Раздел 3. Основы теории пластичности (1003098), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Вдействительности и это подтверждается экспериментальными данными, припластическом деформировании с ростом нормальных напряженийкасательные контактные напряжения возрастают первоначально по закону,близкому к линейному, а затем по кривой, асимптотически приближаясь кнекоторому постоянному значению.Дадим теоретическое обоснование этому факту.
Трение на контактнойповерхности может быть рассмотрена как внешняя нагрузка. Для37удовлетворения граничным условиям внутренние силы должныуравновешивать внешние силы на границе. Удельные силы трения, такимобразом, должны уравновешиваться касательными напряжениями вдеформируемом материале. Однако касательные напряжения, как былопоказано ранее при рассмотрении энергетического условия пластичности, немогут превосходить величины постоянной пластичности k .στk ≤ k = s3Следовательно, теоретически, пользоваться законом Амонтона –Кулона можно только до тех пор, пока удельные силы трения не приблизятсяк максимальному значению. Можно приблизительно оценить, при какихзначениях нормальных напряжений удельные силы трения приблизятся кмаксимальным.
Пусть коэффициент трения µ = 0.2 , что соответствует малойсмазке. Тогда по закону Кулона максимального значения τ k =σsудельные3силы трения достигнут при σ n ≈ 2.8σ s . В реальных операциях обработкидавлением (особенно при объемной штамповке) удельные нормальные силыпревышают напряжения текучести более чем в 5 раз. Использование законатрения Кулона в этом случае может привести к значительным ошибкам.Может показаться, что закон Амонтона-Кулона вступает впротиворечие с теорией пластичности. На самом деле никакого противоречияздесь нет, просто пластическое трение имеет другую природу и фактическитрением не является. В предельном случае можно представить, чтоприграничные зоны деформируемого металла полностью заполняютмикронеровности инструмента, тогда внешнее трение отсутствует, апроисходит пластический сдвиг материала вдоль поверхности инструмента.Естественно, что пластический сдвиг подчиняется законам теориипластичности и максимальное касательное напряжение в этом случае равнопостоянной пластичности.В действительности максимальное трение на поверхности припластическом деформировании меньше, чем постоянная пластичности,поскольку часть поверхностей разделено смазкой.
Можно сказать, что припластической деформации на поверхности заготовки, контактирующей синструментом, реализуется сочетание пластического сдвига и граничноготрения. Снижение максимально возможной удельной силы трения дляконкретных контактирующих поверхностей и условий контактирования посравнению с пластической постоянной k учитывают фактором трения m :τ k max = mk . Фактор трения изменяется в пределах 0 ≤ m ≤ 1 .Зависимостьτ k = mkвпервые была предложена Прандтлем.
В качестве закона трения прианализе операций обработки давлением эту зависимость впервые38использовал Зибель. Поэтому очень часто в технической литературе законПрандтля называют законом Зибеля.Закон Прандля-Зибеля иногда записывают в другом видеτ k = µ sσ sПоскольку постоянная пластичности k отличается от напряжениятекучести σ s на величину постоянного коэффициента, то обе записи законатрения эквивалентны.
Следует иметь в виду, что коэффициент µ s (которыйтакже часто называют фактором трения) изменяется в других пределах0 ≤ µs ≤ 1 .3Не следует путать коэффициент трения µ и факторы трения m, µ s .Численные значения их могут быть близкими, но физически это разныевеличины и отражают различные физические процессы.Как мы увидим позднее, использование закона трения Прандтля Зибеля значительно упрощает анализ технологических операций обработкидавлением, однако физически он не отражает того экспериментальногофакта, что при небольших контактных давлениях удельная сила зависит отнормального давления.Иногда используют комбинированные законы трения, в частности,Е.П.Унксов предложил объединить законы трения Кулона и Прандтля:µ sσ s⎧µσ:0σ≤<nn⎪⎪µτk = ⎨µσ⎪ µ sσ s : s s ≤ σ n < ∞⎪⎩µВ координатах σ n ,τ k эта зависимость представлена ломаной линией.Однако в аналитических расчетах эту зависимость использоватьсложно, поскольку она требует использования итерационной процедуры.Комбинированный закон трения предложил А.Н.Леванов на основеобработки большого числа экспериментальных данных:σ⎛−1.125 n ⎞⎟⎜σsτ k = mk ⎜1 − e⎟⎟⎜⎠⎝В координатах σ n ,τ k эта зависимость представлена гладкой кривой,бесконечно приближающей к τ k = mk .Анализ этой формулы показывает, что при малых значенияхотношения нормального напряжения к напряжению текучести законЛеванова близок к закону Кулона, а при больших – к закону Прандля.Обычно в аналитических расчетах для выбора закона трения исходят изфизической сущности задачи или из эксперимента.
Если известноэкспериментальное распределение удельных сил трения, то его используютпри расчетах. Если экспериментальных данных нет, то при ожидаемыхмалых значениях нормальных контактных давлений (а, следовательно, и39малых удельных сил трения) пользуются законом Амонтона – Кулона. Так, вчастности, поступают при анализе операций листовой штамповки. Прианализе операций горячей штамповки, где величина контактных давлений исил трения велика, используют закон Прандля.3.14. Геометрическая интерпретация процесса нагруженияупрочняемых тел. Виды упрочнения.Ранее мы сталкивались с геометрической интерпретацией условийпластичности.
Было введено понятие поверхности пластичности впространстве главных напряжений. Уравнение поверхности определяетсяусловием пластичности, выраженным относительно главных напряжений.Напомним, что поверхность пластичности Треска в пространствеглавных напряжений представляет собой правильную шестиугольнуюпризму, равнонаклоненную к главным осям и отсекающую на этих осяхотрезки, равные напряжению текучести.Поверхность пластичности Мизеса в пространстве главныхнапряжений представляет собой цилиндр с радиусом R = σ s 2 / 3равнонаклоненный к главным осям. Этот цилиндр описывается вокругпризмы Треска.Такое представление достаточно наглядно, однако имеет своинедостатки, одним из которых является необходимость сначала определитьглавные напряжения и положение главных осей в глобальной системекоординат.В теории пластичности часто используют более общее понятие –пространство напряжений.Напряженное состояние в точке полностью определено тензоромнапряжений.
В силу симметрии этого тензора для характеристикинапряженного состояния достаточно шести компонент тензора. Рассмотримшестимерное пространство, в котором в направлении каждой из осей будемоткладывать одну из компонент тензора напряжений. Такое пространствоназовем пространством напряжений.MS'σijSО40Очевидно, что каждая точка в пространстве напряжений соответствуетвозможному напряженному состоянию материальной точки тела.
Началокоординат соответствует ненапряженному состоянию. Вектор, соединяющийначало координат и точку в пространстве напряжений отображает тензорнапряжений.В пространстве напряжений можно выделить поверхность,соответствующую условию состояния пластичности f (σ ij ,σ s ) = 0 . Этаповерхность называется поверхностью пластичности в пространственапряжений.dσijSMσijMОНагружение материальной точки сопровождается изменениемкомпонент тензора напряжений. Поэтому в пространстве напряженийпроцесс нагружения материальной точки будет представлять некоторуюкривую, которую и называют путем деформирования.
Если путьдеформирования целиком находится внутри поверхности пластичности, тоон описывает упругую деформацию. Выход пути деформирования наповерхность пластичности означает переход точки в пластическое состояние.Таким образом, можно дать еще одно определение поверхностипластичности.Поверхностью пластичности называется геометрическое местоточек состояния пластичности на произвольных путях деформированияматериальной точки. В теории пластичности доказывается, чтоповерхность пластичности является выпуклой.В случае идеально-пластического тела поверхность пластичности длякаждой материальной точки неизменна. Деформации на поверхностипластичности неопределенны.Если происходит упрочнение, то поверхность пластичности меняетсвою форму и положение в пространстве в зависимости от вида упрочнения/Можно рассмотреть три возможных направления бесконечно малогоприращения вектора σ ij для точки, находящейся на поверхностипластичности:41• Векторdσ ijнаправленвнетекущегоположенияповерхностипластичности - процесс активного нагружения, сопровождающийсяупрочнением и приводящий к изменению поверхности пластичности.• Вектор dσ ij направлен по касательной к текущему положениюповерхности пластичности - процесс нейтрального нагружения(перемещение по поверхности пластичности, сопровождающееся толькоупругими деформациями);• Вектор dσ ij направлен внутрь текущего положения поверхностипластичности - процесс упругой разгрузки, сопровождающийсяуменьшением упругих деформаций.Рассмотрим виды упрочнения сначала в одномерном случае.При одноосном напряженном состоянии все компоненты тензоранапряжений, кроме одной (например, σ zz ) равны нулю, следовательно,шестимерное пространство напряжений вырождается в одномерное.Появление пластических деформаций связано с достижениемнапряжением σ zz величины предела текучести σ s 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
