Устойчивость линейных импульсных систем

Проблема устойчивости особенно актуальна для замкнутых систем, так как стремление повысить точность системы за счет увеличения коэффициента передачи разомкнутой цепи приводит, как правило, к ее возбуждению и потере устойчивости.

Будем считать, что линейная ИС устойчива тогда и только тогда, когда ее реакция на любое ограниченное воздействие ограничена. Соответственно, если найдется хотя бы одно ограниченное внешнее воздействие, реакция системы на которое не будет ограничена, то такая ИС называется неустойчивой.

Установим условия устойчивости линейной ИС во временной области.

Рассмотрим полученное уравнение движения ИС во временной области:

и приведем его к виду:

(11.1)

Предположим, что внешнее воздействие ограничено, т.е.:

, для всех (11.2)

проведем оценку выходного сигнала (11.1):

(11.3)

Поднимая в последнем неравенстве (11.3) верхний предел суммирования до ¥ (это может только усилить неравенство), получим:

(11.4)

Очевидно, что ИС будет устойчива, если ряд в правой части (11.4) сходится, т. е. если:

(11.5)

Таким образом, ИС устойчива, если ряд дискрет весовой функции ПНЧ абсолютно сходится.

В приведенной формулировке условие (11.5) является достаточным.

Покажем необходимость этого условия на конкретном примере.

Предположим, что условие (11.5) не выполняется, т. е.:

(11.6)

Тогда можно найти ограниченное входное воздействие, при котором реакция системы будет неограниченной.

Пусть при фиксированном n:

Тогда:

Согласно условию (11.6) для любого наперед заданного числа N всегда можно подобрать такое n, когда:

т. е. - неограниченно возрастает с ростом n, что свидетельствует о неустойчивости системы.

Таким образом, абсолютная сходимость ряда дискрет весовой характеристики ПНЧ (11.5) является необходимым и достаточным условием устойчивости ИС.

Рассмотрим, как можно оценить устойчивость линейной ИС по ее передаточной функции W(z). По определению W(z):

Откуда можно записать:

(11.7)

Если , то .

Отсюда следует, что у устойчивой импульсной системы, для которой справедливо:

ПФ W(z) должна быть ограничена в области , т. е. функция W(z) не должна иметь особых точек-полюсов в области:

Таким образом ИС устойчива, когда все полюса W(z) лежат внутри круга единичного радиуса:

где r-число полюсов ПФ W(z).

Случай, когда существуют полюсы , является критическим. Можно показать, что устойчивость обеспечивается, если полюсы представляют собой полюсы первого порядка ПФ W(z).

Аналогичное условие устойчивости может быть получено, если вспомнить формулу для расчета реакции системы по ее Z-ПФ.

Применяя теорию вычетов:

Обозначим:

Как правило, передаточная функция ИС является дробно-рациональной функцией переменой z:

где A(z) и B(z) – многочлены. Тогда уравнение

B(z)=0 (11.8)

является характеристическим уравнением ИС и для ее устойчивости необходимо и достаточно, чтобы:

1) все корни уравнения (11.8) удовлетворяли условию:

;

2) корни, модули которых равны единице, были простыми.

Таким образом на комплексной плоскости Z, устойчивой ИС соответствуют корни B(z), находящиеся внутри единичной окружности или принадлежащие этой окружности. Асимптотической устойчивости системы, характеризующейся тем, что в отсутствие входного сигнала собственные движения стремятся к нулю при , соответствуют полюсы ПФ, находящиеся внутри окружности единичного радиуса:

Анализ устойчивости ИС заключается в оценке расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (Z).

11.2.Алгебраические критерии устойчивости импульсных систем.

Непосредственное вычисление корней характеристического многочлена представляет собой громоздкую операцию.Поэтому важно иметь критерии, позволяющие установить факт устойчивости ИС без вычисления его корней.

Рассмотрим характеристическое уравнение системы:

. (11.9)

.Использование для оценки устойчивости ИС критериев

устойчивости непрерывных систем.

Используем преобразование единичного круга плоскости Z, ( ) в левую полуплоскость . тогда характеристическое уравнение (11.9) приобретает вид:

или:

(11.10)

где коэффициенты выражаются через коэффициенты . применение к уравнению (11.10) известных критериев устойчивости непрерывных систем (Рауса, Гурвица, Михайлова и т. д.) позволяет проверить расположение особых точек относительно мнимой оси в плоскости , а, следовательно, и расположения точек относительно единичного круга в плоскости Z. Например, если для всех имеет место , то и система устойчива.

Недостатком такого подхода является трудность реализации этих критериев для систем высокого порядка из-за громоздких преобразований.

Пример. Задано характеристическое уравнение системы:

, требуется проанализировать ее устойчивость.

________________________________________________________

Решение:

Для оценки расположения корней последнего уравнения применим критерий Гурвица, который формулируется следующим образом:

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными n – главных определителей матрицы Гурвица, составленной из коэффициентов характеристического уравнения:

........

В нашем примере:

3.9 2.1 0

0.1 1.9 0

0 3.9 2.1

Использование алгебраического критерия Шура – Кона.

Рассмотрим характеристическое уравнение (11.9):

и составим следующую последовательность матриц из его элементов

Составим из матриц и матрицу размерности

Для обеспечения устойчивости импульсной системы с характеристическим уравнением (11.9) необходимо и достаточно, чтобы число перемен знака в последовательности: