Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ранее вектораые дифференциальные уравнения были определены для стационарных систем РЛ. В нестацнонарных системах матрицы в уравнениях (8.8) и (8.9) будут переменными и векторные дифференциальные уравнения примут вид К(Г) = А(!) г(!)+ В(!)х(!); (8.15) у (!) = С (!) 2 (!) + Ьа (С) х (!). (8.16) а Ззн МАТРИЦА ПЕРЕХОДА Найдем решение векторного дифференциального урав. пения (8.!5), которое, как известно, состоит нз решения однородного уравнения и составляюшей, обусловленной действием входного сигнала х(!).
Однородное уравнение получим из уравнения (8.15), положив х(!) =О. В результате найдем, что (8.!7) к(!) = А(!) г(г). Решение этого уравнения ишем в виде а («) = Ф («) ~ (««), (8.18) где Ф(!) — 4ундаментальная матрица; 2((в) — вектор, описывающий состояние системы в начальный момент времени гм Из выражении (8.18) следует, что при (=!в фундамеп. тальная матрица (8.19) Ф(гв) =! где 1 — единичная матрица. Подставив уравнение (8.!8) в (8.17), найдем, что фундаментальная матрица удовлетворяет выражению Ф (Г) =- А («) Ф (!). (8.20) Проинтегрировав (8.20), получим Ф(!) = ехр(') А(!) «)1~. (8.21) ь Определим вынужденную составляющую решения. 1ЭО (8.22) С этой целью положим, что Х(Е) = Ф(Е) У(Е), где У(Е) — неизвестный вектор размером лХ1.
'Подставив (8.22) в исходное уравнение (8.15), найдем Ф (Е) У (Е) + Ф (Е) Ч (Е) = А (Е) Ф (Е) Ч (Е) + В (Е) х (Е). С учетом (8.20) Ф(Е)У(Е) =В(Е)х(Е). Умножив слева последнее выражение на матрицу, обратную фундаментальной, получим Ч (Е) = Ф -' (Е) В (Е) х (Е). Проинтегрировав эзо уравнение, определим неизвестный вектор Ч(Е) = ~ Ф вЂ” '(т) В(т)х(Е)сИ. (8.23) ь Общее решение векторного уравнения (8.15) равно сумме (8.18) и (8.22). С учетом уравнения (8.23) оно имеет вид У (Е) Ф (Е) Х (Ео) + Ф (Е) ) Ф вЂ” ' (т) В (т) х (т) г(т. (8.24) Функцию Ф(Е,т) = Ф(Е)Ф вЂ” '(т) (8.25) называют матрицей перехода системы РА. Отметим некоторые ее свойства. 1.
В начальный момент времени Е=Ео матвица пере. хода равна фундаментальной матрице Ф(Е Ео) = Ф(Е)Ф-'(Ео) = Ф(Е), (8 26) так как Ф(Ео) =!. 2. При Е=т матрица перехода равна единичной матрице, так как Ф(Е, Е) = Ф (Е) Ф- (Е) = 1, (8. 27) В общем случае вычислить матрицу перехода сложно, Обычно для ее определения используются численные методы. Для стационарных систем РА нахождение матрицы перехода упрощается. Решение уравнения (8.17) принимает вид У,(Е) = Ф(Е) К(Е„) = е 'г(Е„), где Ф(Е) =е"' — матричная экспонента, 13! Матрица перехода в соответствии с выражением (8.25) Ф((,т) = Ф(1)Ф (т) =-е " ", (8.28) Фундаментальную матрицу для стационарной системы определим, применив преобразование Лапласа к уравнению (8.20).
В результате получим РФ(р) = ЛФ (р) + Ф (О) Из последнего выражения найдем, что фундамента,1ьная матрица Ф (1) = г- ((р) — Л) '), (8.29) где р( — Д вЂ” характеристическая матрица, определитель которой позволяет определить характеристическое уравнение системы. Очевидно, что матрица перехода зависит от выбора переменных состояния. Пример зл. Найти мзтрицу переходе для системы РА, передаточная фуикцив которой ) (р)= (8.30) (Р + 1о) (Р + хо) Решение. В качестве переменных состояния выберем выходной сигнал и его первую производную. Тогдз передаточной функции (8.30) соответствует векторное дифференциальное уравнение «, (() — 200, — 30 «,(1) 200 я урзвиение выхода Таким обрезом, матрицы системы, управления и изблюдезия принимают вид — 200, — 30 200 0 Характеристическая матрица 200, р + 30 Матрица, обратная хзрзктеристической (см.
прилогкенне П Ч), А), 1 '(Р+ 30 11 (Р+ 10) (Р+ 20) ) — 200, р~ 132 Фундаментальная матрица определяется выражением (8.29) 2е — )ы е — кн 0 1е 10( О,1 — то( Ф(1) = 20е — )ог 1 20е — хо( — )ог 1 2е — 20( Матрица перехода в соответствии с (8.28) Ф (( — т) 2 2 2 0 2е — 10(( — т) — 20Н вЂ” т) -1ОН вЂ” т) — 20(( — т) — е О,(Š— кое ,-- -(а((-т) .,- -В)((-т) -Ю((-т), -таи — т) +20е, е + 2е Найдем вектор переменных состояния при действии на систему управляющего воэдействин х((.)=1Я и нулевом начальном состоянии.
В соответствии с выражением (8.24) 1 2 10(+ 201 г(() = 20е — юс 20е-та( Если в рассматирваемом примере переменными состояния выбрать вектор РОО с составляющими й(1) и (,(О, определяемые через полюсы системы, то матрицы системы, управления в наблюдения получаются следуюшими: А.= '; В = 1 Ск Прн этом матрица перехода Ф (( — т) =- Вектор переменных состояния при к(()=1(() г" (() =- ф 8.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Применим метод описания систем РА в пространстве состояний для оценки качества их работы по интегральным оценкам. Интегральной оценкой называют значение следуюгцего интеграла; ~Ю .(, = ~ С'г (1) б( = ~' у (() б(, а где Х(() — вектор переменных состояния, начальное зна. чение которого известно; у (() — выходной сигнал системы.
Интегральные оценки определяются при входном сиг- нале равном нулю. Смысл применения оценки (8.3!) заключается в том, что интеграл находят без вычисления Подыитегральиого выражения. Чем меньше интеграл, тем выше качество работы системы РА и наоборот. Интегральную оценку (8.3!) называют первой интегральной оценкой. Для ее расчета необходимо в преобразовании Лапласа для у(1) при за- У и данном начальном состоянии положить р=О.
Первая интегральная оценка ц используется только в тех случаях, когда заранее известно, что переходный процесс в системе РА имеет монотонный характер. Чар . Зл. К онрецеиеиггкг сто по значению первой интенериой иггтегрелиы1оа гральиой оценки нельзя судить оценки о качестве работы системы. Действительно, если в системе РА имеют место незатухающие колебания (рис. 8.4), то первая интегральная оценка окажется равной нулю, т. е. будет соответствовать высокому качеству работы, иа самом деле такая система неработоспособиа. Поэтому качество работы систем РА определяют с помощью квадратичной интегральной ог4енниг уе= (ие(()й.
е Очевидно, для системы с переходным процессом, показанным иа рис. 8.4, квадратичная интегральная оценка равна бесконечности, т. е. соответствует иеудовлетвори. тельному качеству работы. Для достижения требуемых показателей качества работы ряд параметров системы РА могут варьироваться относительно расчетных значений. К числу таких регулируемых параметров относится коэффициент усиления системы, постоянные времени корректирующих устройств и другие значения параметров, при которых иитегральная оценка имеет минимальное значение, называют оптимальньгми.
Оптимальные параметры находятся из следующей системы уравнений: — 1 — О, г' = !,2„ ,й, д еВг (8.32) (8.33) 134 где В, — регулируемые параметры; й — число регулируемых параметров. (8.36) где а,, О, О,..., О О,а2,О,...,О Иногда выбор параметров из условия минимума оцеи. кн (8,32) приводит к резко выраженным колебательным процессам, поэтому в системах РА применяется обобщенная интегральная квадратичная оценка: ,) „= ) о (() дй (8.34) ь где о (() — квадратичная форма, Примером квадратичной формы является функция о(1) = а, г',(Г) +а, г?(О+„.+а„г2((), (8.35) где г, (г), ге((), ..., г.
(() — составляюшие вектора состояния; а; — весовые коэффициенты. В простейшем случае интегральная оценка (8.34) имеет вид .( = [ [г'(() +т'г'(()[Й а где т — весовой коэффициент. Физический смысл интегральной оценки (8.36) следу. 1оший. Прн выборе параметров системы РА из условия минимума оценки (8.36) не допускается как длительное отклонение от нуля переменной (иначе первая составляюшая оценки будет большой), так и большое значение г,(() (иначе вторая составляющая оценки будет большой), Таким образом, получается хотя и быстрый, но и плавный переходный процесс.
При этом, чем больше весовой коэффициент т, тем более медленному переходному процессу соответствует минимум интегральной оценке (8,36). Оказывается, что выбор параметров системы РА из условия минимума оценки (8.36) означает приближение переходного процесса в системе к экспоненте с постоянной времени т, а из условия минимума оценки (8.32)— приближение переходного процесса к ступенчатой функ. цни. Для вычисления квадратичных интегральных оценок выражение (8.35) необходимо записать в матричном виде (см. приложение П,4): о (() = Х г (() Н Х ((), (8.37) О, О, О,.„а„ вЂ” матрица квадратичной формы.
Расчет квадратичных интегральных оценок основан на введении дополнительной квадратичной формы, которая с квадратичной формой интегральной оценки (8.35) связана выражением — ю(() = — о((). д й При этом квадратичная интегральная оценка (8.34) принимает вид (8.38) ,) „= — ) — ю (() сЫ = щ (О). Г д о Если выразить дополнительвую квадратичную форму через вектор переменных состояния ю(() = Х (Е)%Х((), (8.40) то (8.39) окажется следующей; У = Хт(0)%Х(0) (8. 41 где % — матрица дополнительной квадратичной формы; Х(0) — начальное значение вектора переменных состояния. Для определения матрицы дополнительной квадратичной формы подставим выражение (8.40) в (8.38). В результате найдем, что д юР) Хт (~)%ХР) + Хг(~)%Х(() Хг(Г) УХ(~) й (8.39) 136 (8.42) Учитывая векторное дифференциальное уравнение системы (8.8), в котором х(г) =О, получим Х (()А %ХР)+ Х (()%АХ(Г) = — Х (Г) ЧХ(Г). (8.43) Из этого выражения следует матричное уравнение А %+%А = — У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
