Раздел 3. Основы теории пластичности (1003098), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Направления главных осей скоростей деформаций и главных осейнапряжений совпадают, следовательно равны и соответствующиенаправляющие косинусы:niσ = niε2. Показатели Лоде-Надаи для напряжений и скоростей деформаций равнымежду собой.µσ = µεПри экспериментальной проверке теории течения обычно проверялиравенство показателей Лоде-Надаи для напряжений и приращенийдеформаций. Опыты, проведенные отечественными и зарубежными учеными,показали набольшие, но систематические отклонения от условий подобия.Эти отклонения свидетельствуют о незначительных нарушениях линейногоуравнения связи девиаторов напряжений и приращений деформаций.Как показал Г.А.Смирнов – Аляев для монотонной деформациискорости деформации в уравнениях теории течения можно заменитьглавными логарифмическими деформациями.
Если пренебречь упругимидеформациями:3 δiδ ii =sii2 σiЗдесь δ i - интенсивность логарифмических деформаций.3.17. Теория малых упруго-пластических деформаций(деформационная теория пластичности).Теория пластического течения довольно сложна для использования ваналитических решениях. Анализ существенно упрощается, если быфизические уравнения имели бы вид конечных соотношений (а недифференциальных как в теории течения) между напряжениями идеформациями.Такие соотношения предлагаются в деформационной теориипластичности.
Фактически теория малых упруго-пластических деформацийявляется распространением обобщенного закона Гука на областьпластических деформаций. Эта теория в качестве гипотез используетследующие положения:1. Тело изотропно512. Полные деформации могут быть представлены как сумма упругих ипластических деформацийε ij = ε ije + ε ijpДля одноосного напряженного состояния этот постулат можнопредставить в графическом виде следующим образом (в отличие оттеории течения в рассмотрение берется не приращение деформации ався деформация):CσσS0εpOεeεε3. Упругие деформации подчиняются обобщенному закону Гука иполностью определяют объемные деформации (изменение объема тела)sijeije =2G4.
Девиатор пластической деформации пропорционален девиаторунапряженийDε p = ϕ DσПеременный коэффициент ϕ - положительная величина, котораяможет изменяться с изменением деформации, носит названияпараметра Генки.Девиатор упругих деформаций:eije = ε ije − δ ij ε cp ,Поскольку вследствие условия постоянства объема девиаторпластической деформации совпадает с тензором пластической деформации(средняя пластическая деформация равна нулю), тоε ijp = eijp = ϕ sijТогда компоненты девиатора полных деформаций равны суммекомпонент девиаторов пластических и упругих деформаций.1eij = eije + eijp =sij + ϕ sij2G52Использовавсоотношенияε ip =2 p p3eij eij ; σ i =sij sij ; eijp = ϕ sij32получим:p3εϕ= i2 σiС учетом этогоp⎛ 13 ε i ⎞⎟⎜eij =+s = ψ sij⎜ 2G 2 σ i ⎟ ij⎝⎠Полученные уравнения носят названия уравнений Генки.Аналогично теории течения можно показать, что пропорциональностьдевиаторов напряжений и пластических деформаций равносильнаутверждению о подобии диаграмм Мора для напряжений и пластическихдеформаций, а также коллинеарности главных осей напряжений и главныхосей деформаций и равенстве показателей Лоде – Надаи для напряжений ипластических деформаций.Если пренебречь упругими деформациями, то уравнения Генкиприводятся к виду, предложенным А.А.Ильюшиным:3 εisij2 σiВ координатной форме:ε3 εiεx =σ x − σ cp = i2 σiσiε3 εiεy =σ y − σ cp = i2σiσiε3 εiεz =σ y − σ cp = i2 σiσiε ij =()()()()()⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪εεεγ xy = 3 i τ xy ;γ yz = 3 i τ yz ;γ zx = 3 i τ zx ;⎪σiσiσi⎭Сравнив полученные уравнения с обобщенным законом Гука можнозаключить, что они очень похожи.
По аналогии с модулем упругости Eвводят понятия модуля пластичности первого рода E′σE' = iεi1⎡⎤−+σσσxyz⎢⎣⎥⎦;21⎡(σ x + σ z )⎤⎥;−σy⎢⎣2⎦1⎡⎤⎢⎣σ z − 2 σ x + σ y ⎥⎦;53σιCσιEE'εiεiOМодуль пластичности первого рода в отличие от модуля упругостипервого рода переменен и равен тангенсу угла наклона линии, соединяющейначало отсчета с текущей точкой на диаграмме истинных напряженийпервого рода.Кроме того, приняв коэффициент Пуассона при пластическихдеформациях µ = 0.5 , можно ввести также понятия модуля пластичностивторого рода G′:E'E'G' ==2(1 + µ ) 3Уравнения деформационной теории намного проще, чем уравнениятеории течения, поэтому важно знать границы их применимости.Исследованием этого вопроса занимался А.А.Ильюшин.Он показал, что уравнения деформационной теории в полной мереописывают пластическую деформацию при т.н.
простом нагружении. Инымисловами для простого нагружения деформационная теория и теория течениясовпадают. Под простым нагружением понимают такое нагружение, прикотором компоненты девиатора напряжений возрастают пропорциональнонекоторому параметру. Такими параметром может быть, в том числе, время.В пространстве напряжений путь деформирования при простомнагружении представляет собой прямую линию. В качестве примерарассмотрим процесс деформации тонкостенной трубы подвергаемойодновременно кручению и растяжению.τσPMMτσP54Напряжения, возникающие на срединной поверхности:MPτ=;σ=2πRδ2πR 2δЕсли и момент и сила будут увеличиваться пропорционально одномупараметру (например, времени)P = at ; M = bt ,то нормальное и касательное напряжения будут увеличиваться такжепропорционально этому параметру.
Поэтому путь нагружения впространстве напряжения отображается прямой.τПростоенагружениеСложноенагружениеσМожно представить себе и другой путь нагружения, когда сначалатрубу растягивают, а потом подвергают кручению. В этом случае путьнагружения представляет собой ломаную линию, а нагружение являетсясложным.А.А.Ильюшин доказал, что для того, чтобы во всех точкахнесжимаемого тела, нагруженного внешними силами, пропорциональныминекоторому параметру, нагружение было простым, достаточно, чтобызависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций быластепенной функцией вида:σ i = Aε im553.18.
Постулат Друкера. Ассоциированный закон течения.S'dσσHCSDσoCijdεpHnσijOpσ0σDD’dεdσijεРассмотрим на примере одноосного растяжения следующий циклнагружения: материал, предварительно нагруженый до точки С, разгружаетсядо напряжения σ 0 , а затем снова нагружается, но уже до величинынапряжения σ + dσ . Материал при этом получает пластическуюдеформациюdε p .Дляреальныхматериаловдиаграммыистинныхнапряжений такие, что dσ > 0, dε p > 0 .
Отсюда следует:(σ − σ 0 )dε p > 0,dσdε p > 0Постулат Друкера обобщает это положение на общий случайдеформации упрочняемых тел. Пусть S – поверхность пластичности впространстве напряжений. Точка C – отображение текущего напряженногосостояния. Точка H – точка на новом положении поверхности пластичности,полученном в результате дополнительного нагружения на величину dσ ij .Рассмотрим по аналогии с одноосным растяжением следующий цикл:разгрузка до точки D, последующая нагрузка до точки H через точку C, азатем вновь разгрузка до точки D. Постулат Друкера утверждает следующиесоотношения для приведенного цикла:dσ ij dε ijp > 0 .(σ ij − σ ij0 )dε ijp > 0Последнее выражение можно записать и для скоростей деформации(σ ij − σ ij0 )ε ijp > 0Физически постулат Друкера означает:1.
Продолжение пластической деформации упрочняющихся тел возможнотолько при приложении дополнительных удельных сил.2. Поверхность пластичности является выпуклой563. Вектор приращения пластической деформации dε pнаправлен понормали к поверхности пластичности. Это означает, что поверхностьпластичности в процессе пластической деформации с упрочнениемрасширяется.Последнее утверждение можно доказать, используя неравенствоdσ ij dε ijp > 0 .В пространстве напряжений представляет собойпроизведение двух векторов в пространстве напряжений:скалярноеdσ ij dε ijp = dσ ij dε ijp cos αПоложительность скалярного произведения означает, что угол междувекторами всегда острый.
Поскольку направление dσ ij произвольно, то прилюбом направлении dε ijp отличном от нормали всегда найдется такоеположение dσ ij , при котором угол между векторами будет тупым.Следовательно, направление dε ijp совпадает с нормалью к поверхностипластичности.dσdεpnαdσИз аналитической геометрии известно, что проекции нормали накоординатные оси (направляющие косинусы) пропорциональны частнымпроизводными уравнения поверхности по координатам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
