Частотные критерии устойчивости импульсных систем

ЛЕКЦИЯ   №12.

ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ.

План лекции:

1. Критерий Михайлова.

2. Критерий Найквиста.

3. Критерий Найквиста для систем неустойчивых в разомкнутом состоянии.

         Частотные критерии устойчивости удобно применять к системам высокого порядка. Одним из наиболее распространенных частотных критериев непрерывных систем является критерий Михайлова.

12.1. Аналог критерия Михайлова для ИС.

         Вспомним формулировку критерия Михайлова для непрерывных систем.

Рекомендуемые материалы

Задано характеристическое уравнение системы:

Подстановка   , дает:

На комплексной плоскости X,Y изображают годограф этого выражения при изменении - от 0 до  (рис.12.1).                                          

Формулировка:                                             

Для устойчивости линейной системы n – ого  порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова (годограф) проходила последовательно n – квадрантов против часовой стрелки, т.е. m = n.

         Для импульсных систем может быть сформулирован аналог этого критерия.

         Допустим, что характеристическое уравнение замкнутой ИС имеет вид:

         В соответствии с принципом аргумента число m – корней характеристического многочлена, лежащих внутри единичной окружности, равно числу полных оборотов вектора B(z) вокруг начала координат при обходе точкой z единичной окружности  в положительном направлении:

  , при

Если число полных оборотов вектора В(z) - m равно порядку n, то все корни B(z) лежат внутри единичной окружности (т.е. m=n).

         Для того, чтобы воспользоваться принципом аргумента, положим  . При изменении  в пределах от , переменная z  опишет круг единичного радиуса на комплексной плоскости Z.

         Итак, заменяя переменную Z в характеристическом уравнении B(z) по формуле , найдем:

.

Так как справедливы равенства:

где     ,

то годограф  при значениях   симметричен относительно вещественной оси и полностью определяется своими значениями в диапазоне . Поэтому обычно строят только половину годографа при этих значениях аргумента. Заметим, что при  и , годограф  принимает вещественные значения:

 ;

.

С учетом сказанного, принцип аргумента для импульсных систем можно сформулировать следующим образом:

         Число m корней многочлена B(z), лежащих внутри единичной окружности, равно  , где r – число квадрантов, обходимых последовательно в положительном направлении годографом   при изменении  от 0 до  .

.

Для устойчивости системы необходимо, чтобы n=r/2     .   

Примеры годографов, соответствующих устойчивым системам, при n = 1,2,3 показаны на рис.12.2.а.

Рис 12.2.а                                                Рис.12.2.б

На рис.12.2.б изображен годограф  (n=4), который не удовлетворяет сформулированному условию устойчивости. Многочлен B(z), соответствующий этому годографу, имеет один корень, лежащий внутри круга единичного радиуса, поскольку для него

и, следовательно, число корней, лежащих внутри круга единичного круга , равно m=3.

Прежде чем приступить к построению годографов , целесообразно проверить необходимые условия, при которых все корни характеристического многочлена лежат внутри единичного круга. Эти условия следуют из принципа аргумента и имеют вид:

,      для нечетного n;

,     для четного n.

Если указанные условия не выполнены, то многочлен B(z) заведомо имеет по крайней мере один корень вне единичной окружности. Если же эти условия соблюдаются, то следует воспользоваться принципом аргумента.

12.2. Анализ устойчивости импульсных систем

с помощью критерия Найквиста.

  Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по ЧХ разомкнутой системы. Рассмотрим простейшую схему замкнутой системы (рис.12.3).

Пусть  - z- передаточная функция  разомкнутой ИС, которая в общем виде может быть представлена как отношение полиномов:

 =.

Введем вспомогательную функцию

  =1+= =,

где  - характеристический многочлен замкнутой системы,  - характеристический многочлен разомкнутой системы.

Подставим вместо z=, получим:

 =.

Найдем приращение аргумента вектора , когда переменная z совершает однократный обход единичной окружности в положительном направлении:

,

    .

Допустим передаточная функция разомкнутой импульсной системы W(z) имеет l- полюсов вне единичного круга, тогда согласно принципу аргумента, получим :

,

, n -  порядок характеристического уравнения.

Допустим далее, что замкнутая система устойчива. Тогда все корни характеристического многочлена  лежат внутри круга единичного радиуса. Учитывая, что порядки многочленов замкнутой и разомкнутой систем совпадают, будем иметь:

,

.

Подставляя полученные выражения в исходное, будем иметь:

, .

Таким образом, получено условие устойчивости замкнутой импульсной системы.

Учитывая, что функция  является симметричной относительно вещественной оси, при исследовании устойчивости строят как правило половину этого годографа, получаемого при изменении аргумента z  в диапазоне от 0 до , и , соответственно, условие устойчивости приобретает вид:

, .

Далее, переходя от вспомогательной функции  к  сформулируем условие устойчивости:

         Пусть характеристическое уравнение разомкнутой ИС имеет l корней вне единичного круга плоскости Z. Тогда, для того, чтобы замкнутая ИС была устойчива необходимо и достаточно, чтобы годограф   при  изменении    охватывал точку (-1, j0)  на комплексной плоскости Z    l /2 раз, т.е.

         Рассмотрим примеры применения этого критерия.

   Пусть система неустойчива в разомкнутом состоянии и  l=1. На рис.12.4    представлены годографы ИС, устойчивой в замкнутом состоянии (1) и неустойчивой в замкнутом состоянии (2):

Далее, пусть разомкнутая ИС устойчива. Тогда годограф (3) соответствует устойчивой в замкнутом состоянии, а (4) – неустойчивой в замкнутом состоянии ИС (рис.125).

Обратите внимание на лекцию "5 Условия труда на производстве".

  Случай, когда ПФ W(z) разомкнутой ИС имеет полюса на единичной окружности плоскости z, относится к числу особых. В этом случае необходимо дополнить годограф ЧХ разомкнутой системы дугой бесконечного радиуса аналогично тому, как это делалось при исследовании непрерывных систем.

         Обычно полюсами, лежащими на единичной окружности оказываются полюсы z=1, что соответствует наличию полюсов р=0 (интегрирующих звеньев) в передаточной функции ПНЧ.    При этом годограф АФЧХ разомкнутой системы дополняется дугой бесконечного радиуса, охватывающей столько квадрантов, каков порядок полюса z=1.

         Пусть l=0 и разомкнутая ИС имеет полюс z=1 2-ого порядка. Годографы АФЧХ, представленные на рис.12.6 (1,3), соответствует системе неустойчивой в замкнутом состоянии, а годограф (2) – устойчивой.