Раздел 3. Основы теории пластичности (1003098), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть f (σ ij ) = 0 уравнение поверхности пластичности. Поскольку вектор приращенияпластической деформации dε p совпадает с направлением нормали, то егопроекции dε ijp пропорциональны производным уравнения поверхностипластичности по координатам. Координатными осями уравненияпластичности являются составляющие тензора напряжений.Считая коэффициент пропорциональности равным dλ ' , получим:∂fdε ijp = dλ '∂σ ij57Это выражение носит название ассоциированного закона течения,поскольку в нем приращения пластических деформаций связывается(ассоциируется) с условием пластичности. Если в полученном выражении вкачестве уравнения поверхности пластичности использовать условиепластичности Мизеса, то мы придем к уравнениям теории течения(уравнениям Прандля-Рёйсса).3f σ ij ,σ s = sij sij − σ s2 = 02∂f∂ ⎛32⎞=⎜ sij sij − σ s ⎟ = 3sij∂σ ij ∂σ ij ⎝ 2⎠Тогда∂fdε ijp = dλ '= 3dλ ' sij = dλ ⋅ sij ,∂σ ij()Что эквивалентно одному из постулатов теории пластического течения.Ассоциированный закон течения позволяет вводить обобщенияуравнений пластичности путем рассмотрения поверхностей пластичностиболее сложного вида.3.19.
Основное энергетическое уравнение.Рассмотрим деформацию тела, занимающего объем V и ограниченноговнешней поверхностью F. Температурным эффектом деформациипренебрегаем, нагрузки стационарныПоле напряжений внутри тела удовлетворяет уравнениям равновесия:⎛ ∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz⎞⎜⎟++=σ ij , j = 00…⎜ ∂x⎟∂∂yz⎝⎠Fp0Vv0Одновременно в теле существует некоторое поле скоростей течения vi .Этому полю скоростей течения соответствует поле скоростей деформацииε ij∂v ⎞⎞⎛⎛⎜ ε xx = ∂v x ; ε xy = 1 ⎜ ∂v x + y ⎟, …⎟⎟⎜∂x2 ⎜⎝ ∂y∂x ⎟⎠⎠⎝На границе поля напряжений и скоростей должны удовлетворятьграничным условиям.ε ij =(1vi, j + v j ,i2)58Разобьем границу тела F на две части.F = F p + FvНа части внешней поверхности F p заданы поверхностные удельныевнешние силы p.pi F = F = p0ipУдельные внешние силы должны быть равны удельным внутреннимсилам (напряжениям).На другой части поверхности Fv заданы скорости течения.vi F = F = v0ipЧасти поверхности F p и Fv не пересекаются.
Это означает, чтоодновременно в одной и той же точке внешней границы не могут бытьзаданы и поверхностные внешние силы и скорости течения в направлениидействия поверхностных сил.Основное энергетическое уравнение утверждает, что мощность(работа) внешних сил равна мощности (работе) внутренних сил.Wвнш = Wвнр или Aвнш = AвнрРассмотрим это уравнение на примере одноосного сжатия. Дляодноосного сжатия (например, вдоль оси Z) при постоянной скоростидвижения бойков пресса мощность внешних сил:Wвнш = Pz v z = p z Fv z ,где Pz - сила деформирования, v z - скорость движения бойков, F - площадьконтактной поверхности, p z - удельная поверхностная сила, направлениекоторой совпадает с направлением скорости движения бойков.В условиях однородной деформации напряжение σ z в любой точкеPдеформируемого тела равно σ z = z . Скорости материальных точек приFоднородной деформации изменяются пропорционально координате z :z∂v v zv = v z .
В этом случае скорость деформации постоянна ε z == .h∂z hВ этом случае произведение Wвнш = Pz v z можно преобразовать кследующему виду:Pz v z = σ z Fε z h = σ z ε zV ,здесь V - объем тела.Полученное выражение представляет собой мощность внутренних сил,которая равна мощности деформацииWвнр = σ z ε zVВ общем случае мощность внешних сил определяют интегрированиемскалярного произведения векторов удельных поверхностных и скоростейперемещения точек внешней границы деформируемого тела:Wвнш = ∫ pi vi dF =F59∫ ( p x v x + p y v y + p z v z )dFFМощность внутренних сил определяют интегрированием по объемупроизведения тензора напряжений на тензор скоростей деформации:Wвнр = ∫ σ ij ε ij dVVТаким образом, в общем случае основное энергетическое уравнениеимеет вид∫ pi vi dF = ∫ σ ij ε ij dVFVДокажем это утверждение.
Поскольку pi = σ ji n j , то∫ pi vi dF = ∫ σ ji n j vi dFFFМеняя последовательность произведениятранспонировать матрицу∫ pi vi dF = ∫ σ ji n j vi dF = ∫ σ ij vi n j dFFFвекторовнеобходимоFв координатном виде последнее выражение имеет вид:∫∫ [(σ xx v x + τ yx v y + τ zx v z )n x + (τ xy v x + σ yy v y + τ zy v z )n y +F) ](+ τ xz v x + τ yz v y + σ zz v z n z dFПрименим к нему формулу Гаусса-Остроградского для преобразованияповерхностного интеграла в объемный⎛ ∂Qx ∂Q y ∂Qz ⎞()()()QxyznQxyznQxyzndF,,+,,+,,=xyyzz∫∫ x∫∫∫⎜⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟dV⎝⎠[]FVВ сокращенной записи:∫ Q j n j dF = ∫ Q j, j dVFVВ этом выражении Q = Q( x, y, z ) есть некоторая функция, определеннаяв объем V , ограниченном поверхностью F .Продолжая преобразования, получим⎡⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎢⎜⎜σvτvτvnτvσvτv+++++⎟⎜∫∫ ⎢⎜ xx x yx y zx z ⎟ x ⎜ xy x yy y zy z ⎟⎟n z +F ⎢⎟⎜QxQy⎠⎠⎝⎣⎝⎞ ⎤⎛⎟ ⎥⎜+ ⎜τ xz v x + τ yz v y + σ zz v z ⎟n z ⎥ dF =⎟ ⎥⎜Qz⎠ ⎦⎝60⎛⎜⎜∂τ yx∂v y ∂τ zx∂σ∂v∂v= ∫∫∫ ⎜ xx v x + σ xx x ++v y + τ yxv z + τ zx z +⎜ ∂x∂x∂x∂x∂x∂xV ⎜∂Q x⎜∂x⎝∂τ xy∂σ yy∂v y ∂τ zy∂v∂v++v x + τ xy x +v y + σ yyv z + τ zy z +∂y∂y∂y∂y∂y∂x∂Q y∂y⎞⎟⎟∂v y ∂σ zz∂v x ∂τ yz∂τ xz∂v z ⎟+++v y + τ yzv z + σ zzdV =v x + τ xz∂z∂z∂z∂z∂z ⎟∂z⎟∂Q z⎟∂z⎠⎡⎢⎛ ∂σ∂σ yy ∂τ yz ⎞∂τ xy ∂τ xz ⎞⎛ ∂τ⎟v y +⎟v x + ⎜ yx ++= ∫∫∫ ⎢⎜⎜ xx ++⎟⎜ ∂x∂∂yz∂z ⎟⎠∂y⎢⎝ ∂x⎝⎠V⎢=0=0⎣∂τ zy ∂σ zz ⎞∂v⎛ ∂τ∂v∂v⎟v z + σ xx x + σ yy y + σ zz z ++ ⎜⎜ zx ++∂y∂z ⎟⎠∂x∂y∂z⎝ ∂x=0⎤⎥⎛ ∂v x ∂v y ⎞⎛ ∂v y ∂v y ⎞∂v x ∂v z ⎞⎥⎛⎟ + τ yz ⎜⎟+ τ xy ⎜⎜+⎟⎜ ∂z + ∂z ⎟ + τ xz ⎜⎝ ∂z + ∂x ⎟⎠⎥ dV =∂∂yx⎝⎠⎝⎠⎥=γ xz = 2ξ xz ⎥=γ xy = 2ξ xy=γ yz = 2ξ yz⎦⎛⎞⎜⎟= ∫∫∫ ⎜ σ xxε x + σ yy ε y + σ zz ε z + τ xyγ xy+ τ yzγ yz + τ xzγ xz ⎟dV =⎜⎟⎟V ⎜=τξ+τξxy xyyx yx⎝⎠= ∫ σ ij ε ij dVVили в сокращенной записи∫ σ ij vi n j dF = ∫ (σ ij vi ), j dV = ∫ vi σ ij , j dV + ∫ σ ij vi, j dV = ∫ σ ij ε ij dVFVV=0Vε ijV61Для идеально пластического тела мощность внутренних сил естьмощность пластической деформации.
ТогдаWP = WD .Интегрируя мощность по времени, получим работу, следовательно:AP = AD3.20. Обобщение основного энергетического уравнения наслучай разрывных полей и внешнего трения.В теории пластичности это уравнение обобщается на случай, когдатело имеет как жесткие (недеформируемые) области, так и пластическиеобласти, а также на случай разрывных полей напряжений и скоростей.Наличие разрывов в напряжениях и наличие недеформируемыхобластей не изменяет формы основного энергетического уравнения.Наличие разрывов в скоростях предполагает, что имеется некотороечисло областей, ограниченных поверхностями f l , (l = 1 ,2 ,3 …) внутрикоторых поле скоростей непрерывно, а на границах f l - претерпеваетразрывы.Пусть поле скоростей таково, что в нем допускаются разрывыскоростей ∆v вдоль некоторой поверхности f .
Условие непрерывноститребует, чтобы разрывы претерпевали только касательные составляющиескорости вдоль поверхности разрыва. Нормальные составляющие скорости кповерхности разрыва должны быть непрерывны.nnvτ+ττ∆svτ+vτ−vτ−ffПоверхность разрыва представляет собой предельное положениетонкого слоя ∆s с непрерывным, но резким изменением скорости потолщине слоя. Причем резкое изменение претерпевает только составляющаяскорости vτ .
Относительная скорость разрыва ∆v = vτ+ − vτ− .в тангенциальных составляющихОбозначим через ∆vl скачокскоростей на границе разрыва скоростей f l . Пусть на этой границе действуеткасательное напряжение τ l . Тогда мощность, которую развиваютнапряжения на границах разрыва можно найти как:∫ τ l ∆vl dffl62Эту мощность необходимо учесть при определении мощностивнутренних сил. Тогда основное энергетическое уравнение преобразуется квиду:∫ pivi dF = ∫ σ ijε ij dV + ∫ τ l ∆vl dfFVflСилы трения на контактных поверхностях можно рассматривать каквнешние силы. Мощность сил тренияWτ = ∫τ k ∆vτ df = µ sσ s ∫ ∆vτ dffτfτОкончательно уравнениеследующим образомW p + Wτ = Wσ + WkметодабалансамощностейвыглядитИлиW p = Wσ + Wk − WτЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Следует обратить внимание, что в приведенной формуле удельныесилы трения τ k и скорости скольжения ∆vτ необходимо брать со своимзнаком.
Таким образом, если силы трения направлены в сторонупротивоположную скорости относительного скольжения, то величинамощности сил трения будет отрицательна. Если учесть этот факт и приопределении сил трения брать абсолютные значения, то уравнение балансамощностей преобразуется к видуW p = Wσ + Wk + Wτ3.21. Действительные и возможные поля скоростей инапряжений.При рассмотрении основного энергетического уравнения мы исходилииз действительных полей скоростей и напряжений.
Действительные поляскоростей и напряжений должны одновременно удовлетворять следующимуравнениям:1. Уравнениям равновесия σ ij , j = 02. Физическим уравнениям связи напряженного и деформированногосостояний. Для упрочняющегося жестко-пластического тела этоуравнения Сен-Венана – Леви – Мизеса: ε ij =3 εisij2 σi3. Уравнениям неразрывности: ε ii = 0 .Кроме того, действительные поля должны удовлетворять граничнымусловиям. Существует два типа граничных условий – силовые и63кинематические. В соответствии с этим разобьем границу тела F на двечасти.F = F p + FvНа части внешней поверхности F p заданы поверхностные удельныевнешние силы p.F p → piУдельные внешние силы должны быть равны удельным внутреннимсилам (напряжениям).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
