Казанджан Э.П. Графики (2004) (1003961), страница 8
Текст из файла (страница 8)
455. г- „!т агс!ц(<ил.) агс<ц х 456. у= — - —,"--. Функция нсчегная, определс<га прп тх<). у>0 при х>0 (рис. 46): у(чО)=+ о, т. с. х=Π— вертикальная асимптота, выход справа вверх; <(+ !)=О. т. е. у=О и!ризоп- Найдем производные: 1 2агс<цл. 1 1' х у =,, „, — — —,~ — ',. — 2агс<цл < 0 — функх (1+х ) х' .х'<,1+х цня всюду убывает. Отрицательность выражения в круглой скобке следует из того, что при 0<х<1: (...)=х-х +...-~2х--х'+...1=. ,з / 2 ,з 3 l 1 х =.—.г--х' е ..., а при х >1: —, «1, а 2агс<ц х> к/2=1,57. Мо>к- 3 1!х но, впрочем, с той же цсльк! сопоставить графики функций а=2агс<цх и ! =- — „— первая монотонно возрастает от 0 до к, 1+л-- выходя нз начала координа! под уг:юм агс<ц 2 з а'(О) = 2). а вторая; ! =- —;=0 при х=1 — максимум, ( - -)' <„„,.(1) = !/2; <г(0)= 1, т. с.
выходит из начала координат гюд углом к/4 и достигает максимума, равного 1/2, при х= 1. Значит, графики этих кривых выход<п из начала координат и уже больше никогда нс вел рсча<отся: 2.!. 2 6 х (!ч .з) г-'(!+с ) х -2(1я х ) +2т..!' — 2(1ехз) <, ! / л(2 В.Зхз)~) +,-агс<ц л — — „Загс<ц л — —,1>О ,з(<„хз) х х" (1. „з)з ) при х>Π— кривая воп<уга. И здесь положительность выражения в квадратной скобке можно получить сопоставлением графиков ее слагаемых: кривая Загс<ц.г монотонно возрастает от 0 до Зх/2, выходя из начала координат под углом агсгц3, а кривая 1 агс!8«+агс!84 -=-к/2 х 509.
у= — —, 1 1 — е4 495. у=х агс!8(х+1) 496. у=х агстц(хз+!) х 510. у= — '— ! !4-4 ' 511. и.=: ! !п~ е+ — ! , l 1 !--<о . х ! 512. у= —,— 1п .т ! 513. у=- — —,— !и'х 499. у=-агс!84 е': ! ! 514. !"=--- !и.!. !п ".т 1 511. ! в.—.— .— Ђ 1«2!и х 1-!а!!дев! производныс; 4' 516. у=— т 502. у=агс!ц— 517.
! =- 1и(1 ! е ') 518. у=!и с+ — ~ х З444В- 5!9. !4=с 506. у=х4 507. у=х' 4згсиц4(!и т) 508. ! = — — — —— !их 1 522. г=- —— ! -4" при х<О, Имеем (при х-++ о!; (к !1 к у=(х+1)~ — — агс!ц — )= —.т+ — — (х+!)~ — —, ы..)-'-х+ — — 1 — — +„, ~ 2 х,) 2 2 (..т Зх' ) 2 2 л- Я П г. е. при х — з+4о: у=-хе — -1 — наклонная асимптота, выход сниз! 2 2 к !1 и Аналогично при х-+-то; !'=(хе!) ----агс!ц — 1= — — !--- 2 т! з' 7 (! ! ! и л -(х.ь!)~ — — — „-+...)---.т- — -1- — !-...,те ирн х — >-тс; ! — — —.т- — -! ~л Зх' ~ 2 2 х 2 2 — наклонная асимитота, вь!ход сверху -- >О, Х л+1 у'=агс!цх+ —,— =-О ирн.к=-0,47 —.
минимум. у„„„(-0,47) =-0,21 х'+ ! Очевидно, по вне интервала -1<х<О производи ьз у' корней ие имс- ет: при х>0 оба слагаемых полсикительиы, а прн х< — ! отрииатсльны. (Кстати, единственность найденного корня ио,!гаер>клас! н сопоставленнс графиков функций-слагаечых — самос 44зятсльн4х 1; 1+х -2«(х+1) 2(1-х) , — О при х--.1 — иереги!1; !+" (!+. з) (1+. з) у(1)=к/2~1,57.
Кривая выпукла ири х>!. вогнута прн «<1. Контрольные точки: у'(0)=1: у(--3)= 2агстц 3=2,50; г(-2)= =-агс!8 2=1,!1; у(з/3)=(Д+1) — =2,86; у'( 1)=- -и/4=-0.79. 3 497. у =х+агс!ц(1п т) 498. у =агс!8(4'4) 500. у=.т агьчц4(4 ') 501. у=агстц4(л4 ') 503. у =агс!ц— 244. У.= ~4( ' ! 4 ! 505, у =. е ' агс! ц х 1 520. г = 1п ( х — ! ) ч- —, .т -! чт '! — ! 521. г=-1и л 70 В заключение рассмотрим несколько примеров параметриче ски заданных функций.
Здесь исследование, как правило„усложняется, отчасти оттого, что класс рассматриваемых кривых не сколько ращцирястся: могут появиться особенности, которых л кривых в декартовых координатах це могло быть в црицципе -. скажем, самопересечецие или цеоднознач~1сзсть орлинаты при од ном и том же значении абсциссы. (Х=1Е, 581, у(х)=-л ' Очевидно, 'по параметр 1 мснясс я ог (У=ге '. -сс до ее (рнс. 48). При замене 1 на -1 псрсмсицня т прсарнщается в --Г, а у превращается в -.т, Значит, график симысз)зичец отцосительцо прямой у---л, При 1 =О: х=-0, у=Π— кривая проходит через начало коордицац 1)ри 1- О: х ° О, у>0, в црц 1,0 л<0, у .О, в силу симметрии ограничимся значениями 1>О.
Вертикальных асимцтот, очевидно, цет — 1 це обрацщется в бесконечность ни при каком значении 1>0 . Тсзк как 1 1цп у =(цп — = О, то у = 0 — 1оризоцталь ноя асимптота. выхг д сверху. '-'" с' Рис. 48 В оба!ем ход кривой уже ясен; поскольку у(0)=-у(о) =О, а при 0<х< с: у>0, кривая имеет максимум прн некотором х>0, а спрана от максимума — перегиб (чтобы выйти на асимптоту). Лбсциссы точек максимума и перегиба найдем с помощью производных: у', е -1е, 1-1 х', е' ьге' 1+1 при 1=1: х=е, у=.1;е — максимум.
Функция возрастаес цри 0<1ь) (0<х<е) и ублывает при 1>! (х: с); 1-1 2 2 ч 1+1 (! -1) ~ з ч 0 у е'()з-1) (!+1)' с цри 1=ч12: .с"=Лс" =5.Х'; у=- 1'. "=0,34 — перегиб. С:грсзим график (црелварителыю найдя, зто полезно, 1+1! т. е. в начале координат касательная к кривой совпадает с биссек- трисой координатного угла). з (х=1 . 21, 582 у(.л.) =- ' Очени,:цю, царнмстр 1 меняется от— у —.1' 21.
до + с (рнс. 49). При замене 11щ -1 псрсмсццая х превращасгея в у, а у превращается в х. Значит. график симметричен относительно пря- мой у=л . При 1=0: т — О, г=О. 1. е. кривая проходит через начало координат. В силу симметрии ограничимся значениями 1>О. 1!о- смотрим.
как ведут себя абсцисса х и ордината у при возрастании параметра 1 от ну;щ до бесксзнсчное1и, Имеем: х=1 -21= !(1-1) -1 , откуда следует. что зцачснцс 1 †.1 ссютнетствует 1(1-2) х„„„=-1; у=-3; л =-0 цри 1=-0 ( г=:О) и 1=2 ( г=Х). 10ззс видна. значение х убывает о1 Оно — 1 прц встзрас ~внии 1 от О до 1 и возрас- тает от — 1 до бесконечности при возрастаю~и 1 от ! до бсскоцеч75 ности. Горизонтальных и вертикальных асимптот кривая ие имеет так как х и у обращаются в бесконечность только вместе нри (при г = о), Ищем наклонну1о асимгпоту: г -21 !с = 1'нп — '= !!1п —,— =1; .г +21 Ь =- й гп ( у -lсх) = 1! 1и (у 2 + 21 — г + 2г))=- сс, .с-> ю о~ й — значит, наклонной асимптоты кривая не имсст (кои1 ирн у-х 1. Рнс.
49 11айдем произволныс: у,' 21е2 2 у' = — '= — =-1+ —,т,е.функция возргзсгает прн 1.-1(-! х.. ) х,' 21-2 1-1 и убывает при 0<1<1 (-1<хаасс). Очсвид1ю, что у', = к при 1 -1, 1. е., как мы уже видели, в соо гвстствующей 1очкс (-1, 3) ф) нкция х=х(у) имеет минимум; 2 (г — 1) ! />О при 0<1<1 — кривая ьчипт111, 21-2 (1 1)' (<О нри г>1 — кривая вьшукла.
Строим график — предварительно полезно взять одну контрольную точку (скамсем, при 1= 3; х =3, у=15 ) и найти производную в точке (О, 0): у,~, д =-!. т. е, в начале координат касательная к кривой совпадает с биссектрисой у=-х ~х=гее"', 583. у(х) =1 „, Очевидно, что параметр г меняегся от ( =-г э со до + о; нрн г >О: х>0, у>0, значение 1=0 соответствует пипсс (1, 1); менее очевгино.
что и при г < О: х > О, у > О (геометрнчески ясно, что с ' =. л нрн люболг л; здесь и.=-г для х и и =-21 для у). Значит, вся кривая лежит н правом верхнем квадранте, причем нетря/ц10 уОсдспъся, ~ггн в точке (1, 1) достигаются минимальныс значения абсшсссь! х и ордигнпъ1 у(рис. 50): ,т, '=1-с ' =0 при с=0. х=-! — минимум, у', =э-2с ' =О при Г--О, у--1 — минимум, т. с. из точки (1, 1) вь1кс1дгг1 обе ветви кривой: г<0 н г>0. У Горизонтальнык н вертикальных Г39 11сим!пот к(эивал нс имеет. т;ис как х и 1~ Гг ОО!эьица1отся в Оссксчге~1ность 'голько вместе: при Г -к сс н при г-+-со. 1!аююнная асим1по1а находится непосредствснно: 2.Й 1 =-2з 1(с "'-2< ').
1 х,Х~ Поскольку при г ->:. разность сз е ' -2е ') бесконечно мала !и отрица- Рнс. 50 1ельна), прямая 1=2т являс1ся асимптотой, выход снизу. 5!сна, что другая ветвь кривой (г->- с) асимп- 2 тоты не имеет„так как нри этом у — х 70 0 при 2)-3! у> = 1-2! Контрольные точки; возвра>цаез ся. у'<~с-' Ч Рис. 51 Найдем производные; -В у', --: —,' = —,=2(!же ')>О х, 1-е' при всех >, т.
е. функция всюду возрастает; — 2е ' 2 >0 при (<0 — криВая вогну>а, Ю У>' 1, > е' ! <0 при ! >Π— кривая Выл>у>сза Строим график- предварительно полезно на!гги у', > =::.! (,ш. клон оощсй касательной к обеиы ВсгВЯМ к)>ивой в точке (1, 1)) контрольную точку' на В<.*пп> кривой ! 0 ( >=--1. <'='с -! е), 7 > у=с>-2=5.39), а также'!очку пересечения этой вспзи с асичптоп>й; ) =2х-2У+е '--Х/+2е'; е«( '-2).-О. х=.2-)п2=1,31; у=4-(п4=2,61. Гели двинь>с примеры кажутся ел<звон.>ь>и, то можно для па чала рассмотреть несколько 6олсс простьг, >;<е а>цх>ш>ир<е>,я лишь некоторый диапазон н<менсния параметра !.
584. У(х)=', О'=><1. Очсаидн<э, по кривая расг>олп) у=>з-(, жена в первом квадранте (х>0, у>0) (рис, 51). Г1ри ! =0 и ! —.1; .<.=О, У=О, т. е. кривая выход>п из па >ада к юрдпн>п и т),за жс ! =0 — кривая имеет горизонтальную касательную в начале координат ! =- /3 — кривая имес>' чаксимуч !'2 4 ) в точке 1 —, — ~, ',9 27~ <о при ! = 1/2 — кривая имее> Вертикальну>о ,,'1 11 кас<псльнук> в точке! —. — !, Н)эи зп>ы х (4 8) д<эстнгаст максимш>ьиого значения ( з, '= О), Кроме того, у',(, =1, з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
