Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для этого нужно решить следующую систему уравнений: — о, = О, г =!2„,п. д з дрг (9.6) К р(1 +рт) (9.7) Решение. На систему действуют сигнал и помеха, спектральные плотности которых 5,(м)=)У„/ма; За(м) Ага. Суммарная сред. 142 Обычно минимум суммарной среднеквадратической ошибки при оптимальных значениях параметров следует из анализа физического содержания задачи, поэтому нет необходимости в вычислении второй производной. Если вторая производная поло>кительна, то при найденных оптимальных параметрах имеет место минимум суммарной средней квадратической ошибки системы РА. В процессе синтеза системы РА обычно требуется вычислить оптимальные значения только настраиваемых параметров (коэффициент усиления н одна илн две постоянных времени корректируюшего устройства) системы, число которых в системах невелико, что облегчает задачу оптимизации. Пример 9.1.
Найти оптимальное значение козффипиеита >силе. ния в системе РА, пердаточиав функция которой в разомкнутом со. стовнии пяя квадратяческая ошибка системы а .= ' 1 [ ( 97 ((в) йг (, ) ) т л( +! йг ов) ) э й( 1Пв 1+КТ К =(У +А1п —, 2К 2 (в (1+ (вТ) глс йг, цв) = — частотная характеристика ошнб. ()ег)э Т -)- (в + К ки системы; йуе((в) =1/()в) — частотная характеристика формиру- К юшего фильтра сигнала; йг,((в) = = Пв)йт+( +К вЂ” частотная характеристика замкнутой системы.
Оптимальное значение коэффициента усиления определим из условия (9.6), ко- .х торос для рассматриваемой задачи име- и ет вид ппп е х Мх Мп пе — о = — — + — =О. ЯПФ дК ' 2Кз 2 Тогда оптимальный коэффициент усиле- Пбх пх 1 К сэ~ Г Ф /(Уз. -и На рис. 9.2 показаны кривые из- 9 2 т Лр П И,С менения составляющих средней квадратической ошибки системы РА в за- Ри 92 К определе ищ висвмости от коэффициента усиления оптимального коэффицидпя Хи=0,76.10 — ' рад' С; (уч 0,305Х сита Снпсиня СИСТЕМЫ Х10-' рад'с; Т=б,! с. $9.3, ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПТИМАЛЬНОЙ ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ Рассмотрим систему РЛ с частотной характеристикой (рис.
9.3) Ге1О п и в(в (9.8) 0 при в) вгп где со. — ширина полосы пропускания системы РА. Если сигнал и помеха некоррелированы, то дисперсия ошибки системы с частотной характеристикой (9.8) в соответствин с выражением (6.20) мп о, '= — ( 5., (в) йо+ — ( 5п(в) с)в = о',„+ ов, (9.9) еп о где а, — средняя квадратическая ошибка; 5 (в) — спектральная плотность сигнала; 5,(в) — спектральная плот- 143 ность помехи; и„— средняя квадратическая сшибка относительно сигнала; пгя — средняя квадратическая ошибка из-зл действия помехи.
Из выражения (9.9) следуег, что средняя квадратическая ошибка системы РА зависит от ширины полосы Рис. 9.3. Идеальная ЛЧХ Рис. 9.4. К определению оп. тимальноя полосы пропускания при неперекрегпяааюшихся спектрах сигнала и помехи пропускания. Полосу пропускания системы РА, при кото. рой средняя квздрашгческая ошибка принимает минимальное значение, называют оптимальной, На рис, 9.4 показаны графики спектральных плотное.
тей сигнала и помехи. Так как эти графики не перекрываются, то оптимальная полоса пропускания системы равна граничной частоте спектра сигнала. В этом случае средняя квадратическая ошибка системы РА равна нулю, так как все составляющие спектра сигнала иоспргшзводятся системой и ни одна составляющая спектра помехи не проходит на ее выход. Если графики спектральных плотностей сигнала и помехи перекрываются, то обе составляющие средней квадратической ошибки системы в выражении (9.9) не равны нулю. Из рис, 9.5 видно, что первая составляющая (средняя квадратическая ошибка воспроизведения снгна.
ла) определяется гой частью спека ральной плотности сит. пала, которая расположена за полосой пропускания системы (площадь! под графиком спектральной плотности сигнала). С расширением полосы пропускания эта составляющая ошибки уменьшается (рис. 9.6). Вторая со. сзавлягощая средней квадратической ошибки системы, обусловленная помехой, зависит от той части спектральной плотности помехи, которая совпадает с полосой про. пускания системы (площадь 2 на рис, 9.5). С расшире- 144 пнем полосы пропускания среднеквадратическая ошибка из за действия помехи увеличивается (рис, 9.6). Оптимальная полоса пропускания системы РА соответствует минимальной средиеквадратической ошибке, Для ее вы- и снап Рис. 9.6.
Зависимость средней квадратической ошибки системы РАот ы, Рпс. 9.5. К пояснению оптимальной полосы про. пускания системы РА (9.10) й 94. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ Сформулируем постановку задачи синтеза оптималь. ных систем. На вход проектируемой системы действуют 10 — 493 числения продпфферепцируем выражение (9.9) по полосе пропускания оы н полученный результат приравняем нулю. В результате получим — — 3, (соп,) + — 5„(о1иа) = О. ! 1 Из этого выражения следует, что оптимальная поло. са пропускания системы — это частота, на которой выполняется равенство ~а (еопа) ~п (шпп).
(9.1!) Так как частотные характеристики систем РА отличаются от идеальной характеристики (9,8), то оптимальная полоса пропускания, найденная из выражения (9.11), получается приближенной. Как показывает практика, ошибки при этом не превышают 1Π— 20 %, Минимум суммарной средней квадратической ошибки системы определяется не толы<о полосой пропускания, но и видом ее частотной характеристики. Поэтому в общем случае синтез системы заключается в нахождении ее оптимальных частотных характеристик из условия миничума суммарных средних квадратических ошибок при заданных статистических характеристиках сигнала и помехи.
стационарные сигнал и помеха, автокорреляционные функции которых известны. Математические ожидания сигнала и помехи равны нулю. Желаемый выходной сигнал синтезируемой системы определяется заданной частотной характеристикой. Необходимо найти передаточ. ную функцию системы, при которой суммарная средняя квадратическая ошибка системы (см, рис.
9.!) минимальна: а, = г е' (Г) = пип, (9.12) где е(Г) =уж(Г) — у(!) — ошибка системы; у (г) — жела. емый выходной сигнал системы; у(г) — выходной сигнал системы. Рассмотрим задачу оптимальной фильтрации. В этом случае %' (!го) = 1, т. е. у (г) х(г). (9,13) Согласно (9.12), дисперсия ошибки ат = (х (!) — у (Г) 1 = и„' + ае — 2ащ. (9.14) Дисперсию выходного сигнала синтезируемой системы РА ае найдем аналогично дисперсии ошибки системы (6.18); ае = ) ге(Л) ~ ге(11) )7 (Л вЂ” и) г)п 0Л, (9.15) — М где ге (Г) — импульсная переходная функция системы; Й~(т) — автокорреляционная функция суммарного входного сигнала 1(!) =х(1)+и(!); и(!) — помеха. Таким же образом получим ата = ) ге(Л) )7 (Л) бЛ (9.16) где тс ~(т) — взаимная корреляционная функция сигнала с суммарным воздействием.
Подставив выражения (9.15) и (9.16) в (9.14), апре. делим а~=а,+ ~ ш(Л) ~ ге(т!))7г(Л вЂ” т))дйдЛ— 00 Ю вЂ” 2 ~ ге (Л) Р„г (Л) ЙЛ. (9.17) Синтез оптимальной системы сводится к нахождению импульсной переходной функции из (9.17). Для реше. ння этой задачи дадим вариацию импульсной переходной функции ш (!) = шо (!) + 6ве (!), (9.!8) где ао(!) — искомая оптимальная импульсная переходная функция проектируемой системы РЛ; 6 — вариация импульсной переходной функции. Импульсную переходную функцию, минимизирующую дисперсию ошибки (9.17), определим из условия (9.19) дд !в=о Подставим формулу (9.18) в (9.17), Тогда оптимальная импульсная переходная функция проектируемой системы РА с учетом (9.19) должна удовлетворять уравнению ~Ю в 2 1 о)[ 1,(1)й,о.— олц — о,.,(ч]%= О: (9ло) й ОО Так как неоптимальная импульсная переходная функция ое(!) — функция произвольная, то уравнение (9.20) выполняется только в том случае, когда ) шо(т!) )7~(! — т!) в)п — )7„~ (!) = О, (9.21) СО где переменная ), заменена на !.
Выражение (9.21) называют уравнениели Винера— Хосефа. Средняя квадратическая ошибка выделения сигнала из воздействия в установившемся режиме — постоянная величина, ее значение определяется из выражения (9.17), в котором вместо ш(!) нужно подставить шо(1). Тогда с учетом уравнения (9.21) оелип = ох [ шо (Х) [ шо (т)) Р~ (Х Ч) о(г! 6)о (9 22) Решение уравнения Винера — Хопфа во временной области является сложной задачей. Значительно проще решить эту задачу в частотной области, т. е. найти оптимальную частотную характеристику системы, С этой целью применим к уравнению (9.21) преобразование Фурье.
В результате получим й~ (1а) 51'(а) = 5„(а), (9.23) Из этого уравнения найдем оптимальную частотную характеристику:, 81 (а) $ 9о) 9 ( — )а) где 51(а) — спектральная плотность суммарного сигнала на входе проектируемой системы; 5.1(а) — взаимная спектральная плотность сигнала с суммарным сигналом; ф()а) — функция, все полюсы которой на плоскости кбмплексного переменного р=1а расположены в левой полу- плоскости; ф( — )а) — функция, все полюсы которой расположены в правой полуплоскости. В общем случае 5„~(а) = 5,(а)+ 5„„(а); 51 (а) = 5х (а) + 5.„п (а) + 5о (со) + 5,„(а). (9.26) Если сигнал и помеха некоррелированы, то 5,у(а) = 5,(а); 5/(а) 5х(а) + 5о(а) (9.26) Из выражений (9.24) — (9.26) следует, что оптимальная частотная характеристика выделяет составляющие сигнала на частотах, на которых его спектральная плотность сравнительно велика, и ослабляет составляющие сигналы на частотах с максимальной спектральной плотностью помехи.
С учетом оптимальной частотной характеристики минимальное значение дисперсии ошибки для некоррелированных сигнала и помехи в соответствии с выражением (6.20) оды = ) — оа, 1 Г 5.; (а) 8„(о1) (9.27) лх (а) + Хо (а) ОО Таким образом, если спектры сигнала и помехи не перекрываются, то средняя квадратическая ошибка может быть равна нулю. Спектральная плотность является четной функцией относительно частоты а, поэтому полюсы характеристики (9.24) расположены на плоскости р=/а.как слева, так и справа от мнимой оси. Поэтому найденная оптимальная частотная характеристика (9.24) соответствует физи- 148 чески нереализуемой неустойчивой системе, Дальнейший синтез оптимальной системы сводится к определе.пцо реализуемой оптимальной частотной характеристики, наиболее близкой к полученной нереализуемой (9.24), Реализуемая оптимальная частотная характеристика определяется выражением .( )= .
~,""1" ( ) Ф(1ра),Ф( — )м) Л где операция [...]~ означает выделение слагаемых, полюсы которых на плоскости комплексного переменного Р=)4а расположены слева от мнимой оси. В случае, часто встречающемся в инженерной практике, когда функция 5хг(м) Ч ( — й») является дробно-рациональной частоты, выделение слагаемых нымп слева от мнимой осп, осу женпя (9.29) па простые дроби: х ~хг (и) 9( — ) ) .аЙ (9.29) Функцией относительно с полюсами, расположенществляется путем разло- (9.30) где ~щ ! ) Я„у (м) (9.3!) ~'х(Р) = йГго(РЖх (Р). (9.33) где !Гр,(р) — передаточная функция разомкнутой оптимальной системы; )р"„„(Р) — передаточная функция исход- 149 Х~ — полюсы выражения (9.29). Дисперсия ошибки в системе с частотной характеристикой (9.28) будет больше значения, определяемого по выражению (9.27) и найденного без учета физической реализуемости оптимальной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
