Приложение Н Матрицы Адамара

П.14. Матрицы Адамара

Определение: Матрицей Адамара называется матрица А размеров пхп, элементами которой являются числа +l и –l и для неё справедливо равенство

А^TА=nI_n.                                                       (П.14.1)

□

В силу (П.14.1) получается, что матрица А/п^1/2 является ортогональной. Также из определения матрицы Адамара следует, что АА^T=nI_n, А^–l=А^T/п, а также А^T и пА^–l тоже являются матрицами Адамара. Если все элементы первого столбца матрицы А равны +1, то она называется полунормализованной, а если все элементы первых строки и столбца матрицы А равны +1, то она называется нормализованной [Seber (2008) cтр.164]. Например, следующие матрицы размеров 1х1, 2х2 и 4х4 являются нормализованными матрицами Адамара:

А₁= [+1], А₂=, А₄=.

Если матрица Адамара А удовлетворяет условию (П.14.1), то ему удовлетворяют и любые матрицы, полученные из А перестановкой ее строк (или столбцов) или умножая на –1 элементы любой из её строк (или столбцов). Полученные таким образом матрицы называются изоморфными или эквивалентными матрице А. Преобразованиями такого рода всегда можно сделать так, что первая строка и столбец А состоят полностью из +1. Таким образом, любая матрица Адамара эквивалентна нормализованной.

Эти матрицы названы по имени французского математика Жака Адамара (1865-1963). Им показано, что для любой матрицы В размеров пхп с элементами │b_ij│≤1 имеем │det(В)│≤n^n/2, при равенстве тогда и только тогда, когда В является матрицей Адамара [Hadamard (1893)].

Теорема П.14.1. Если матрицы Адамара А₁ размеров тхт и А₂ размеров пхп, то детерминант матрицы А₁ равен ±т^т/2, а произведение Кронекера этих матриц А₁А₂ даёт матрицу Адамара А размеров тпхтп.

Рекомендуемые материалы

Доказательство: [Schott (2016) стр.369, Graybill (1983) стр.279] Используя равенство (П.14.1) находим, что

det(А₁^TА₁)=det(тI_т)=т^т.

Однако,

det(А₁^TА₁)=det(А₁^T)det(А₁)=[det(А₁)]²,

отсюда det(А₁)=±т^т/2. Заметим также, что элементами матрицы А=А₁А₂ являются числа +l и –l, так как они являются результатами произведений элементов матриц А₁ и А₂. Затем получаем, что А^TА=(А₁А₂)^T(А₁А₂)=А₁^TА₁А₂^TА₂=тI_тnI_n=тnI_тn. Отсюда, в силу равенства (П.14.1), А – матрица Адамара размеров тпхтп.

□

Теорема П.14.2. Пусть А - матрица Адамара размеров пхп, а D₁ и D₂ - диагональные матрицы размеров пхп, диагональными элементами которых являются числа +l и –l. Тогда произведения D₁А, АD₂ и D₁АD₂ - матрицы Адамара.

Доказательство: [Graybill (1983) стр.279] Рассмотрим матрицу А₁=D₁А. Очевидно, что элементами А₁ являются числа +l и –l. Также А₁А₁^T=D₁АА^TD₁^T=D₁(nI_n)D₁^T=nI_n. Поэтому А₁=D₁А - матрица Адамара. Таким же образом доказывается, что АD₂ и D₁АD₂ - матрицы Адамара.

□

Матрицы Адамара используются при анализе экспериментов, выполняемых по двухуровневым планам 2^п. При этом элементами первого столбца таких матриц должны быть числа +1. Новые матрицы Адамара получаются с использованием произведения Кронекера известных матриц Адамара. Так, если взять матрицу А₂= размеров 2х2, то для любой матрицы Адамара А_п размеров 2^пх2^п, где п – любое положительное целое число, по теореме П.14.1 матрица Адамара А_п+1 размеров 2^п+1х2^п+1, получается в результате произведения Кронекера А_п+1=А_пА₂. Например, для плана 2² матрица Адамара получается в виде

А₄=А₂А₂==,

а для плана 2³ матрица Адамара получается в виде

А₈=А₄А₂==.

Рекомендуем посмотреть лекцию "12. Частотные критерии устойчивости импульсных систем".

Таким образом, с использованием известных матриц Адамара и произведения Кронекера возможно построение новых матриц Адамара размеров 2^пх2^п. Но существуют ли матрицы Адамара любых размеров? Следующая теорема является частичным ответом.

Теорема П.14.3. Пусть А - матрица Адамара размеров пхп, тогда п должно быть равно 1 или 2 или быть кратным 4.

Доказательство: приведено в [Graybill (1983) стр.281, Schott (2016) стр.370, Zhang (2011) стр.150].

□

Утверждается, что изучавшие проблему согласятся, что почти наверняка верно то, что, если п кратно 4, то матрица А существует [Hedayat c соавт. (1999) стр.146]. Тем не менее, это утверждение, известное как гипотеза Адамара, является основной нерешённой проблемой в дискретной математике. Однако матрицы Адамара являются одними из наиболее важных для статистических приложений.

Кроме указанного метода построения матриц Адамара с использованием произведения Кронекера существуют и другие методы их построения [Hedayat c соавт. (1999) стр.148].