Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Р е ш е н и е. Передаточные функции дальномера в соответствии с выражениями (10.29), !!0.33) н (!0.34) йт я — 1 !рз(г) = Рте (г) = (10.67) г — ! + йт ' ' * — 1 + йт ' Динамическую ошибку дзльномера вычислим через коэффициен- .ты ошибок. В результате нзйдем, что ! т,=С Л= — )с, е — х где С, — коэффициент ошибки по скорости, рассчитываемый по фор- муле (!0.67), 12 — 493 177 Спектральная плотность ошибки дальномера относительно помехи, согласно (10.62), З,(е) =~ ~ Я(0). (10.68) где 3(О) — спектральвая плотность белого шума. Спектральную плотность относитеиьно псевдочастоты найдем по (10.68) с учетом (1ОЛО): «Т(1;о — ') 5 (0).
З,(е) = Т )а — (2 — «Т) + «Т 2 Дисперсия ошибки измерения, возникаюшей из-за помехи, а,„= — 5 (О). «т (10.69) еп 2 «Т Для вычисления интеграла (10.69) использована формула для л= 1, приведенная в приложении П.2. Из выражения (10.69) следует, что с увеличением периода дискретизации ошибка измерения дальности растет н при «Т=2 будет равна бесконечности, что связано с нарушением устойчивости дальномера.
Суммарная средняя квадратическая ошибка дальномера с одним интегратором в соответствии с (10.66) «т )гз + Я (0)1 2 — «т й 10.8. АНАЛИЗ УСТОИЧИВОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ 1+ ЯУр(г) = О, (10.70) где ))ур (г) — передаточная функция разомкнутой системы. Пример 10.8. Определить условие устойчивости дальномера с одним интегратором, передаточная функпня которого в разомкнутом состоянии определяется выражением (10.29). 178 При анализе переходных процессов было установлено, что переходный процесс будет затухающим, если все полюсы цифровой системы РА на плоскости комплексного переменного г расположены внутри круга единичного радиуса.
Это условие является необходимым и достаточным для устойчивости системы. Полюсы системы— корни характеристического уравнения, которое получается из передаточной функции замкнутой системы путем приравнивания ее знаменателя нулю: решение. Характеристическое уравнение дальномера: г-!+ +йт о. 2 условие. устойчивости; !г,( 11 — йТ1(1 или а< —.
Расположение корней характеристического уравнения (10.70) внутри круга единичного радиуса соответствует расположению корней на плоскости комплексного переменного р слева от мнимой оси в полосе ч=и/Т, которое не может быть проверено ни одним из критериев, используемых для оценки устойчивости непрерывных систем РА. Однако если с помощью подстановки (10.38) в уравнении (!0.70) перейти к комплексной плоскости з (см, рис. 10.14), то областью устойчивости оказывается вся левая полуплоскость и для оценки расположения корней на плоскости з могут быть использованы критерии устойчивости, разработанные для непрерывных си. стем РА. Так, для проверки устойчивости цифровой РА по критерию Гурвнца необходимо от характеристического уравнения (! 0.70) перейти к уравнению 1 + йур (з) = ~ 1 + йу р (г)~, ~, = Ь, з' + Ь, 1 Ф вЂ” ' -1- 1 т +...+ь,=о.
(10.71) Так же как и в непрерывных системах, нужно составить матрицу Гурвица: Ь,„Ь,ч,Ь,,„,О ьо ь; , ь ,..., о о, ь, „ ь, „..., о ьа Условия устойчивости при Ь~>0 Ьс ь Ь~ а Ьь Ь!г Если хотя бы один из определителей меньше или равен нулю, то цифровая система неустойчива. Условие А~ 1=0 определяет границу устойчивости, из этого уравнения находится критический коэффициент, Пример 10.9. Оцепить условия устойчивости для цифровой системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии (1 — е Р)г и р (г) = ИТ (г-1)(г — е Р) !2ч 179 Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение системы в соответ- ствии с (10.70) и (10.72) и гз -1- а, г + а„= О, где аз=1; о,=ЬТ(1 — е ) — 1 — е; оз=е — а — а Характеристическое уравнение (10.71) принимает аид Ьззз+Ьгэ+ос О, где Ьз=п,— п1+ап Ь,=2аг — 2аи аз=ах+а,+пи Условия устог!низости: Ьз= 2(1 — е ") — ЬТ(1 — е Ь)г> 0; Ь, =2(1 — е Г)>0; Ьз = ЬТ (! — е Ь) > О.
Та« как с г< 1, то второе и третье условия устойчивости выполняются при лю5ых коэффацпснтах Ь и Р, з первое только в толг случае, ногдз 2 1+с Ь(— (10. 73) Т 1,— Ь' Если в выражении (10.73) поставить знак равенства, то получим уравнение для границы устойчивости. Устойчивость цифровых систем РА может быть оценена и по частотным критериям устойчивости. Так, для оценки устойчивости по критерию Найквиста нужно построить годограф частотной характеристики разомкнутой системы относительно круговой частоты или относительно псевдочастоты на основе з-преобразования (10.39). В том и другом случае цифровая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами [ — 1, 10).
Близость системы к границе устойчивости определяется запасами устойчивости. Запас устойчивости по уси. лению вычисляется на критической частоте, на которой ФЧХ разомкнутой системы равна — 02 ! а=— [йгр(!гзир) ! где от„ — критическая частота. Запас устойчивости по фазе рассчитывается на частоте среза: Агр = н + грр(гоар), где госр — частота среза. Пример 10.10. Определить, используя критерий устойчивости Нзйквиста, критический коэффициент усиления в цифровой систе- 180 '/а ме, передаточная фуикцяя которой в рэзомкяутом состояиии ! — е 1Р!,(г) = йт г — е Решение. Разомкиутая система устойчива, так как ее полюс г,=е !(!. На ряс. 10.17 построен годограф частотной характеристики разомкиутой системы, из которого видно, что пыр —— и/Т !трагический коэффициент вайдам пз условия В р(!така) = 1 ° В результате получим Рис.
10.17, Годограф частотиой характеристшси разомкиутой системы 1+с ах яр= 1 — е й 19.9. СИНТЕЗ !1ИФРОВЫХ СИСТЕМ Синтез цифровых систем РА сводится к выбору цифрового корректирующего устройства, последовательное включение которого с объектом управления позволяет получить систему с желаемыми характеристиками (рнс, 10.18), Рассмотрим синтез разомкнутой цифровой систе- я и — — > зм г Рис.
10.18. Структурная схемз системы с последовательвым корректируюшим устройством мы, импульсная переходная функция которой должна соответствовать импульсной переходной функции заданного аналогового эквивалента, т. е, гпц(пТ) =ы,(!) )!=„. Желаемая передаточная функция проектируемой системы при таком методе синтеза определяется как 2-пре образование импульсной переходной функции аналогового эквивалента: Передаточная функция последовательного цифрового корректирующего устройства К„(г) = ((т (г)с'йг(г), (10.75) где Иу(а) — дискретная передаточная функция обьекта управления. Цифровая система РА, спроектированная данным методом, совпадает по своим свойствам с аналоговым эквивалентом только в смысле равенства дискретных значений импульсных переходных функций, т.е, при входном сигнале в виде б-функцин.
Прп других входных сигналах совпадение дискретных значений выходных сигналов в цифровой системе и аналоговом эквиваленте не гарантируется. Проиллюстрнруем это положение иа конкретном примере. Пример !0.1!. Найти церсдаточнусо функцию цифрового корректирующего устройства з разомкнутой системе, предназначенной для управления астатическим объектом, передаточная функция которого с формируюшим элементом Чг(р) =Ь(! — е-э")/р'. Передаточная фушсция аналогового эквивалента йуа(Р) = (! + рт,) (1+ рт,) ' Решение.
В соответствии с выражением (10.74) желаемая передаточная функция проектируемой системы Ь! г йуж(г) = (г — е "') (г — е Ь') 1 Т т где Ь! = (е Р' — е Р'); ()с= —; 1) = —. т,— т, т тз Дискретная передаточная функция объектз упранлепия опреде. ляется выражением (10.29). Передаточная функция корректирующего устройства, согласно (!0.75), г (г — !) )Р'и (г) = Ьк (г — е ")(г — е р') где Й,=Ьс!(ЬТ) — коэффициент передачи корректирующего устройства. Найдем значения иыходных сигналов в цифроиой сис~еме и ее аиалогоаом эквиваленте а устаноннншемся режиме при пыходном сигнале х(!) =1(!): Ип! уа(Г) =1ипйта(р) = 1; г- ро Пш Уц (лТ) = !ип Итис (г) тз 1.
ОО !$ г 1 С уменьшением периода дискретизации сигналов расхождение между дискретными значениями переходных процессов умеившаегся 182 и прп Т 0 перехолные процессы совпалают, что следует из выраже. ния Иа Тйт,(!) =1. т о Рассмотрим синтез разомкнутых цифровых систем, который гарантирует совпадение переходных процессов в проектируемой системе и ее аналоговом эквиваленте при входном сигнале х(1) =1(1). В этом случае желаемая передаточная функция проектируемой системы йу (г) = — Н (г), (10.76) г где Н(г) — л-преобразование переходной функции аналогового эквивалента. В цифровых системах с передаточной функцией 1(т ( ) А-з '+А-аа' '+" + "о (10 ТТ) 7 переходный процесс заканчивается за конечный промежуток времени.
В этом нетрудно убедиться, если разложить Н(г) в ряд Лорана (10.49), 1(ействительно, Н(г) =- [г(, за-'+ 4 тг-з+...+г(ог-'! Х(г). В области действительного переменного прн х(1) = =1 (!) й(пТ) =4 з1(пТ вЂ” Т)+г(! з1(пТ вЂ” 2Т) +... + + г(о 1 (пТ вЂ” 17). Из последнего выражения следует, что переходный процесс заканчивается за время, равное 1Т; в последуюп(ие дискретные моменты времени значения )т(пТ) не нз меняются и остаются равными Ь(1Т).
Если нули и полюсы передаточной функции объекта управления цифровой системы на плоскости комплексного переменного г расположены внутри круга единичного радиуса, то можно спроектировать систему, в которой длительность переходного процесса равна одному пери. оду работы дискретнзатора. пример 10.12. Определить передаточную функцию цифрового корректирующего устройства системы, рассмотренной в примере 1011, при условии, что переходный процесс заканчивается за один такт работы дискретизатора. Решение.
В системах с длительностью переходного процесса, равной одному такту работы дискретвзатора,желаемая передаточная функция йт (х) - 1/г. Передаточную функцию цифрового корректирующего устройства найдем по формуле (10.75): 1 г — 1 йук (з) йТ йТ где йт(г)= — — передаточная функция объекта управления. г — 1 Рассмотрим синтез цифровых систем в частотной области.
В этом случае нселаемая передаточная функция проектируемой системы определяется частотными характеристиками аналогового эквивалента системы на интервале частот 0(ву.-тт. Обычно требуется, чтобы в заданном диапазоне частот совпадали только АЧХ цифровой системы и ее аналогового эквивалента и нет необходимости в совпадении ФЧХ. Для нахождения желаемой передаточной функции определим связь между операторами р и г, Так как г= =егг, то Если в передаточную функцию аналогового эквивалента проектируемой системы вместо оператора р подставить первое слагаемое (10.78), то желаемая передаточная функция будет иметь вид )Тт„(г) = ))т,(р) ~ т *+1 Тогда по формуле (10.75) вычисляется передаточная функция цифрового корректирующего устройства.
В выражение (10.79) можно включить и большее число слагаемых (10.78), но при этом значительно усложняется цифровое корректирующее устройство без заметного выигрыша точности приближения АЧХ цифровой системы к характеристике аналогового эквивалента, Данные методы синтеза разомкнутых систем пригодны и для проектирования замкнутых цифровых систем РА. Желаемая передаточная функция замкнутой системы находится по аналоговому эквиваленту, после чего рассчитывается желаемая передаточная функция разомкнутой системы цт (г) жн() Втзж (т) (!0.79) Передаточная функция цифрового корректирующего устройства вычисляется по формуле (10.75).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
