Раздел 3. Основы теории пластичности (1003098), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Внешнюю границу можно рассматривать какнаклонную площадку, поэтому проекции удельных внешних сил накоординатные оси определяются как напряжения в наклонных площадках:pi = σ ji n jНа другой части поверхности Fv заданы скорости течения.Fv → vi 0Части поверхности F p и Fv не пересекаются. Это означает, чтоодновременно в одной и той же точке внешней границы не могут бытьзаданы и поверхностные внешние силы и скорости течения в направлениидействия поверхностных сил. Конечно, на части поверхности, на которойзаданы скорости, возникают удельные силы, и, наоборот, на поверхностях,где заданы силы, есть скорости течения, но они заранее не заданы. Вбольшинстве задач обработки давлением как раз и необходимо определитьвнешние силы на части границы, где заданы скорости движения.Например, для осадки можно считать заданным скорость перемещениябойков, а определить требуется удельную силу, действующую на бойкинормально их поверхности.
Поверхностью Fv будет контактная поверхность,соприкасающаяся с поверхностями бойков. Поверхностью F p будетсвободная поверхность (внешние удельные силы на этой поверхности равнынулю).vFvFvp=0FpНаряду с действительными полями напряжений и скоростей можнорассмотреть возможные поля скоростей vi** и напряжений σ ij* , которые64удовлетворяют не всей совокупности уравнений и условий, а только ихчасти13.Статическивозможноеполенапряженийσ ij*удовлетворяетуравнениям равновесия.
В силу соотношений Коши этому полю напряженийсоответствует поверхностная нагрузкаpi* = σ ij* n j ,которая на части поверхности тела F p должна удовлетворять граничнымусловиям по нагрузкам.Кинематически возможное поле скоростей должно удовлетворятьусловиям неразрывности и граничным условиям на части внешнейповерхности Fv . Полю скоростей vi** в соответствии с уравнениями связисоответствуют скорости деформаций ε ij** .
Согласно уравнениям Сен-Венана– Леви – Мизеса тензору скоростей деформации ε ij** соответствует девиаторнапряжений sij** , который с точностью до гидростатического давлениясоответствует тензору напряжений σ ij** . Последний, строго говоря, может неудовлетворять уравнениям равновесия. Согласно уравнениям Коши тензорунапряжений соответствует некоторая поверхностная нагрузка pi**3.22.
Статическая теорема теории пластичности (теорема онижней оценке)Рассмотрим статически возможное поле напряжений σ ij* в жесткопластическом теле. Основное требование к статически возможным полямнапряжений – удовлетворение уравнениям равновесия и граничнымусловиям на части поверхности F p . Таких полей в деформированном телеможно предложить бесконечное множество вариантов.В силу соотношений Коши этому полю напряжений σ ij* соответствуетповерхностная нагрузкаpi* = σ ij* n j ,которая на части поверхности тела F p должна удовлетворять граничнымусловиям по нагрузкам.13Различные верхние индексы для возможных полей скоростей иперемещений использованы потому, что возможное поле скоростей несоответствует возможному полю перемещений, если они оба не являютсядействительными.65Поскольку статически возможное поле напряжений удовлетворяетуравнениям равновесия, то для него можно записать основноеэнергетическое уравнение14:**∫ pi vi dF = ∫ σ ij ε ij dV , где vi - действительное поле скоростей.FVВ то же время для действительного поля напряжений:∫ pi vi dF = ∫ σ ij ε ij dVFVВоспользовавшись тем, что на части поверхности F p выполняютсяграничные условия, т.е.
F p : pi* = pi , а на части поверхности Fv заданыскорости так, Fv :vi = v0i и при этом F = Fv + F p преобразуем левые частиуравнений:∫ pi vi dF = ∫ pi vi dF = ∫Fv + F pF*∫ pi vi dF = ∫Fpi vi dF +Fppi* vi dF +F p pi∫Fv∫Fvpi* vi dF =∫pi vi dF =v0ipi vi dF +Fppi vi dF +Fpv0i∫∫ pi v0i dFFv*∫ pi v0i dFFvВычтем эти два уравнения почленно.
Тогда в левой части уравненийинтегралы по поверхности F p сократятся, в результате чего получим:**∫ pi vi dF − ∫ pi vi dF = ∫ σ ij ε ij dV − ∫ σ ij ε ij dVFvFvVVРассмотрим произведения тензоров напряжений и скоростейдеформаций. В шестимерном пространстве тензоры представляют собой двавектора, а произведение тензоров – скалярное произведение векторов. Поопределению скалярного произведенияa × b = a b cosαОдним из следствий теории пластического течения является то, чтоглавные оси напряжений и скоростей деформаций совпадают понаправлению. Следовательно, для действительного поля скоростей вектораσ ij и ε ij коллинеарны и угол между ними равен нулю.
Поле σ ij* - статическивозможное, следовательно, направление вектора σ ij* в общем случае несовпадает с направлением вектораε ij . Из определения скалярногопроизведения тогда следует:σ ij ε ij ≥ σ ij* ε ijТогда окончательно:14При выводе основного энергетического уравнения мы пользовалисьуравнениями равновесия66*∫ pi vi dF ≥ ∫ pi vi dFFvFvМожно сформулировать, что мощность поверхностных сил,соответствующих любому статически возможному полю напряжений назаданных скоростях всегда меньше мощности действительныхповерхностных сил. Это положение носит название статической теоремы илитеоремы о нижней оценке.3.23. Кинематическая теорема теории пластичности (теорема оверхней оценке)Рассмотрим кинематически возможное поле скоростей vi** .
Основнымусловием построения такого поля является удовлетворение условиямнепрерывности и граничным условиям на части поверхности Fv :Fv → vi** = v0iТакже как и статически возможных полей напряжений, кинематическивозможных полей скоростей в деформируемом теле можно предложитьбесконечно много.Полюскоростейvi**всоответствиисуравнениямисвязисоответствуют скорости деформаций ε ij** .()1 **vi, j + v*j*,i2Согласно уравнениям Сен-Венана – Леви – Мизеса тензору скоростейε ij** =ε ij** деформации соответствует девиатор напряжений sij**2 σ i **sij** =ε ij ,3 εiкоторый с точностью до гидростатического давления соответствует тензорунапряжений. Таким образом, по полю возможных скоростей можнопостроить поле напряжений, которое, строго говоря, может не удовлетворятьуравнениям равновесия.В то же время на границе F p полученное поле напряжений должноудовлетворять граничным условиям:F p → pi** = pi , где pi** = σ ij**n jОсновное энергетическое уравнение применимо по отношению кдействительному полю напряжений и кинематически возможному полюскоростей:**∫ pi viFdF = ∫ σ ij ε ij**dVV67Поскольку на части поверхности Fv кинематически возможное полескоростей удовлетворяет граничным условиям Fv → vi** = v0i левую частьравенства преобразуем к следующему виду:**∫ pi viF**∫ pi vidF =∫dF =Fv + F ppi vi**dF +Fp∫ pi v0i dFFvПравую часть равенства преобразуем к виду (вычтем и прибавим однуи туже величину):⎞⎛**⎜ σ ε **dV − σ **ε **dV ⎟ + σ **ε **dVσεdV=∫ ij ij∫ ij ij ⎟ ∫ ij ij⎜ ∫ ij ijVV⎠ V⎝V≤0Разность в круглых скобках меньше нуля, поскольку вектора σ ij** и ε ij**параллельны между собой.
Тогда∫pi vi**dF +Fp** **∫ pi v0i dF − ∫ σ ij ε ij dV ≤ 0FvVС учетом этого неравенства основное энергетическое уравнение можнопреобразовать к виду:** **∫ pi v0i dF ≤ ∫ σ ij ξ ijFvdV −V**∫ pi vidFFpПравая часть неравенства представляет собой интеграл по поверхностиFv некоторой поверхностной нагрузки pi** , которая соответствует полюнапряжений σ ij** . Используя ее можно найти неизвестные поверхностныесилы pi** на поверхности Fv , соответствующие кинематически возможномусостоянию.**** ****∫ pi v0i dF = ∫ σ ij ξ ij dV − ∫ pi vi dFFvVFpТогда окончательно:**∫ pi v0i dF ≤ ∫ pi v0i dFFvFvЭто неравенство представляет собой кинематическую теорему теориипластичности, или теорему о верхней оценке.Таким образом, мощность поверхностной нагрузки, соответствующейкинематически возможному полю скоростей на заданных скоростях всегдабольше мощности действительной поверхностной нагрузки.Это положение носит название кинематической теоремы или теоремы оверхней оценке.Теоремы о верхней и нижней оценке дают возможность определитьинтервал мощности действительных поверхностных сил на заданныхскоростях:68**∫ piFvv0i dF ≥*∫ pi v0i dF ≥ ∫ pi v0i dFFvFvВ случае действия сосредоточенной внешней силы можно утверждать,что:P** ≥ P ≥ P*Инымисловамиреальнаядеформирующаясилабольшедеформирующей силы, определенной для статически возможного полянапряжений и меньше силы, определенной для кинематически возможногополя скоростей.3.24.
Разрушение материалов при развитых пластическихдеформациях.Вторым предельным состоянием является переход от пластическогодеформирования к разрушению металла. Прогнозирование разрушенияявляется важнейшей задачей теории обработки давлением, посколькупозволяет в совокупности с современными численными методами расчетазаменить натурные эксперименты математическими.Было замечено, что разрушение металлов при пластическихдеформациях определяется накопленными пластическими деформациями исхемой напряженного состояния.
Существует несколько теорий разрушенияобъясняющих этот факт. Большой вклад в развитие этих теорий внеслиотечественные ученые: В. Л. Колмогоров, В. А. Огородников, Г.Д. Дель идругие. Все эти теории являются феноменологическими– т.е. основаны наописании опытных данных. Рассмотрим теорию В.Л.Колмогорова, посколькудля ее применения можно использовать экспериментальные данные,полученные В.Л.Колмогоровым и его учениками.Сформулируем основные гипотезы, использованные в этой теории:1. Пластическая деформация металлов с первых моментов ее наступлениясопровождается накоплением микроскопических нарушений сплошности(микротрещины) и ростом их протяженности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
