Приложение М Идемпотентные матрицы

П.13. Идемпотентные матрицы

Квадратная матрица А называется идемпотентной, если АА=А²=А. Большинство анализируемых нами идемпотентных матриц являются симметричными. Многие суммы квадратов могут быть выражены в виде квадратичных форм y^TAy. Идемпотентность матрицы А или произведения с участием А используется для того, чтобы установить, что y^TAy (или её кратное) имеет распределение хи-квадрат.

Примером идемпотентной матрицы является единичная матрица I.

Теорема П.13.1. Только единичная матрица I является невырожденной идемпотентной матрицей.

Доказательство: Если А идемпотентная и невырожденная, то А²=А и существует её обратная A^–1. Если умножить выражение А²=А слева на A^–1, то получаем

A^–1А²=A^–1А,

A=I.

□

Многие матрицы квадратичных форм являются вырожденными идемпотентными. Приведем некоторые свойства таких матриц.

Рекомендуемые материалы

Теорема П.13.2. Если матрица А вырожденная, симметричная и идемпотентная, то она неотрицательно определённая.

Доказательство: Поскольку A=A^T и A=А², то имеем

A=А²=AA=A^TA,

и эта матрица по пункту 2 теоремы П.6.4 неотрицательно определённая.

□

Если а - действительное число, такое что а²=а, то а равно 0 или 1. Аналогичным свойством некоторых матриц является то, что, если А²=А, то собственные значения этой матрицы А равны нулю или единице.

Теорема П.13.3. Если матрица А=А_nn симметричная, идемпотентная и ранга r, то она имеет r собственных значений равных 1 и n–r собственных значений равных 0.

Доказательство: В силу (П.12.6), если Ах=lх, то А²х=l²х. Так как А²=А, то имеем А²х=Ах=lх. Приравнивая правые части уравнений А²х=l²х и А²х=lх, получаем

lх=l²х или (l–l²)х=0.

Но вектор х≠0, следовательно, l(1–l)=0, откуда l равно 0 или 1.

По теореме П.13.2 матрица А неотрицательно определённая и, следовательно, по пункту 2 теоремы П.12.8 число ненулевых собственных значений равно рангу матрицы А. Таким образом, r собственных значений матрицы А равны 1, а остальные n–r собственных значений равны 0.

□

Теоремы П.12.5 и П.13.3 можно использовать для нахождения ранга симметричной идемпотентной матрицы.

Теорема П.13.4. Если матрица А симметричная и идемпотентная ранга r, то ранг(A)=след(A)=r.

Доказательство: По теореме П.12.5 след(A)=, а по теореме П.13.3 =r.

□

Некоторые дополнительные свойства идемпотентных матриц даны в следующих четырёх теоремах.

Теорема П.13.5. Если матрицы А=А_nn идемпотентная, Р=Р_nn невырожденная и M=M_nn ортогональная, то

1. Матрица I–A идемпотентная,

2. A(I–A)=O и (I–A)A=О,

3. Матрица P^–1AP идемпотентная,

4. Матрица M^TAM идемпотентная. (Если A симметричная, то матрица M^TAM симметричная и идемпотентная.)

Доказательство:

1. (I–A)²=I–2A+А²=I–2A+А=I–A.
2. A(I–A)=A–A²=A–A=O.
3. (P^–1AP)²=P^–1APP^–1AP=P^–1AAP=P^–1AP.
4. (M^TAM)²=M^TAMM^TAM=M^TAAM=M^TAM,

(M^TAM)^T=M^TA^T(M^T)^T=M^TAM, если А=А^Т.

□

Теорема П.13.6. Пусть матрица А=А_nn ранга r, A^– - любая обобщённая обратная матрицы А и (A^TA)^– - любая обобщенная обратная матрицы A^TA. Тогда матрицы A^–A, AA^– и А(A^TA)^–A^T идемпотентные.

Доказательство:

(A^–A)²=A^–AA^–A=A^–A, так как AA^–A=A.

(AA^–)²=AA^–AA^–=AA^–, так как AA^–A=A.

[А(A^TA)^–A^T]²=А(A^TA)^–A^TА(A^TA)^–A^T=А(A^TA)^–A^T, так как по пункту 3 теоремы П.8.3 имеем А=А(A^TA)^–A^TА.

□

Теорема П.13.7. Положим, что симметричная матрица A=А_nn для некоторого числа k может быть представлена в виде A=, где каждая матрица A_i симметричная и размеров nxn. Тогда любые два из следующих утверждений влекут третье:

1. Матрица A идемпотентная.

2. Каждая из матриц A₁, A₂,..., А_k идемпотентная.

Вам также может быть полезна лекция "Влияние зимних условий на организацию и технику разведки зимой".

3. A_iA_j=O при i≠j (i, j=1, 2, ..., k).

□

Теорема П.13.8. Если I=, где каждая матрица A_i размеров nxn симметричная и ранга r_i, и, если n=, то верны оба следующих утверждения:

1. Каждая из матриц A₁, A₂,..., А_k идемпотентная.

2. A_iA_j=O при i≠j (i, j=1, 2, ..., k).

Доказательство: [Boik (2011) стр.106]