Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Сигнал на выходе дискретнзатора с учетом (10.41) можно записать как х* (/) = — '~ х (/) е т Применив к последнему выражению преобразование Лапласа и заменив в полученном выражении р на /ьь найдем, что Х (/гь) = — ~ ' Хрсо — /й— т~А ~ т). (10.42) гвт ~~ 20>„" (10.43) Условие (10.43) используется для выбора частоты работы дискретизатора.
При этом нужно иметь в виду, что реальные сигналы имеют неограниченные спектры, хотя и убывающие при стремлении частоты к бесконечности„ поэтому условие теоремы Котельникова нужно рассматривать как приближенное утверждение, определяющее наименьшую частоту работы дискретизатора. Аналогично (10.42) запишем частотную характеристику импульсного фильтра через частотную характеристику его приведенной непрерывной части: )р ц (/) = Д уепяч (/ы — //т — ~. (! 0.44) 169 Из этого выражения следует, что спектр сигнала на выходе дискретизатора является периодическим и содержит высокочастотные составляющие.
Так как сигнал на выходе дискретизатора существует только в дискретные моменты времени, то прохождение сигнала через дискретизатор связано с потерей информации. Однако при ограниченном спектре сигнала можно вновь восстановить сигнал по последовательности мгновенных импульсов на выходе дискретизатора. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие теоремы Котельникова; )г и (1та) (г'чнч ((ы). 1 Очевидно, что в этом случае частотные свойства импульсного фильтра совпадают со свойствами приведенной непрерывной части. й 1О.а. НеРехойные НРОцессы В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ Методы вычисления переходных процессов в цифровых системах РА основываются на Л-преобразовании переходного процесса, которое прн единичном входном сигнале имеет вид Н(г) = !Г(г)— г — 1 (!0.45) Для расчета дискрет переходного процесса нужно найти обратное Я-преобразование выражения (10.45).
При этом следует воспользоваться формулой обращения (10.14), которая устанавливает, что дискретные значения переходного процесса й(пТ) = ~~ РезН(г)гч — г..н 1=1 (10.46) где г; — полюсы выражения Н(г); 1=1, 2, ..., 1. 170 С ростом частоты модуль частотной характеристики приведенной непрерывной части фильтра уменьшается, поэтому при нахождении частотной характеристики им. пульсного фильтра можно в выражении (10А4) ограни» читься только двумя илн тремя слагаемыми. Проанализируем условия неискаженной передачи сигнала импульсным фильтром.
Одно из условий оп. ределено — период работы дискретизатора должен удовлетворять условию теоремы Котельникова. Кроме того, для неискаженной передачи сигнала нужно отфильтровать все высокочастотные составляющие спектра сигнала (10.42). Для этого необходимо, чтобы ширина полосы пропускания приведенной непрерывной части импульсного фильтра была меньше граничной частоты в спектре сигнала. При этом приближенно можно считать, что частотные характеристики импульсного фильтра и приведенной непрерывной части связаны соотноше- нием Продозженпс табл. Ид Расположение г. 1 Я~пг/ ~,.( г! у.гп3г Вычет в простом полюсе вычисляется по формуле Вез Н (г) г" — ' = 1нп (г — г,) Н [г, 'г"- '.
(10.471 Л 2 Вычет в полюсе кратности Й ГезН(г)" — ' = )пп — ((г — г,)'Н(г)г" 1) (10.48) (а — !)! г г~ бг~-~ Характер изменения переходного процесса зависит от полюсов передаточной функции цифровой системы. В табл. 10.1 приведены составляющие переходного процесса для различных случаев расположения полюсов системы на плоскости комплексного переменного г. Дискретные значения переходного процесса могут быть найдены также путем разложения Н(г) в ряде Лорана. Для этого нужно числитель Н(г) разделить на его знаменатель.
В результате получим Н(я) = й + й, ' + й +...да я — +...+. ()О,40) е(лТГ 60 УГ(пг/ Рис, 1О.!5. Переходный процесс в цифровой си- стеме Рис. !0.16. Переходный процесс в цнфровом дальномере относительно ошибки 173 Коэффициенты при г-' определяют дискретные значения переходного процесса, Для наглядности графика переходного процесса рекомендуется его дискретные значения соединять прямолинейными отрезками. Пример 10.6.
Определить переходный процесс в цифровой системе, структурная схема которой дана на рис. 10.12. Передаточная функция корректируюшего устройства системы равна единице, а передаточная функцив разомкнутой системы 1 — е Уп(з) =Й— з — е Р е ш ение. Для переходного процесса в соответствии с (10.45) 3-преобразование й (! — е-6) з О(з)=йт,(з) — = ( з — 1 зно о з — ! где и=А(! — е 6) — е 6 — постоянный козффицнент; йг.(г) — передаточная функция замкнутой систелгы, вычисляемая по формуле (10.33). Согласно (! 0,46) и (10.47), й(ггТ) = (1 — ( — г()»). й 1+Е На рис. 10.15 показан график переходного процесса при й=! н 5=1. Пример 10.6.
Найти переходный процесс относительно ошибки в дальномере РЛС с одним интегратором прн 67=1,5. Р е ш е н и е. Передаточная функция дальномера в разомкну~ем состояни)з определяется выражением (10.29), Для переходного процесса с-преобразование найдем по формуле 2 2 Не (2) = йуе (2) — т г — 1 г+0,5 где йт,(2) — передаточная функция ошибки, определяемая вираже. кием (!0.34). Обратное Я-преобразование (10.50) в соответствии с формулами (1046) и (!047) имеет вид е(пг)=( — 05").
Установившееся значение ошибки равно нулю, так как цифровой дальномер с одним интегратором — зто система с астатизмом первого порядка. На рис. 10.16 показан график переходного процесса в дальномере относительно ошибки. Рассмотрим еще один метод расчета переходных процессов в цифровых системах РА, который базируется на разностных уравнениях системы.
В общем виде дискретная передаточная функция системы 2' 00 с гм+ с„, г~ — '+...+се Х(г) г'+а,,г! — 2+о г! — 2+...+и Представим последнее выражение через отрицательные степени г: Ст 2 + Сзз — т 2 +...+ Се 2 Из выражения (10.5!) следует следующее соотношение для Л-преобразования выходного сигнала: 1'(г) = (с г — '+ с г — ' — '+...+с г — 2~Х(г)— — (а, зг-'+ а,,г-'+...+ а,г-'1У(г). (10.52) Так как в соответствии с первой теоремой смещения (10.9) л(х(1 — йТ)! = г-"Х(г), 2!у(1 — йТ)! =г-"У(г), то, согласно (10.52), разностное уравнение системы относительно дискретных значений входного и выходного сигналов у(нТ) = с х((п — 1+ и!) Т)+ с ! х((н — 1+ тв — 1) Т! + +...+ с х((а — 1)Т! — а! ! у((а — 1)Т! — а! зу)( х 1(а — 2)Т! —...— а, у((л — 1) Т! .
(10.53) В соответствии с (10.53) рекуррентные формулы расчета переходного процесса при известном входном сиг- 174 нале для т=! — 1 запишем в виде у(0) =0; у(Т) =с х(0); у(2Т) =с х(Т)+с 1х(0) — а, 1у(Т); уЯТ) = ~~'с,„— с х((й — 1 — 1)Т) — ~~)'ас — су((й — Г)Т) вся (10.54) В уравнениях (10.54) учтено, что дискретные значения выходного сигнала при отрицательных значениях аргументов равны нулю. Формулы (10.54) используются и для расчета переходных процессов в непрерывных системах РА. Для этого осуществляют дискретизацию векторного дифференциального уравнения, после чего по выражению (10.54) вычисляют переходный процесс (см. гл.
11). $10.7. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ РАБОТЫ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ Точность цифровых систем РА характеризуется как статическими„так и динамическими ошибками, оцени- ваемыми относительно медленно изменяющихся воздей- ствий. Если динамическая ошибка существует, то она мо- жет быть найдена по Я-преобразованию ошибки по теоре- ме о конечном значении,(10.12). В противном случае, когда предельное значение динамической ошибки равно бесконечности, она вычисляется по формуле е (пТ) = Се х (пТ) + С, х (пТ) + — С, х (пТ) + 2 + „, + — Сех~(пТ), И (10,55) где Се Сь С, — коэффициенты ошибок по положению, скорости, ускорению и т.
д. Коэффициенты ошибок находят по передаточной функции ошибки С„=(1 ", (Р,(кг)~,, (10.56) нр' Выражение (10.56) неудобно для расчетов, поэтому коэффициенты ошибок рассчитывают по формулам С Ж (г) ! С гТ (т (г) ~ и Сг = 2 ~ Т вЂ” Ф; (г) + гТ вЂ” Ф', (г)) гТ ~,, дг дгэ В астатическнх системах несколько первых коэффн. цнентов ошибок равны нулю: Сэ=С,=...=Сэ ~ О, гас т — порядок астатизма. В этом случае ошибка относительно сигнала (10.37) равна нулю. Ошибка системы е(!) = х (!) — у(!), (10.58) где х(!) — стационарный случайный сигнал с математическим ожиданием т.,; у(!) — выходной сигнал системы. Найдем среднюю квадратическую ошибку системы, на вход которой подается воздействие 1(!) к Х(!)+а(!), (10.59) где и(!) — случайная стационарная помеха с нулевым математическим ожиданием.
Для ошибки (10.58) Я-преобразование определяется выражением Е (г) = Ю, (г) Х (г) — Ятэ (г) и (г), (10.60) где М'.,(г) — передаточная функции ошибки; %',(г)— передаточная функция замкнутой системы. После окончания переходного процесса суммарная ошибка (10.58) образует дискретный сигнал, математическое ожидание которого рассчитывается по формуле (!0.60) с помощью теоремы о конечном значении (10.12): т, = 1!гп 1(г„(г) т„ (!0.61) Средняя квадратичная ошибка системы вычисляется через ее спектральную плотность, которая находится так же, как и в непрерывных системах.
Поэтому аналогично (6.!9) спектральная плотность ошибки 5,(г) = ( йт,(г) ~' Е,(г) + $ В',(г) ~Р 5,(г) + йт,(г-')%',(г) х Х 3„., (г) + 1!т, (г) !р, (г — ') Я„„. (г), (10.62) где Я.(г) — спектральная плотность сигнала; 3,(г)— спектральная плотность помехи; 5 „(г), 5„„(г) — взаимные спектральные плотности.
!7В (10.64) Дисперсия ошибки системы а-.= ' г() 5.(х) —" (10.63) — — ф !г~ =! Если для расчета дисперсии ошибки использовать спектральную плотность относительно псевдочастоты (10.39), то в соответствии с (10.63) о. = — 1 5,(о) 2 Т Т до 2и3 ° ~ 7-~ Для вычисления интеграла (10,64) используем фор- мулы, приведенные в приложении П.2.
В результате найдем, что средняя квадратическая ошибка системы а, = [от -)- о',„-1- а; "+ ог 1!~г (!0,65) где о'„— дисперсия ошибки относительно сигнала; о', дисперсия ошибки из-за действия помехи; а,',„, а焄— составляюшпе, обусловленные корреляцией сигнала с по- мехой и помехи с сигналом. Если сигнал и помеха в (10.59) некоррелировапы, то последние два слагаемых в выражениях (10.62) и (10,65) равны нулю. Иногда точность цифровых систем РА оценивается суммарной средней квадратис!еской ошибкой: о = (тт,+ от)пэ (10.66) где т, — математическое ожидание ошибки, вычисляе- мой по формуле (10.61). Пример 10.7. Определить суммарную среднюю квадратичную ошибку цифрового дальномера с одним интегратором, на вход кото- рого действует помеха в виде белого шума и сигнал (измеряемая дальность) !7=)сз+)71, где 7!а — начальное значение дальности; )!в скорость изменения дальности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
