ироизводныс: »':--4т'-3» +4х — 1=0— данное уравнение легко решается даже методом половинного деления [пшос здравый смысл, разумеется), Имеем: у'(О)- — 1<0, г'(1)=-4>0, ул(1/2)=3/4>0: у'(1/1)= = — !/8<0; у'(О.З)=0,038>0, у'(0,29)=0,005>О, г'(0,28)= =- 0,027<0.
Значит, х=0,29 — искомый корень с погрегвносгью це более 0,01, а большая точность н не нужна. так как графически неощутима. Отметим. что других корней уравнецис у'=0 нс имест. В самом деле, при х<0 все четыре аин асмых огрицательны. а при.т>0 уравнение ыожн»» представить в эквивале1пном виде: 1 3» Зх -'1 „2 4х — 3». +4х-1 — 4л.= ', =3- — „— х+1 .»+1 — здесь при л >О левая часть монотоюю возрастает от 0 до хл а правая — ог! до 3 — геометрически очевидно.
чзо прямая у=.4х и 2 кривая у=З-, име~»эт лишь одну сечку пересечения. Ксгаць х ь! несложными рассуждениями мои»но резко сузить интервал поиска корня. Ясно„что корень це может быть н промежутке 0 <х< 1/4. так как при этом 4хз-Зх' <». -Зх = — Зт <О, и 4х-1<0, стало быль, и их сумма г'<О. С другой с~ороньц 4». — Зт +4х-1=- !1 3 9 ! 55 ( 3'! 55 =4х х" †--я+ †)+ — х-1= 4х~х- — ) + — х-1, откуда следует, 4 64! 16 (, 3,) 16 что при х>0,3: у'>О Значит, искомый корень лсхкит в промсгкуткс О. 25 < х < 0,30.
Итак, у'=-О при х = О, 29 — минимум; !:„„„(0,29)=0,86, Функция убывает при х<0,29 и возрасгаст при х>0,29, 11 !3 у"=!2х- -бх+4=.12 х- — ! е — >О нри всех х — кривая асин 47 ду вогнута, Контрольные точки; у(1) =2; у(-!/2) =35/! 6=2,19 16. в=(х +1)(х+1)(х+4)= х'+5х'+5л'+5л+4 . многочлсн 4-й степени (рис. 6). Очевидно: у(--4)=О, 1(-!)=О; г<0 прн -4<х«-1, у>0 при х<-4 и зз х>- 1; у(0)=4, 1!айдсм производные. -3,«т -яха -! вп з у'=4х +15х ч10л--5--0 при Л Нт 3! л=-."ч07 — минимум;у,„„,(-3,07)= =-2 О. 07 (чтобы убедиться, и о других корней производная у' нс иысст, сопоставьте геогистрический вид сс «составлзпоьдихв — кривых у=4х' и у=-15х" — 10т — 5). Функция убывает при х<-3,07, возрастает при .л>-3,07; у"=12х-.ь30т-'10=0 ! -0,40 Г 2,5! пРи х+15ьл/!05) /!2=1 ' — У=з — псРсгибы.
(-2,10 '(-11З! Кривая выпукла при — 2,10 «х <-0„40 и вогнута при х < -2,10 и л>-040. Контрольные точки: у(-9/2)=595/!6=37,19; у(!/2)=-. =-135/16 = 8,44 . 17, у=(х +1)(х ь2)(х«4) 18. у=(л +1)(ле1)(хз-5) 19. у=х (х-2)(х-З).=х'-5л ' .бл '— многочлсн 4-й степени !рис, 7!. Очевидно: у(0)=0, у(2)=-0, ь(3):=О, у<0 при 2<х«3, г>0 при х О„ 0<х<2 и х>3. Рис. 7 1!айдсм производные; у'=-4х— -!5х ~-12х=-0 ,Π— гиинимум, у„,„,(0)=-0: при х==з(15з-;~33) 3=",59 - минимум, у„„„(2,59) = — 1,62; г, !(15- /33)/8=1,16 — максимум. у„„(1,62)е2,08.
Функция убывает при т.. О и !.1б-..л.:2.59 и аозрасгает при 0<а<!,!б и х>2,59: у"=12х ->От+!2 — б(2л' - 5тч 2)=0 'г )о при х=~ -у.=.л — точки пс!лс~пба. Кривая в«шукла !1/2 " (! 5/16=0,94 при 1/2<х<2 и вогнута при л <02 и .л >2, з5 Контрольные гочки: у(-!/2)= -: =2,19; у(7/2)--147/!6=9,19. 16 1 20. у= — х (т — 2)(т-5) 1О 22, у:=(х-!)' (х-2) 23. у=(х — 2х-13)(х +!) 24. у — (х - 4х-!)(х -в-1) 25. у=(х +!)(х +2) 29. у=(х-1)(х-2)(х'+!) 30.
у=(х «!)(х+3)(х ч1) 31. у = (х в- 4) ( х ч. 5) (л +1) 32. у = (. +1) (х + !) 26. у=.(х +!)(х +х+1) 27. у= — (т ч-1)(хв т йхя-5) в! 1 28. у=-(х--.!)( э-,б +1!) 4 вв=(х+1)(х+2)(хл ч!) 33. у=-(хч-1)(2х+1)(х е1) 34. у=(х-!)(2т+!)(х' ь1) 35. у==(х — 1) (х+3) 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
