Раздел 3. Основы теории пластичности (1003098), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Согласно гипотезеединой кривой, переход тела в пластическое состояние не зависит от типанапряженного состояния, следовательно, на оси σ zz можно выделить областьΕ = (− σ s 0 ,σ s 0 ) , которая характеризует упругое состояние материальнойточки.ΕSS−σs0Оσs0σzzГраницей упругой области будут точки − σ s 0 ,σ s 0 , достигнув которых,материальная точка переходит в пластическое состояние. Таким образом,поверхностью пластичности в одномерном случае будет совокупность двухточек − σ s 0 ,σ s 0 .Если тело идеально пластическое ( σ s = const ), то точки вне отрезка[− σ s 0 ,σ s 0 ] не имеют смысла.
В этом случае уменьшение напряженияозначает упругую разгрузку, а в точках ± σ s 0 деформация неопределенна.Если тело упрочняющееся, то можно выделить два простейшихмеханизма упрочнения.Изотропное упрочнение –с увеличением деформации границыупругой области равномерно расширяются в обе стороны: [− σ s ,σ s ] > 2σ s 042Ε'S'−σsSΕSОS'σsσs0σzzКинематическое (трансляционное) упрочнение – границы упругойобласти с увеличением деформации сдвигаются вдоль оси, но не изменяютсяпо размеру: [− σ ' s ,σ s ] = 2σ s 0 .ΕSS−σ's Оσsσs0S'−σs0 S'σzzΕ'Рассмотрим, каким образом эти два вида упрочнения отображаются надиаграммах истинных напряжений. Для простоты используем упругопластическое тело с линейным упрочнением. Рассмотрим процесс, в которомтело сначала нагружается в одном направлении, затем происходит егоразгрузка и повторная нагрузка в противоположном направлении.Для изотропного упрочнения такой процесс схематически можноизобразить следующим образом:σσsσs0ε−σs0−σsИзотропное упрочнение не учитывает эффект Баушингера, согласнокоторому предел текучести материала снижается при предварительномнагружении тела в противоположном направлении.
Иными словами, если43тело сначала подвергнуть деформациям растяжения, затем разгрузить ипопытаться подвергнуть сжатию, то для перехода в пластическое состояние вэтом случае потребуется меньшее напряжение, чем при первоначальномрастяжении.Эффект Баушингера может быть учтен при кинематическомупрочнении:σσsσs02σs02σs0ε−σ's−σs0Общий случай упрочнения заключается в сочетании кинематического(трансляционного) и изотропного упрочнения. Поверхность пластичностирасширяется и перемещается в пространстве напряжений.
Упрочнение можетбыть и анизотропным, тогда поверхность пластичности расширяетсянеравномерно.Распространим рассмотренные выше виды упрочнения на общийслучай напряженного состояния.Геометрически различные виды упрочнения в пространственапряжений можно представить следующими схемами:ТрансляционноеОбщий случайИзотропное упрочнениеупрочнениеупрочненияSS'SООS'S'SО443.15. Физические уравнения связи между напряжениями идеформациями.При воздействии на тело внешних нагрузок оно меняет свой объем иформу.
Чем больше внешние нагрузки, тем большие деформации возникаютв теле. Естественно предположить, что существует взаимосвязь междунапряженным и деформированным состоянием. Уравнения связи междукомпонентами тензора перемещений и тензора деформаций (скоростейдеформации, приращений деформаций) носят название физических уравненийсвязи напряженного и деформированного состояний (иногда их называютопределяющими соотношениями).Физические уравнения до настоящего времени являются не законами, агипотезами, в большей или меньшей степени подтвержденнымиэкспериментом. Иными словами эти уравнения – феноменологические.Наиболее простым примером таких уравнений является связь междунапряжениями и деформациями при упругом деформировании изотропногоматериала, которые мы рассматривали ранее.
Эти уравнения носят названияобобщенного закона Гука.В тензорной форме – в виде зависимости между девиаторамидеформаций и напряжений обобщенный закон Гука имеет вид:sijeij =, i , j = x, y , z2Gε cp =σ cp(объемный закон Гука)3K11ε cp = ε ii ,σ cp = σ ii33Связь между физическими константами E – модуль упругости 1-города, µ – коэффициент Пуассона, G – модуль упругости 2-го рода (модульсдвига), K – объемный модуль упругостиEE3K =;2G =1 − 2µ1+ µОбобщенный закон Гука в тензорной форме фактически постулируетпрямо пропорциональную связь между девиаторами напряжений идеформаций:1Dε =Dσ2GЗапишем условие пропорциональности девиаторов в главных осях:ε1 − ε cp ε 2 − ε cp ε 3 − ε cp1===σ 1 − σ cp σ 2 − σ cp σ 3 − σ cp 2GСледовательно:45(ε1 − ε cp )2G = σ1 − σ cp ;(ε 2 − ε cp )2G = σ 2 − σ cp ;(ε 3 − ε cp )2G = σ 3 − σ cp ;Почленное вычитание полученных выражений приводит к:ε1 − ε 2 ε 2 − ε 3 ε 3 − ε11===σ 1 − σ 2 σ 2 − σ 3 σ 3 − σ 1 2GЗнаменатели этих выражений – диаметры главных окружностей Морадля напряжений, а числители – диаметры главных окружностей Мора длядеформаций.
Это равносильно утверждению, что диаграммы Мора длянапряжений и деформаций подобны12, а это в свою очередь означает:1. Направления главных осей деформаций и главных осей напряженийсовпадают, следовательно равны и соответствующие направляющиекосинусы:niσ = niε2. Показатели Лоде-Надаи для напряжений и деформаций равны междусобой.µσ = µεВ координатной форме обобщенный закон Гука имеет вид1⎫ε x = ⎡σ x - µ σ y + σ z ⎤ ;⎪⎥⎦E ⎢⎣⎪1⎡⎪⎤εy = σ y - µ σx +σz ;⎦⎪⎪E⎣⎬1⎡⎤⎪εz = σz - µ σx +σ y ;⎦⎥E ⎣⎢⎪γ xy τ xyγ yz τ yzγ zx τ zx ⎪;ε =;ε =;⎪ε xy ====22G yz22G zx22G ⎪⎭Для установления связи между напряженным и деформированнымсостоянием при пластических деформациях применяют две теории – теориюпластического течения и деформационную теорию пластичности (теориюмалых упруго-пластических деформаций).()()()3.16.
Теория пластического течения.Уравнения теории пластического течения устанавливают связь междубесконечно малыми приращениями деформаций (или скоростямидеформаций) и бесконечно малыми приращениями напряжений, самиминапряжениями и некоторыми параметрами пластического состояния.
Как и12Подобие диаграмм Мора означает пропорциональность главныхокружностей, но не пропорциональность главных значений. Т.е. диаграммаМора для деформаций оказывается масштабированной и сдвинутой по осиабсцисс по отношению к диаграмме Мора для напряжений.46обобщенный закон Гука теория пластического течения являетсяфеноменологической. В ее основу положены следующие гипотезы:1. Тело изотропно2.
Полные приращения компонент тензора деформаций dε ijскладываются из приращений упругихdε ije(e - elastic) ипластических деформаций dε ijp (p - plastic)dε ij = dε ije + dε ijpДля одноосного напряженного состояния этот постулат можнопредставить в графическом виде следующим образом:σC'CdεpσS0dεeSdεεO3. Приращения упругих деформаций подчиняются обобщенномузакону Гука.sijeije =2GОбъемные деформации (изменение объема тела) являются толькоупругими деформациями.ε cp =σ cp3K4.
Девиатор приращения пластической деформации пропорционалендевиатору напряженийDd ε p = d λ ⋅ DσЗдесь dλ положительная величина, которая может изменяться сизменением деформации.Преобразуем обобщенный закон Гука.Девиатор упругих деформаций:dsijeije = ε ije − δ ij ε cp , тогда в приращениях deije = dε ije − δ ij dε cp =2G47Девиатор пластических деформаций совпадает с тензоромпластических деформаций, поскольку постулировано, что все объемныедеформации являются упругими.ε ijp = eijpВ сокращенной тензорной записи пропорциональность девиаторовприращений пластических деформаций и девиатора напряжений:deijp = dλ ⋅ sij = dε ijpОткудаd ε ij = d ε ije + d ε ijp = deije + δ ij d ε cp + deijpИлиdsijdeij = deije + deijp =+ d λ ⋅ sij2GОпределим величину dλ. В теории пластического теченияпостулируется взаимосвязь между девиаторами напряжений и приращенийпластических деформаций.
Естественно предположить, существуетвзаимосвязь и между интенсивностью приращений пластическихдеформаций и интенсивностью напряжений, поскольку эти величины зависятот инвариантов соответствующих девиаторов.Интенсивности напряжений и приращений деформаций в тензорнойформе:3σ i2 = sij sij222pp pdε i= deij deij3Тогда:2 p22d ε ip =deij × deijp =( d λ )2 sij sij = σ i d λ333( )(sij d λ)sij d λ2 2σi3откудаp3 dεdλ = ⋅ i2 σiВ результате получим несколько иную форму уравнений теориипластического течения:dsij 3 d ε ipdeij =sij+2G 2 σ iЭти уравнения носят названия уравнений Прандтля – Рёйсса.Получим уравнения Прандтля - Рёйсса в координатной форме.Например, для приращения dε x можно выполнить следующую цепочкупреобразований:48pdσ x − dσ cp 3 d ε ipds x 3 d ε i+σ x − σ cp+dex =s x или d ε x − d ε cp =2G 2 σ i2G2 σi(p)dσ x1 ⎞ 3 dεi⎛ 1dε x =σ x − σ cp+ dσ cp ⎜−⎟+KGσ2G322⎝⎠i11 1 − 2µ 1 + µ3µ1=−−=−, σ cp = σ x + σ y + σ zЗдесьEEE3K 2G3pσy +σz ⎞1 + µ 3µ ⎛ d σ x + d σ y + d σ z ⎞ 3 d ε i ⎛ 2−d ε x = dσ x⎜⎟+⎜ σx −⎟33EE ⎝⎠ 2 σi ⎝ 3⎠Окончательноd ε ip ⎡1⎡1⎤⎤− σ y + σ z ⎥;σdε x =dσ x − µ dσ y + dσ z +x⎢⎦ σ ⎣2E⎣⎦iПо аналогии получим выражения для всех составляющих тензораприращений деформаций:d ε ip ⎡1⎡1⎤⎤−+σσσdε x =dσ x − µ dσ y + dσ z +xyz⎥⎦ ;⎦ σ ⎢⎣2E⎣i()()()()()()d ε ip1⎡⎤d ε y = ⎣ dσ y − µ ( dσ x + dσ z ) ⎦ +σiE1⎡⎤⎢⎣σ y − 2 (σ x + σ z ) ⎥⎦ ;d ε ip1⎡dε z =dσ z − µ dσ x + dσ y ⎤ +⎦ σE⎣i1⎡⎤−σσ y + σ x ⎥;z⎢⎣2⎦(d ε xyd ε yz)dτ xypdτ yzp()3 dεi=+τ xy ;2G2 σi3 dεi=+τ yz ;2G2 σipdτ3 dεiτ zx ;d ε zx = zx +2G 2 σ iВ том случае, если упругими деформациями можно пренебречь, топридем к уравнениям Сен-Венана – Леви – Мизеса.
В этом случаепластические деформации равны полным d ε ijp = d ε ij , а девиатор приращениядеформаций равен тензору приращения деформаций deij = dε ij . Тогда3 dεisij2 σiСледует заметить, что уравнения Сен-Венана – Леви – Мизеса былиполучены ранее уравнений Прандля – Рёйсса. Они были получены исходя изгипотезы пропорциональности девиаторов напряжений и девиаторов полныхd ε ij =49приращений деформаций: dε ij = sij × dλ . В современной теории уравненияСен-Венана – Леви – Мизеса рассматриваются как частный случай уравненийПрандля – Рёйсса при пренебрежении упругими деформациями.Если принять в качестве гипотезы пропорциональность девиаторовнапряжений и девиаторов скоростей деформаций ξ ij = ε ij = sij × dλ , а неприращений пластических деформаций, то придем к уравнениям Сен-Венана– Леви – Мизеса в для скоростей деформаций или уравнениям течения3 εi3ξsij или ξ ij = i sij2 σi2 σiЭти уравнения иногда называют уравнениями пластического течения.Они нашли широкое распространение при расчетах операций обработкиметаллов давлением, особенно в методе конечных элементов.В координатной форме уравнения Леви – Мизеса имеют вид:dε ⎡3 dεi13 dεi⎤dε x =σ x − σ cp = i ⎢σ x − σ y + σ z ⎥ ; d ε xy =τ xy ;2 σi22 σiσi ⎣⎦dε ⎡3 dεi13 dεi⎤dε y =σ y − σ cp = i ⎢σ y − (σ x + σ z ) ⎥ ; d ε yz =τ yz ;2 σi22 σiσi ⎣⎦ε ij =dε z =()()()dε ⎡3 dεi13 dεi⎤σ y − σ cp = i ⎢σ z − σ x + σ y ⎥ ; d ε zx =τ zx ;2 σi22 σiσi ⎣⎦()(а уравнения течения:ε3εε x = i σ x − σ cp = iσi2 σi)⎫⎪⎪⎪ε ⎡3ε1⎤ε y = i σ y − σ cp = i ⎢σ y − (σ x + σ z ) ⎥ ; ⎪σi ⎣2 σi2⎦⎪⎬εi ⎡3 εi1⎤εz =σ y − σ cp = ⎢σ z − σ x + σ y ⎥ ; ⎪⎪σi ⎣2 σi2⎦⎪3 εi3 εi3 εiε xy =τ xy ;ε yz =τ yz ;ε zx =τ zx ;⎪⎪2 σi2 σi2 σi⎭Еще раз вернемся к гипотезе о пропорциональности девиаторовскоростей деформаций и девиаторов напряжений и определим егофизический смысл.Запишем условие пропорциональности девиаторов в главных осях(учтем, что ε cp = 0 для пластической деформации):()()()1⎡⎤−+σσσxyz⎢⎣⎥⎦ ;2()()ε3ε1ε2=== dλσ1 − σ cp σ 2 − σ cp σ 3 − σ cp50Следовательно:ε1 = σ 1 − σ cp dλ ; ε 2 = σ 2 − σ cp dλ ; ε 3 = σ 3 − σ cp dλ ;Почленное вычитание полученных выражений приводит к:()()()ε1 − ε 2 ε 2 − ε 3 ε 3 − ε1=== dλσ1 − σ 2 σ 2 − σ 3 σ 3 − σ1В свою очередь это выражение равносильно утверждению, что главныеокружности Мора для напряжений и скоростей деформаций подобны, а это всвою очередь означает:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
