Условия Коши-Римана

Условия Коши – Римана.

(Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)

            Рассмотрим функцию комплексной переменной , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

            Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:

1)

2)

            В первом случае:

Рекомендуемые материалы

Во втором случае:

Тогда должны выполняться равенства:

Информация в лекции "16 Материалы планирования народного хоз-ва СССР" поможет Вам.

            Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

            Теорема. Если функция  имеет производную в точке

z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.

            Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

            Теорема. Для того, чтобы функция  была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.