Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(8 44) К сожалению, из последнего уравнения нельзя в общем виде определить матрицу %. Поэтому поступают следующим образом. Выполняют операции умножепня и сложения в левой части уравнения (8.44), после че~о приравнивают элементы полученной матрицы к соответ. ствующим элементам матрицы справа. Так как матрица % — симметричная матрица, то в результате получают си- Ьа 3(Р) = 3+а да+а Р ( а где и, Ь, К((тото); аа ИТо+1(Т3! а, 11'(Тото). Таким образом, матрицы системы и квадратичной оценки следу ЮП1НЕ -[ Матрицу дополнительной квадратичной формы вычислим из уравнения (8.44), которое в рассматриваемой задаче при т 1 с имеет вид всо в„в, В,, В, Ва В31 Взз Ваа в, в, в в, ва в о, о, — а,) 1, О, — а, О, 1, — а о.
о. 1 О, 1, 0 О, О, 1 — аа — ат, — аа Решив систему алгебраических уравнений следнсго выражения, найодем, что 1 В =В 13 — 31— 2аа а, а, + а, В =В 33 — 33— а, 2(а, а,— 11 ат а+а, 1 Вза— аа 2 (ах аз — аа) 2аа получаемых из по а, вы=в„= — + 2аа 2(а,аа — а,) ' а, аа + аа Вы — — — +а, а,) ' ' 2а, '2(а,аа — а) аз+ аа Ваа 2аа (а, а,— а,) 137 стему 0,5 33(и+1) алгебраических уравнений с неизвест. ными элементами матрицы %.
Квадратичная форма всегда больше нуля, поэтому из найденных решений для элементов матрицы % необходимо отобрать только те, при которых матрица дополнительной квадратичной формы будет положительно определенной матрицей (см. приложение П.4). Пример 8.2. Определить оптимальное значение коэффициента усиления из условия минимума интегральной оценки (8.зб) для си. стены передаточная ф)нкцня которой в разомкнутом состоянии К Р(!+Рт,)(!+Рт) ' где Т,=О,! с; Т, 0,05 с. Начальное состояние системы: хо(0) =1; га(0) гз(0) =О. Решение.
Передаточная функция системы в замкнутом со. стоянии В соответствии с (8.4!) интегральная оценка у, Ви. Оптимальное значение коэффициента усиленна определим из условия д — /,-9. В результате получим К и дК =|с '. Рассчитаем коэффициент усиления в системе нз условия минимума квад. ратнчной интегральной оценки (8.32), которая в рассматриваемой задаче т ат а за= + 2а, 2(а,а,— а ) Рис. 8.5. Переходные пронесем в системе, со- Оптимальное значение коэффициен.
ответствующие мниил~у- та усвоения Кем 9,6 с '. му интегральных оценок таким образом различным квадра. тичным интегральным оценкам соответствуют различные оптимальные значе. ния коэффициентов усиления. На рис. 8.5 показаны кривые переходных нроцессов, рассчитанных при коэффициенте усиления, соответствующих минимуму инте.
гральных оценок (8.36) (кривая !) и (8.32) (крнвая 2). ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 8 ГЛАВА 9 СИНТЕЗ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ ПРИ СЛУЧАЙНЪ|Х ВОЗДЕЙСТВИЯХ й й и постдновкд здддчн Первым этапом проектирования системы РА является выбор по заданным показателям качества работы системы и известным характеристикам сигнала и помехи ее структурной схемы или передаточной функции, обеспечи- П Что такое переменные состояния? Поясните нх физический смысл. 2. Поясните неоднозначность выбора переменных состоянн я. 3.
5(ежду какими сигналами устанавливает связь матрипа наблюдения? 4 От каких параметров пере- даточной функции зависят элементы матриц системы и управления? 5. Поясните физический смысл матрицы перехода. б. К каким системам РА при оценке качества нх работы можно применять первую интегральную оценку? ваюшую в некотором смысле наилучшую (оптимальную) характеристику системы РА. Спроектированную таким образом систему РА называют оптимальной. Очевидно, что передаточная функция оптимальной системы зависит не только от характеристик сигнала и помехи, но и от выбранного критерия оптимальности (от выбранной оценки качества работы).
При этом различным критериям оптимальности при одних и тех же характеристиках сигнала и помехи соответствуют различные передаточные функции оптимальных систем РА. После определения оптимальной передаточной функции проектируемой системы начинается второй, не менее важный этап разработки, — реализация этой функции в виде технического устройства. К современным системам РА предъявляют различные требования, которые помимо технических (точность работы, параметры переходного процесса и др.) включают требования по сложности стоимости, надежности, условий эксплуатации систем РА. Учесть эти требования при выборе критерия оптимальности обычно не удается. Во многих случаях оптимальная передаточная функция системы РА, найденная по выбранному критерию оптимальности, не удовлетворяет ряду других не учтенных показателей качества работы системы РА.
Поэтому приходится корректировать параметры передаточной функцви с тем, чтобы удовлетворить требованиям, не учтенные в основном показателе качества работы системы. По этим причинам технические системы обычно не являются в строгом смысле оптимальными системами, их параметры несколько отличаются от оптимальных значений, т. е.
спроектированная система РА является квазиоптнмальной. Таким образом, для синтеза системы РА необходимо: определить статические характеристики сигналов и помех, действующих на проектируемую систему; сформулировать назначение системы; выбрать на основании заданных технических требований к качеству работы системы критерий оптимальности; найти оптимальную передаточную функцию проектируемой системы РА; уточнить способы включения корректирующих устройств и найти их передаточные функции; разработать корректирующие устройства, присоединение которых к объекту управления позволяет получить систему РА с оптимальной передаточной функцией.
199 (г' (р) = е'т (9.2) называют зада вей оптимальноео статистического упрежденим, а при (Р.;( ) = р' )Р. (р) =- "о (9.3) — задачей оптимального статистического дифферен- пФ дарования и интегрироваур) ния. хр/ нз Выражениям (9.2) и (9.3) соответствуют передаточным ейу функциям «идеальных систем», осуществующнх заданное преобразование сигналов без погрешностей, Очевидно, что нз-за действия помех сигнал на выходе системы (рнс. 9.1) у(() отличается от сигнала на выходе «ндеальной системы» у-,,(1). Для оценки приближения сигнала у(1) к у,„(г) используются различные показатели. Наибольшее распространение нашел критерий среднеквадратической ошибки о,'(г) = е»(г) где е(г) =уж(~) — у(() — ошибка системы РА.
(9.4) При синтезе большинства систем РА радиотехнических комплексов и систем радноуправленпя достаточно для описания сигналов и помех ограничится определением их математического ожидания в корреляционных функций или их спектральных плотностей. Сформулировать назначение проектируемой системы РА, значит, установить, как выходной сигнал должен быть связан с входным, Это можно описать с помощью желаемого оператора преобразования входного сигнала, который определяет идеальный выходной сигнал проектируемой системы РА: у,ь(р) = 9.(р) Х(р), (9 () где 1Г (р) — желаемая передаточная функция преобразования сигнала.
Если желаемая передаточная функция равна единице, то задачу отыскания оптимальной передаточной функции называют задачей оптимального сглаживания нли фильтрации. Задачу отыскания оптимальной передаточной функции системы РА прн При синтезе систем РА оптимальной считается снсте. иа, в которой среднеквадратнческая ошибка (9 4) достнгает минимального значения. Широкое применение критерия среднеквадратнческой ошибки объясняется тем, что оптимальная система, спроектированная нз условия минимума этой ошибки, получается линейной, Кроме того, критерий (9.4) удобен с математпческой точки зрения, В дальнейшем при синтезе оптимальных систем РА будем использовать критерий среднеквадрнтической ошибки 9.4), айти оптимальную передаточную функцию системы не сложно. Трудности, возникающие при этом, можно преодолеть с помошью современных ЭВМ.
Проектирование оптимальных систем РА имеет смысл только в том случае, когда априорные сведения о статических характеристиках сигнала н помехи достоверны н есть уверенность в том, что в процессе работы они ие изменятся. В реальных системах этн условия выполняются не всегда, поэтому в инженерной практике стремятся не к огпнмальной структуре системы РА, а к более простой, параметры которой выбирают нз условия минимума среднеквадратической ошибки. В ряде случаев достаточно бывает обеспечить полосу пропускания проектируемой системы РА приблизительно равную полосе пропускання оптимальной системы, не добиваясь полного совпадения частотных характеристик оптимальной н реальной систем, Это позволяет обеспечить в проектируемой системе средшою квадратическую ошибку, мало отличаюшуюся от ошибок в оптимальной системе, с одновременным удовлетворением остальных требований к системе РА.
При таком подходе к проектированию оптимальная структурная схема системы РА попользуется как эталонная„ позволяющая получить предельно достижимую среднюю квадрнтическую ошибку, Ранее отмечалось, что важным этапом проектирования является техническая реализация системы РА по найденной оптимальной передаточной функции, Трудности этого этапа связаны с тем, что, во-первых, характеристики объекта управления проектируемой системы известны лишь приблизительно, во-вторых, для реализации оптимальной структурной схемы системы; как правило, недостаточно информации о входных и выходных сигналах (в ряде случаев требуется информация о производных этих сигналов) и, в-третьнх, для технической реализации усгройств такой системы может потребоваться разработка сложных электронных приборов.
Указанные особегшости нужно учитывать во время проектирования систем РА при случайных воздействиях. 5 92. СИНТЕЗ СИСТЕМ ПРИ ЗАДАННОЙ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЕ Задача синтеза системы РА при заданной структурной схеме заключается в том, что при известных характеристиках сигнала и помехи нужно определить оптимальные значения параметров системы, прн которых суммарная средняя квадритическая ошибка минимальна. Так как структурная схема системы известна, то нетрудно найти вырамсение для суммарной средней квадратической ошибки как функцию параметров системы: о,' = ) ())„р„..., 6„), (9.6) где )), — параметры системы. Для расчета оптимальных значений параметров нужно исследовать на минимум функцию (9.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
