Раздел 3. Основы теории пластичности (1003098), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Таким образом, при одноосномнапряженном состоянии действительно существует функция компоненттензора напряжений и напряжения текучести, которая определяет переходтела в пластическое состояние.f (σ ij ,σ S ) = 0 ,связывающаякомпонентытензораФункциянапряжений и напряжение текучести и определяющая переход тела впластическое состояние называется условием состояния пластичности, или(сокращенно) условием пластичности.Выше была приведена такая эта функция для одноосногонапряженного состояния. Все известные до сих пор условия состоянияпластичности для общего случая напряженного состояния являютсяфеноменологическими, т.е. основываются на некоторых гипотезах, имеющихопределенное экспериментальное или теоретическое обоснование.
В теориипластичности получили распространение два условия состоянияпластичности: условие Треска - Сен-Венана и условие Губера – Мизеса –Генки.Условие Треска - Сен-Венана основано на гипотезе существованиясвязи между величиной максимальных касательных напряжений и моментомперехода в пластическое состояние.Известно, что пластическая деформация монокристаллов происходит, восновном, путем скольжения и, следовательно, связана с касательныминапряжениями. Естественно предположить, что и для поликристаллическихтел момент перехода в пластическое состояние определяется касательныминапряжениями.
Впервые такое предположение высказал французскийинженер Г.Треска в 1864 г.6На переход тела в пластическое состояние также влияет скоростьдеформации, температура и др. факторы. Однако все они зависят от видаматериала. Поэтому в общем виде можно сказать, что переход в пластическоесостояние зависит от тензора напряжений и свойств материала.25На основе обработки опытов по выдавливанию различных материаловчерез матрицы круглой и прямоугольной формы он показал, что переход впервое предельное состояние - состояние пластичности происходит тогда,когда максимальное касательное напряжение достигает определеннойвеличины, однозначно связанной с пределом текучести при испытаниях нарастяжение.Максимальное касательное напряжение (главное касательноенапряжение) возникает в площадках, расположенных под 45° к главным осями равно их полуразности:σ − σ 33τ max = τ 13 = 112Для одноосного растяжения σ 11 > 0, σ 22 = σ 33 = 0 .
Следовательноусловие Треска – Сен-Венана для одноосного растяжения имеет вид:στ max_ o = 11 .2На основании опытных данных известно, что переход тела впластическое состояние при одноосном растяжении определяетсяследующим условием:σ 11 = σ s .Отсюда для одноосного растяжения:στ max_ o = S2Приравнивая значение максимального касательного напряжения τmaxдля общего случая значению максимального касательного напряжения дляодноосного напряженного состояния τmax_o, получим математическуюформулировку условия Треска, впервые предложенную Сен-Венаном в 1871году:σ 11 − σ 33 = σ SВ общем случае при расчетах сложно заранее предсказать, какое изглавных напряжений будет максимальным, а какое минимальным. Поэтомуусловие Треска – Сен-Венана часто записывают следующим образом:max(σ1−σ2,σ2−σ3,σ3−σ1)=σSВ этом выражении главные напряжения σ 1,σ 2 ,σ 3 не упорядочены повеличине.Тогда условие пластичности Треска – Сен-Венана может бытьсформулировано также следующим образом:Пластическое состояние наступает и поддерживается тогда, когдаодно из максимальных касательных напряжений достигает по абсолютнойвеличине величины половины напряжения текучести.В частности, при отсутствии упрочнения:σ s = const = σ s 0Таким образом, для деформируемых материалов, упрочнениемкоторых можно пренебречь в пластическом состоянии максимальные26(главные) касательные напряжения остаются постоянными по величине иравными половине предела текучести.
Поэтому условие пластичности Треска– Сен-Венана иногда называют условием постоянства максимальныхкасательных напряжений.3ОσS1σSσS2ОУсловие пластичности Треска – Сен-Венана в пространстве главныхкоординатных осей представляет собой правильную шестигранную призму,ось ОО которой проходит через начало координат и равно наклонена ккоординатным осям. Ребра призмы отсекают на координатных осях отрезки,равные ± σ S .
Поверхность, описываемая этой призмой, называетсяповерхностью пластичности Треска – Сен-Венана. Условимся поверхностипластичности обозначать буквой S.Напряженное состояние каждой точки тела отображается некоторойточкой M с координатами σ 1M ,σ 2 M ,σ 3M в главных координатных осях.Если эта точка лежит внутри поверхности пластичности – то тело в этойточке находится в упругом состоянии, если на поверхности – то впластическом. Напряженные состояния, в которых точка M находится внеповерхности пластичности, неосуществимы.В 1913 году немецкий ученый Р.Мизес предложил призмупластичности Треска – Сен-Венана заменить описанным вокруг неецилиндром.
Сделано это было для упрощения формы условия пластичности,и Мизес считал это условие приближенным. Радиус цилиндрическойповерхности в этом случае будет равным2R = σS,327а уравнение цилиндрической поверхности:(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = 2σ S2312Условие пластичности в этом виде впервые предложил польскийученый М.Губер в 1904 году, опубликовав статью в одном из польскихжурналов. Однако в то время она не была замечена. Позднее, в 1924 году,немецкий ученый Г.Генки показал физический смысл условия пластичностиМизеса.Окружности на поверхности цилиндра, полученные пересечением егоплоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра представляют собойнапряженные состояния с одинаковыми шаровыми тензорами. Поэтомуплоскости, перпендикулярные оси цилиндра иногда называют девиаторнымиплоскостями.Если деформация сопровождается упрочнением, то напряжениетекучести увеличивается, и, следовательно, поверхность пластичностирасширяется.3.11.
Физический смысл условия пластичности Губера-МизесаПолная удельная7 потенциальная энергия упругой деформации равнаполовине скалярного произведения тензора напряжений на тензордеформаций и для главных осей имеет вид:11AΠ = Tσ Tε = (σ 1ε1 + σ 2ε 2 + σ 3ε 3 )227Удельная энергия – энергия отнесенная к единице объема28Для того чтобы понять физический смысл этой записи рассмотримпотенциальную энергию упругой деформации гладкого цилиндрическогообразца при одноосном растяжении. Потенциальная энергия растянутогостержня равна половине произведения силы на абсолютную деформациюстержня:1AΠ = Pλ2l − l0P = σ F;l 0 = ε l0λ = l − l0 =l0A111AΠ = σ F l0 ε = σ Vε ⇒AΠ = Π = σ ε22V2Удельную потенциальную энергию можно представить как суммуудельной энергии изменения объема и удельной энергии изменения формы.Действительно тензоры напряжений и деформаций можно представить ввиде суммы шаровых тензоров и девиаторов:11AΠ = Tσ Tε = Tσ0 + Dσ Tε0 + Dε =22⎛⎞1⎜ 0 0⎟00= ⎜ Tσ Tε + Tσ Dε + Dσ Tε + Dσ Dε ⎟ =2⎜⎟=0=0⎝⎠11= Tσ0Tε0 + Dσ Dε = AΟ + AΦ22()()(ε x − ε cp ) + σ cp (ε y − ε cp ) + σ cp (ε z − ε cp ) =(ε x + ε y + ε z − 3ε cp ) = 0Dσ Tε0 = (σ x − σ cp )ε cp + (σ y − σ cp )ε cp + (σ z − σ cp )ε cp == (σ x + σ y + σ z − 3σ cp )ε cp = 0Tσ0 Dε = σ cp= σ cpКак мы помним, шаровые тензоры описывают изменение объема, адевиаторы – изменение формы тела.
Преобразуем выражение дляпотенциальной энергии изменения формы.1AФ = Dε Dσ2В упругой области зависимость между напряжениями и деформациямиописывается обобщенным законом Гука:sijeij =, i , j = x, y , z2GС учетом полученных соотношений удельная энергия измененияформы в упругой области примет следующий вид в главных координатах:29()])111+ µ 222AΦ = Dσ Dε = (s11e11 + s22 e22 + s33e33 ) =s11 + s22+ s33=222E1+ µ=σ 1 − σ cp 2 + σ 2 − σ cp 2 + σ 3 − σ cp 22EДальнейшие преобразования дают⎡⎤1+ µ ⎢ 2⎥222()32+++−++AΦ =σσσσσσσσcpcp123123⎥=2E ⎢⎢⎣⎥⎦3σ cp[([[([[) () (]1+ µ 22=σ 1 + σ 22 + σ 32 − 3σ cp2E1+ µ3 σ 12 + σ 22 + σ 32 − (σ 1 + σ 2 + σ 3 )2 ==6E1+ µ2σ 12 + 2σ 22 + 2σ 32 − 2(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) ==6E1+ µ(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2=6EВ случае одноосного растяжения σ 1 ≠ 0; σ 2 = σ 3 = 0 .
Момент переходав пластическое состояние определяется равенством σ 1 = σ S . Поэтомуудельная энергия изменения формы для одноосного состояния имеет вид:1+ µ 2 1+ µ 2σ1 =σSAΦ =3E3EПредположим, что удельная потенциальная энергия упругогоизменения формы не зависит от схемы напряженного состояния и к моментуперехода в пластическое состояние должна накопить некоторое предельноезначение.Тогда приравняв полученное выражение энергии формы, накопленнойв момент перехода в первое предельное состояние для одноосногорастяжения и значение энергии изменения формы для общего случаяполучим выражение для условия пластичности, аналогичное приведенномуранее выражению для цилиндра пластичности Губера-Мизеса.=)]]](σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = 2σ S2Таким образом, условие пластичности Губера – Мизеса – Генки можетбыть следующим образом:Пластическое состояние наступает и поддерживается тогда, когдаудельная потенциальная энергия упругого изменения формы достигаетпредельного значения, характеризующего переход в пластическое состояниепри одноосном растяжении-сжатии.30Исходя из физического смысла условия пластичности Губера – Мизеса– Генки это условие иногда называют энергетическим8.Энергетическое условие можно привести к несколько другому виду.Вспомним выражение для интенсивности напряжений:1(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 =σi =2122=σ x − σ y 2 + σ y − σ z 2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx2Сравнив это выражение с энергетическим условием можносформулировать следующее условие пластичности:σi =σ SОтсюда следует еще одна формулировка условия пластичности Губера– Мизеса - Генки:Пластическое состояние в произвольной точке деформируемого теланаступает и поддерживается тогда, когда интенсивность напряженийстановится равной напряжению текучести для одноосного напряженногосостояния.Можно привести еще одну форму записи энергетического условияпластичности.
Вспомним, что интенсивность касательных напряжений Tсвязана с интенсивностью напряжений σ i выражением:(T=) ()()σiσ, откуда T = S33σk = S называют постоянной пластичности. Поэтому3условие пластичности можно также записать в виде:T =kПластическое состояние в произвольной точке деформируемого теланаступает и поддерживается тогда, когда интенсивность касательныхнапряжений становится равной постоянной пластичности.Можно также вспомнить, что интенсивность напряжений являетсяфункцией второго инварианта девиатора напряжений. Таким образом,энергетическое условие пластичности утверждает, что переход впластическое состояние для изотропного тела зависит только от второгоинварианта девиатора напряжений.1σ i = 3 I 2 ( Dσ ) , но I 2 ( Dσ ) = − sij sij2Величину8Следует сказать, что в 1956 году опубликована статья,свидетельствующая, что еще в 1856 году Максвелл в письме к Кельвинусформулировал условие пластичности, которое в современных обозначенияхимело бы вид:(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = const31Отсюда получим выражение для условия пластичности Мизеса втензорной форме:2sij sij = σ S2 , i, j = x, y, z , или − 3I 2 (Dσ ) = σ s23Здесь sij - компоненты девиатора напряжений.На современном этапе развития теории пластичности считают и этоподтверждено экспериментальными исследованиями, что энергетическоеусловие пластичности более точно отражает условие перехода в первоепредельное состояние.3.12.
Влияние среднего главного напряжения на переход впластическое состояние.Сравнив условия пластичности Треска – Сен-Венана и Губера –Мизеса, можно заметить, что второе учитывает все три главных напряжения,то первое – только два (максимальное и минимальное). Тем не менее,практика показывает, что как первое, так и второе условия пластичностидают хорошее приближение к экспериментальным данным.
Возникаетвопрос, насколько эти формулировки отличаются друг от друга и,следовательно, как влияет величина среднего главного напряжения9.Вернемся к геометрической интерпретации условия пластичности. Впространстве главных напряжений энергетическое условие пластичностипредставляет собой круглый цилиндр, ось которого проходит через началокоординат и наклонена к главным осям под одинаковыми углами.Рассмотрим сечение поверхности пластичности плоскостью σ 2 = 0 .Сечение поверхности пластичности Мизеса будет представлять собойэллипс, а поверхности Треска – Сен-Венана – шестиугольник, вписанный вэллипс. Очевидно, что малая полуось эллипса равна радиусу цилиндраCC2пластичности Мизеса 1 2 = R = σ S23Геометрическое место точек, для которых σ 2 = 0 , представляет собойплоское напряженное состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
