Казанджан Э.П. Графики (2004) (1003961), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(. — хн2 тз +1)(4х -1) 2т".г 8хз ! у .т (. — 1) х (х' — 1) при х=--л 2+ЗА./2 = 860 — перегиб: г(-1,60)=1,16. Кривая выпуклг при л'<-1,60 и х >1, согну ~а прн — 1»60 -х<О, г8 „„9 Кантральнью тички: г(-3)=- !и- — -'". '3; г(-2)--(п- 1,50; 3 ' 2 (рис, 37).
Очсвилно: у(0)=0. С помощью тейлоровского разло>кения имеем !при больших значениях.т тго, впрочем, и так ясно); х е' —.т.-1+ т г — +...-х= Рис. 37 =1+- — +..,:.1, т, е, у>0 при 2 всех «~0. Значит, в точке х=О функция имеет минимум. При х-з ч<о !используем тсйлоровское разложение); у=-1пк "(1-.т * ')= .=«+!а(1-хе ')=х-х» -'-..., т.е. г=-х — наклонная асиьпзтога, выход снизу (-хе ' <0).
При л -ь-со; у- 1пЦ, з. е, об асиьнпозе не может быть и речи. !'!аЙдсм п1зоизводные: »' -1 у'= — — =0 при х=Π— минимум; у„„„(О)=:О. Функция убываег е'-х при х<0, возрастаст при ха О; е (е'-х)-(е' -1) 2» (е' -х) (» ' -х) [-1,!5 [0,38 при « = — у = — точки перегиба. (1,84 (1,49 Кривая выпукла при х<-1,15 и .т>1,84, ики нута при -1,15 <.т <1.84 Контрольные точки: у(-2)=-!п(2ге ')=0,76; у(1)=-1п(е-1)= =0,54; у(З)=1п(ез-З)=2,84.
56 376. у= — '— !ил х(х+!) 372 у=!п(х+е ) 373, у=!и(х +е") х1пх 377. у= —, т" -! !их 1+!и- х !их 374, у= —;— х +1 х !их 37б. у=-,— х +1 х=-- и па отрезке [О, к) отно- Д сительно прямой т= — к =0 ирн х=О л=.~к; у<0 при -я<«<О; Рпс. 38 у>0 при 0<.т<к. Найлом производные: у'=совт(З+вбп.т) ьяпл 2(З, в1п.т)сов«= сов«(3+яп т)х хЗ(1+вш х) = О 2 -я/2 — минимум,у„„„( — к 2)=-4„ прн .т= а/2 — максимум, у„,,„, ( лз 2) =! 6. Функция убывает нри - к<х<-я/2 н к/2< т<к, возрастает при -к/2<.т 'к/2; у"=-вппх(Звш '.«+12»йпхе9)есоя л(бгйпх+!2)= 3 ° 3 ., 3 379, у=в|о .т+бв!п х+9в1п.к=зал«(Зьвшх) . Функция определена при всех х (рис.
38). Функция периодическая, период 2я . Рабочий промежуток: [ — я, я) . Функция симметрична на отрезке [-я, О) относительно прямой Рнс. 39 (-к, и] . Функция симметрична на ог!?езке (-к, О] относитсльно прялюй х=- — к/2 и на отрс«ке (О, к] относительно прямой х -- л/2; «(01=0„. «=О прн.«=0: ч-и; -к/2; у 0 при «>О; г<0 при -к«.г< — к/2 и -л/2<»<0, 1!айнем производные: у'=(Зяп хе10яп.т 4)сг?вл =О =-Зяп' х-12яп х-9з1?«.г+бв!пхч12-бяп л.-12яп х=- ?, ?..., . ?, ? =-3(!+я!пх)(3з!и х»5я!пх-4)=0 (0,63 при я!пх=(-5+«/73)/6-0,59-х=г( ' -ум7,60 — точки переги- (2.5 ! ба. Кривая выпукла нри 0,63сх<2,51.
вогнута при -к<хс0,63 и 2,51«.«.<к, Контрольная точ?ок «(-л/6)---25/8=-3,!3. ? ? 380, у=яп'.к+5яп х+4ь!и т=-з!и «(!+в!п.г)(4«япх) . Функция определена прн всех л (рнс. 39). Функция периодическая, период 'к, раоочий промежуток: (-2, 20 -О 81-хм ' -ую-О 49 (-0,94 Прн яплге (О, 72 -О, бб - х =?~ — !' = 5.!! — точки перегиба. Кривая выпукла прн -2,20<х<-0,94 и 0,72<х<2,42; во- гнута при — к<х<-',20; -0,94<х<0,72 н 2,42«х<к, Контрольные точкш у'(О) =-4; у'(ч к) =-4, 381. !'=-яп? ха 7яп х.. 15япх 9 .
382. »= яп' .»+7з!«« .кж16й«х; у=й«хч — з!?« .»ебяпх 8 ? 383, »=яп' хь7яп-х+8з!?«х; »=яп х+7яп х+1Ояпх 384. у=(1+япх) 392. у.=еж ' 385. у=яп хч 7яп «+11япх 393. у=с 397. у = е»""Я 389. »=е""' 398. »=е'""'"' 390. ««=е'" ' 386. у=я|п т(2+япх) 387. у=яп т(в?и л+зьшл «3) 388.
у я?««(! ч яп») 394. у=е'""Я ' 395. у=е"" Я' 396. ', а~си, , г . у=е ', у=е 399 у=с'В ?в'" 391. у=еж' Рнс. 40 (х=-л/2 — максимум, у„,„,(к/2) =! 0; при ' . -5-+«/13 (-0,48 — минимум, япх=- — -:а-0,4б-х=! -у„„„=-0,88. 3 ' (-2,66 — минимум, Функция возрастаег нри — 2„66«х<-к/2 и -0,48«тся/2. убывает при -к<х<-2,66, -к/2<х<-0,48 и а/2<к<к; у" =(бяп.г+! 0)(!-я!и' х)-яп.г(Згйп х «! Ояп»-ь 4) =-9яп'.»вЂ” -20яп .гч-2япхе10=0 400.
у = л. ч-?«гсз!?« / » . Функция определена при 0<х<! (рис. 401. Очевидно: 0<у=г/2, 1; функция монотонно возрастает (таковы оба слагаемых). Покажем, что график функции симметричен относительно точки (!/2, к/4 + 1/2), Это следует из того, гго функция -.=у-к/4-1/2 нечетная по аргументу ? = х- 1/2, В самом деле; вертикальные касательные: + 9...>0,); 1 5 Б !2х/х Контрольная точка: у'(1/2) == 2 . 401. у= /х+агсяпх 402. у=х-агса1пчх 403 у= /х-агсзшх 408. у =.т.агсяп.т 409.
ь =х агсяпл. 410. у=/тагсз1пх агсяп х 404, у=- — -'— л/х 411. у=~чхагсз!пх 1 405. »= — „агсяпх х 412. у=(х-!)агсяп х/х 413. »=(х+1)агсв!п /х 417. у= ,/1-хз 1 415. у=(х+ 1) агсяи —. /х 406. ! =хагсяихз агсяп х 416. у= а~с1ш !~ 407. у=.тагсяп х/х у=г+и/4+1/2=!+1/2+агсяп /г!/2+! =- !+1/2+и/2-агсз!и /1/2-г, т, е, х=г+и/4-агсвш,/1/2-~ . Тогда х(-!)=-гч и/4-агсяп,/)/2-н ..—. =-тек/4-к/2+асса!и,/!/2-г =-х(г). При выводе использовалось тригонометрическое тождество: агсяп,/ 1/2+ г = к/2 - агсзи1,/1~ 2- г, но оно легко проверяется — стоит лишь взять синус от обоих частей равснства. 11айдем производные: 1 1 !»=1+ — — >0 — функция всюду возрастает. Отметим: Л- 2 Гт »'(0).=с, у'(1) =сю; т. е, иа концах отрезка кривая имеет 1 1-2х !' =:-- . —,~-„-=0 при х=-1/2 перегиб; »(1/2)=: 4 Г (1-х)УЛ =1/2 -и/4=1,29.
Кривая выпукла при 0«х«1г2, вогнута при 1/2«л ..'1, 1 414. у=(х-!)агсяп —. Фуик- /х цня определена при х>1 !рис. 41); х, у(1)=0, у>0 при х>1, При х-+то; у- /х (об асимптоте ие может быть и речи). 'г1айдсм производныс: 1 — 1, 1 /л-1 »'=агсяп — +(х-1) -= — =агсяп — — — >() ,/х ! 2-/х хД ири всех л>1 — функция всюду возрастает. 1т)тобы убедиться н покпкитсльности производной, воспользуемся гсйлоровскимн разложениями.
1 ! / 11'з ! 1 1~'1 1 ,lу 2Я ~, х! /лт бх/х 2~ /х 2х/хх -Б:Т 1 -1 1 2 — 1 3 1 /т-1 1 2Д 2 х' 4 х,/х — 1 2х 1 —- .т х-'; з «О вЂ” кривая вскьзу выпукла. 4.т /х — 1 Ко~ггрольныс точки: »(2)г л/4=0,79; у(4)=п/2=1,57; у'(1)= = и/2. 419. у=е'нв"' 420. у =е""""""" функция всюду убывает; 421 у еегсипт 422. у=е'"'"'"'"е7 423. у =- е "к"" ' 424 у —,е~ат~~~~к 425. у=с Рис. 42 Рис.
43 ! 1 .1 1/ -агсв)п — — — ! — —, 2 х х х- 1~! 1 — — — + — +, /х( 2х 12х' 62 426. 3=Е + ! 427. у-,~Д 4гв ~.,Д;;„':; 429, у =. (х-1) агсз! п х; у =(х+1) агсгйп х 430, у=-хагсв)п— ! 1 . 1 431. у=-агсв1п— х х 1 432, у=-т)хагсв1п- . Функция определена при х>! (рис. 42). х Всюду положительна; у(!) =я/2.
(!ри х-+то; у- —, т. е. у=О— 1 ,/л' ' горизонтальная асимптота, выход сверху. Найдем производные: ! . 1 г- ! -1 1 . 1 1 у'= — агсв !и — + лг х —. — „= — агсз! и — — — — =ел 2~. ! 27 нри х=1, т. е. кривая при х=1 имеет вертикальную касательную. Прсобразуем у' с немотные тейлоровских разложений: !+ г ь "д- ~ — —,—... <О при всех х. т. с, х 2х Д тГх 2х 1 2х' х 1 . 1 1 ! -1 1 1 у"= — агсгйп я,— = ., -ь „, (Зх -1)= 4х~/х х 2/х ~ 1 х 2 ~(з 1Яиз х з 1 1, 1 1( ! ! з Зт" — 1( ! ! — -агсип — + — ! 1- —,) — — '' —, ~1- —,~ 2х /л 2 .т х, х, л' .т (и здесь используются те же тейлоровскне разложения) Зх,/х ~ 2х 12х" х(, 2л ) (х х' )(, 2хл (1 1 1 ! 3 1 9 з т,/т 'х ! Зт'' г 2л .т х 2х' 1 (3 35 — + — „-~-...
>О при всех л, ц е, кривая всюду вогнуга. 2х /х 2х 12хз г-и .! Контрольные тонки: у(2) = ~2 — =0,74; у(9).=Загсяп — =0,36. 6 ' 9 ! 433. у=.тт/хагсв1п=-. Функция опреде- Б лена при т >1 (рис. 43). Всюду полохоггельна; у(!)=я/2=1,57.При х.->та (использусмтейлоровское разложснис): у=.т /.т— ( ъ'х бх /т 40х /х 1 3 =-.т+ — + — ~-...
т, е. у=х+!/6 — наклонная асимптота, выходсвсрху. 6 40л. Найдем производные: — ! (.т( у'= — 'ехагсяп — +х ~.т — ==- — — — - — '~ Загсзпт — — — =0 2 кг 1, 12х/т 2~, /х lх !/ к Контрольная точка: у(2).= — — =2.22. з . 1 434. у=х егозив 1 435. > =-х агсзгп —, 436. г =1пагсып /х 439. у=агсвбп 1п(х !) 440. Р=.агсгбп 1пх 441. 1 =агсып ч' 1п.т 437. у = т/х-ь1.агсебп х ы2.
— аж;~ Г ) при х=!,06 — минимум, у„„„(1,06)=1,45. Функция убывает при 1<х<1,06 и возрастает при х>1,06, Отметим: у'(1)=-со !кривая имеет при х =.1 вертикальную касательную). 3 . 1 3 Г- 1 -1 1 )х-! -1 у" =. — агсеб п — + — ) х 4,/х т/т 2 1 2хт!.т 4 ! х (х !) ' х 1 ~ . 1 3 ! 1 1 . 1 Зх-4 = — -- Загсып — -- —.ь —.,„= — -=~ Загсами- —.- — — — —,, >О 4т/х~ т/х Д'-! (х- 1)" ~ 4Ь~ /х (х-1)"з — кривая всюду вогнута.
Чтобы убедиться в положительности вгя ряжения в квадратной скобке, воспользуемся тсйлоровскичи раз логкеннями: ,( ! (. /» бх/х 40хз /х / ! т/х хх /х Л 2т 8.тз 3 1 9 3 4 9 6 45 /х 2х /х 40х т/х /х т /х 2хт/х х /х 8х- /х 3 ..ч..,>0. 443. у=хагс18 х. Функция четная, / определена при всех х грис. 44). 9! у(0) = 0 — минимум, так как у > О при всех х ~ О.
При х — > сс (используем ~о тейлоровское разложение): У 7. (! у=х! — -агсг8 -/!=-х- т~ — — —, +, 1= '3 2 '(. 3' Рис. 44 1 к =-х-1ь — — „+„.,т, е, у= — х-! -наклонная асимптота, выходсверху. 2 Зх 2 1!айдеч производныс: у =-агс!8 х+ — „->О при л >0 — функция возрастает; 1+х 1 1+х -2х 2 г" =- — -+ — = > 0 — кривая всюду вогнута 1+. ' (1,.х-")з (1+х-)з Контрольная точка: у(1)=к/4=0,79. 444. у=.т — агс!8х: г=1 ягсгйз 449. у=агсг8 (!и г) 445. Р=агсгйх 450. у =агс18 (1п~х) 446.
у=агсг8 /х; у=агс18 — 451. у=агсг8 (1п х) 1 з 447. у=х агсг8 х 452. у=агс18 (1пх) агсг8(1п х) 448. у=-хзагсгйх 453. ь=- 454. у=х агсг8()пх) Функция определена при х > 0 грие. 45). Очевидно: у(+0)=0, у(!)=О, у>0 нри х>1, у<0 при 0<.т<1. При .т — ьго; у-х. но наклонной асимптоты нет, так как Рис. 45 1 438. у=хт/.т агсзн1- я А =-1пп агс18(1п.т) = —; 2 -х 2 1ч-1п х талы<ля асимптота, выход сверху. Рис. 46 66 67 к 1 1 агс<ц(!пх)-- Ь =<па хагс<ц(1п х)- — х) = йш— (, л < 2, <ч<п хх =- йгп — - — "-= ! '! 1 1 ! Найдем производные; 1 1 у'=агс<ц(1п х)ч,!' — —,— — =0 при х=0,47 - минимум: <„„„(0,47)= !+<а х,х' е-0,30, <рупкци<<убьп<аетпри О< ! «0,47 и возрастает при х ! 0.47; 1 1 1 1 (1.-1) у".—..-- — — — — — — — 2 1п х — =- — — -- —, > 0 — кривая !!'- +!ап х х (1+1 3 х) х А(!+ <о' х) всюду во! цуга, !Хотя у"--О при х=:с, перегиба нет.) Контрольные точки: у(2) -2агс<ц(1п 2) =1,21; у(е) = пе/4 = 2,13, у'(1)--1; у'(40).=г П/2= — 1,57.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
