Раздел 3. Основы теории пластичности (1003098), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Поэтому, на основаниигипотезы единой кривой можно утверждать, что зависимость между осевым5Латинское idem обозначает «то же самое»15напряжением и логарифмической деформацией при одноосном напряженномсостоянии будет идентична зависимости между интенсивностью напряженийи параметром Одквиста при произвольном напряженном состоянием. Инымисловами кривая упрочнения, построенная на основании опытов на одноосноерастяжение, является единой кривой, характеризующей упрочнение длялюбого напряженного состояния данного материала.одноосное НСσ 1 = f (δ )общий случай НС↔σ i = f (q )В аналитических расчетах параметр Одквиста определить сложно.

Вобщем случае, когда траектория движения частиц не является прямой,параметр Одквиста не равен интенсивности логарифмических деформаций.Поэтому в аналитических расчетах в теории обработки давлениемпринимают ослабленный вариант гипотезы единой кривой:Зависимость между интенсивностью напряжений σ i и одним изпоказателей деформации (относительное удлинение ε, относительноесужение ψ или логарифмическая деформация δ) является одинаковой длялюбого напряженного состояния.Различают кривые упрочнения трех видов:σ = f (ε ) - кривая упрочнения 1-го родаσ = f (ψ ) - кривая упрочнения 2-го родаσ = f (δ ) - кривая упрочнения 3-го рода3.5.

Использование опытов на сжатие для построения кривыхупрочнения.Если кривые упрочнения построены по результатам испытаний нарастяжение, то в координатах σ − ε - они называются кривыми первого рода,в координатах σ − ψ - второго рода, в координатах σ − δ - третьего рода.Кривые упрочнения строят также и по результатам испытаний насжатие. Положительным свойством испытаний на сжатие являетсяотсутствие шейки. Кроме того, из-за более благоприятной механическойсхемы деформаций при опытах на сжатие удается достигнуть большихпредельных деформаций. Отрицательная сторона – необходимостьисключения влияния трения на контактных поверхностях для обеспеченияоднородности деформации по всему объему образца.Минимизацию сил трения производят путем создания специальныхобразцов с торцовыми выточками, полость которых заполняют смазкой.Размеры образцов:d0=16…30 ммh0=d0hδ=(0.015…0.02)d0tδ=(0.03…0.035) d016tδhδh0d0Рассмотрим деформацию при однородном сжатии и сравним ее соднородным растяжением.

Относительная деформация в осевом направлениидля испытаний на сжатие и растяжение соответственно:l − l0h −hεh = 0, εl =h0l0Предположим, что деформация при растяжении происходит безобразования шейки и материал имеет бесконечную пластичность. Тогдаполученные показатели изменяются в следующих пределах:0 ≤ ε h ≤ 1 - предельный случай h = 00 ≤ ε l ≤ ∞ - предельный случай l = ∞Таким образом, диаграмма σ − ε h , построенная по результатамиспытаний на сжатие не адекватна по упрочняющему эффекту диаграммеσ − ε l , полученной по результатам испытаний на растяжение одного и тогоже материала.Многочисленными опытами было установлено, что по упрочняющемуэффекту эквивалентны следующие диаграммы:предел изменениясжатиерастяжениедеформацииF − F0l − l0σ −ψ , ψ =σ − εl , εl =0 ≤ εl ≤ ∞↔F0l0F −Fh −hσ − εh , εh = 0σ −ψ , ψ = 00 ≤ εh ≤ 1↔h0F0σ − δ ; δ = ln(1 + ψ )σ − δ δ = ln(1 + ε l )0≤δ ≤∞↔Показатели деформации при этом изменяются в одинаковых пределах.Уточним определение кривых упрочнения.Кривыми упрочнения 1-го рода называют зависимость междуинтенсивностью напряжений и показателем относительной деформации,возможные пределы изменения которого колеблются в интервале от 0 до ∝17Кривыми упрочнения 2-го рода называют зависимость междуинтенсивностью напряжений и показателем относительной деформации,возможные пределы изменения которого колеблются в интервале от 0 до 1Кривыми упрочнения 3-го рода называют зависимость междуинтенсивностью напряжений и показателем логарифмической деформации,возможные пределы изменения которого колеблются в интервале от 0 до ∝В дальнейшем мы будем использовать обозначения кривых упрочненияпо результатам опыта на растяжение σ − ε - первого рода, σ − ψ - второгорода, σ − δ - третьего рода.3.6.

Свойства кривых упрочнения в точке, соответствующеймоменту образования шейки в опытах на растяжение.Целый комплекс свойств кривых упрочнения связан с моментомобразования шейки в опытах на растяжение.Сила растяжения образца в любой момент до образования шейкиP = σ s F , где F - текущая площадь поперечного сечения, σ s - истинноенапряжение. Дифференцируя это уравнение, находимdP = F dσ s + σ s dFИзвестно, что моменту образования шейки соответствует максимум накривой условные напряжения – деформация: dPш = 0. Обозначим длямомента образования шейки:σ s = σ sШ ;⎫⎬F = FШ ; ⎭Таким образомFШ dσ sШ + σ sШ dFШ = 0Илиσdσ sШ= − sШdFШFШl F1На основании условия постоянства объема = 0 = 1 + ε == eδl0 F1 −ψF0F= δ 0 , где ψ Ш , ε Ш , δ Ш 1+ εШ e Шпоказатели деформации, соответствующие моменту образования шейки.σFСогласно определению условных и истинных напряжений У =σF0По определению временного сопротивления: σ B = σ У F = FСледовательно FШ = F0 (1 − ψ Ш ) =Шпоэтому:σ sШ = σ B (1 + ε Ш ) =σB= σ B eδ Ш .1 −ψ Ш18Как уже отмечалось выше кривые упрочнения используют ваналитических и численных расчетах в качестве единых кривых,характеризующих свойства материала при любом напряженном состоянии.При численных расчетах кривые упрочнения обычно задают точками ввиде таблиц, используя линейную аппроксимацию между точками.При аналитических расчетах кривые упрочнения заменяютаппроксимирующим выражением.

Требования к такой аппроксимациипротиворечивы. С одной стороны, аналитическая аппроксимация должнаобеспечить наилучшее приближение к действительной кривой, с другойстороны должна быть максимально простой с целью облегченияпоследующих аналитических выкладок.Наибольшееприменениеполучилалинейнаяистепеннаяаппроксимация кривых упрочнения. Аппроксимацию кривых упрочненияобычно выполняют на основе свойств кривых упрочнения, рассмотренныхвыше и связанных с моментом образования шейки в опытах на растяжение.3.7. Аппроксимация кривых упрочнения 1-го родаВ линейной аппроксимации кривых упрочнения 1-го рода используютсвойства касательной к кривой в точке, соответствующей моментуобразования шейкиНа основании условия постоянства объема для кривой упрочненияпервого рода:F0, где ε Ш - относительная деформация, соответствующаяFШ =1+ εШF dεмоменту образования шейки и dFш = − 0 Ш 2(1 + ε Ш )Согласно определению условных и истинных напряженийσ sШ = σ B (1 + ε Ш ) .dσ sШσ= − sШ получим:Подставляя полученное выражение в формулуdFШFШdσ sШσ= − sШF dεF0− 0 Ш(1 + ε )2 1 + ε ШШОтсюдаdσ sШσ= tgα = sШ = Π ,dε Ш1+ εШгде α - угол наклона касательной к кривой упрочнения в точке,соответствующей началу образования шейки, П – модуль упрочнения.19σSbσШdαAeсεεШ11+εШТогда из рисунка, очевидно, что Ac = 1 + ε Ш , ec = ε Ш , поэтому Ae = 1 .Определим далее отрезок de , отсекаемый касательной на оси σ sde = Ae ⋅ tgα =σ sШ.1+ εШРанее получено:σ sШ = σ B (1 + ε Ш ), откудаσ sШ= σ B = de1+ ε ШТаким образом, касательная к кривой упрочнения первого рода вточке, соответствующей началу появления шейки, отсекает на оси абсциссвлево от начала координат отрезок, численно равный единицеотносительного удлинения, и на оси напряжений - отрезок, численно равныйпределу прочности.На этом свойстве основана линейная аппроксимация диаграммыистинных напряжений 1 рода.σ s = σ s 0 + Πεσ s = de + ε tan α = σ B + εσ B = σ B (1 + ε )Такая аппроксимация очень удобна при аналитических расчетах,поскольку использует только одну величину (временное сопротивление),подлежащую экспериментальному определению.203.8.

Аппроксимация кривых упрочнения 2-го родаРассмотрим кривую упрочнения 2-го родаσSВ2σШbσШdAα1-2ψШeψсCψШψ=1σdσ sШ= − sШ ,dFШFШ= F0 (1 − ψ Ш ) , откуда dFШ = − F0 dψ ШДля всех кривых упрочнения справедливо:Ранее получено FШСледовательноσ sШdσ sШ, откуда=−− F0 dψ ШF0 (1 − ψ Ш )dσ sШσ= sШ = tan α = Πdψ Ш 1 − ψ Шявляется тангенсом угла наклонаОтношение dσ sШ / dψ Шψ =ψ Ш .Посколькукасательнойккривойвточкеbc = σ sШ , Ac = 1 − ψ Ш , ec = ψ Ш ,тоAe = 1 − 2ψ Ш .Изподобиятреугольников Abc и ABC получим, BC = 2σ sШ , AC = 2 − 2ψ Ш ⇒ eC = 1Из рассмотрения свойств кривых упрочнения 2-го рода следует важныйвывод: максимальное напряжение текучести не может превышать удвоенногозначения напряжения текучести в момент образования шейки.Применяют несколько способов аппроксимации кривых упрочнения 2го рода.При линейной аппроксимации диаграмму упрочнения заменяюткасательной dbB, проведенной к кривой упрочнения в точке ψ = ψ Ш .Уравнение этой прямой имеет вид:σ s = σ T 0 + ΠψЗдесь σ T 0 - экстраполированное значение предела текучести, численноравное отрезку de, Π = tan α - модуль упрочнения.

Используя ранее21полученные соотношения, а также тот факт, что σ sШ =получим:Π=σB(1 − ψ Ш )2σT 0 =;σ s = σ T 0 + Πψ =σBσB(1 − ψ Ш )2(1 − ψ Ш )2σB, окончательно1 −ψ Ш(1 − 2ψ Ш )(1 − 2ψ Ш + ψ )Используют также степенную функциюσ s = Cψ nПоскольку при ψ = ψ Ш →σ s = σ sШ , тоn⎛ ψ ⎞⎟⎟σ s = σ sШ ⎜⎜ψ⎝ Ш⎠Показатель степени n получают из условия dPШ = 0 , что эквивалентноутверждению, что касательная к кривой упрочнения в момент образованияшейки равна модулю упрочнения П:dσ s σ sdσ s=Π,= n nψ n−1dψ ψ Шdψ ψ =ψШТогда:σ sШσ sШψШn −1=nψ,откудаn=Шn1 −ψ ШψШ1 −ψ ШσBИспользуя, σ sШ =окончательно получим:1 −ψ Шσs =σB1 −ψ ШψШ⎛ ψ ⎞1−ψ Ш⎜⎜⎟⎟ψ⎝ Ш⎠Эта формула предложена С.И.Губкиным.

Однако для малых ψ она даетзначительные расхождения, поскольку для кривых упрочнения приψ=0 σS=σS0, в то время как по формуле Губкина σS=0.223.9. Аппроксимация кривых упрочнения 3-го родаРассмотрим кривую упрочнения 3-го родаσSbσBσSШdαA1-δШeδсδШdσ sШσ= − sШ ,dFШFШF0=−eδ Ш dδ Ш2eδ ШДля всех кривых упрочнения справедливо:Ранее получено FШ =F0, откуда dFШeδ Ш( )Следовательноdσ sШ= σ sШ = tan αdδ Шcb, следовательноAcAc = 1 , Ae = 1 − δ Ш . Тогда касательная к кривой упрочнения отсекает на осиординат отрезок de = σ SШ (1 − δ Ш ) = σ s 0 .На этом свойстве касательной построен один из вариантов линейнойаппроксимации кривых упрочнения 3-го рода:σ s = σ s 0 + Πδ = de + δ tan α = σ SШ (1 + δ − δ Ш )Обратившись к рисунку, заметим cb = σ sШ , tan α =σЗаметим, что σ s 0 = σ sШ (1 − δ Ш ) < σ B = sШeδ ШВ области больших деформаций линейная аппроксимация, построеннаяна основании касательной, дает значительные погрешности.

Поэтому частопользуются аппроксимацией, предложенной Шехтером, или уравнениемсекущей, проходящей через две точки: δ = 0, σ = σ B ; δ = δ Ш , σ = σ SШ .Тогда:σ −σBσ S = σ B + SШ⋅δδШ23Степенную аппроксимацию кривой упрочнения 3-го рода предложилХолломон.σ s = Aδ nПоскольку при δ = δ Ш , σ s = σ sШ , тоn⎛ δ ⎞⎟⎟σ s = σ sШ ⎜⎜δ⎝ Ш⎠σdσ s= SШ n ⋅ n ⋅ δ n−1dδ(δ Ш )Ранее показаноdσ sdσ sШ== σ sШ ,dδ δ =δ Ш dδ Ш( )nnn −1⎛ δ ⎞ ⎞⎟⎛ 1 ⎞dσ sШd ⎛⎜⎜⎟⎜⎟==σσnδноsШ ⎜sШ ⎜Шdδ Шdδ ⎜δ Ш ⎟⎠ ⎟δ Ш ⎟⎠⎝⎝⎝⎠тогда σ SШ =σ SШn −1()⋅n⋅δ, откуда n = δ ШШ(δ Ш )nОкончательноδШ⎛ δ ⎞⎟⎟σ s = σ sШ ⎜⎜⎝δШ ⎠Уравнение Холломона, как и уравнение Губкина для кривыхупрочнения 2-го рода значительно занижает напряжение текучести в областималых деформаций.3.10.

Переход тела в пластическое состояние. Условиясостояния пластичности Треска и Мизеса.Упругое состояние тела полностью определяется тензоромнапряжений, поскольку тензор деформаций однозначно связан с тензоромнапряжений обобщенным законом Гука. В уравнение обобщенного законаГука входят также свойства материала (модуль Юнга и коэффициентПуассона).Упругое состояние переходит в пластическое. Момент перехода –является предельным моментом упругого состояния. Отсюда можно сделатьвывод, что момент перехода из упругого состояния в пластическоеопределяется тензором напряжений.Поскольку математическое описание момента перехода в пластическоесостояние не может зависеть от выбора системы координат, то переход тела впластическое состояние должен зависеть от инвариант тензора напряжений.С другой стороны, образцы, изготовленные из различных материалов,переходят в пластическое состояние при различных значениях напряжений.24Следовательно, момент перехода в пластическое состояние должен зависетьи от свойств материала.Можно предположить, что существует некоторая функция тензоранапряжений и свойств материала, которая определяет переход и поддержаниетела в пластическом состоянии6:f (σ ij ,σ s ) = 0Здесь σ ij - компоненты тензора напряжений, σ s- напряжениетекучести, отражающее свойства материала.Ранее мы показали, что при одноосном растяжении переход иподдержание тела в пластическом состоянии определяется условием:σ1 = σ Sили σ 1 − σ S = 0 .При таком напряженном состоянии все компоненты тензоранапряжений σ ij равны нулю за исключением растягивающего напряжения,направленного вдоль оси образца.

Характеристики

Список файлов книги