Частотные свойства импульсных систем

ЛЕКЦИЯ №10

ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

План лекции:

1. Преобразование спектра непрерывного гармонического сигнала импульсным элементом.

2. Частотное представление решетчатой функции.

3. Прохождение непрерывного гармонического сигнала через дискретно-непрерывную цепь.

10.1. Преобразование спектра непрерывного гармонического сигнала импульсным элементом

   Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через дискретную систему. Напомним, что в непрерывном случае, входному гармоническому сигналу соответствует входной гармонический сигнал той же частоты, т.е. качественного изменения спектра не происходит.

Дискретная система в отличие от непрерывной изменяет спектр входного сигнала, вводит в него дополнительные составляющие.

Рекомендуемые материалы

Для иллюстрации   сказанного рассмотрим простейший пример: Определим реакцию дискретной системы с ПФ:     на гармонический входной сигнал    f=cos0.907t. Такую ПФ имеет система, структурная схема которой представлена на рис.10.1.

f                        f*                               y(t)

Рис.10.1.

Параметры системы: , интервал квантования 0,693.

На периоде входного сигнала укладывается 10 таких интервалов.

;           ;

 ;          ;     Т₁=1;

Для рассматриваемой z-ПФ ранее были построены частотные характеристики и мы их используем сейчас для определения реакции  на дискретный сигнал.

Получим:

Выходной сигнал, рассматриваемый в моменты квантования, будет иметь вид:

Полученная формула определяет реакцию системы лишь в дискретные моменты времени, а нас интересует вид всего выходного процесса при произвольном аргументе t.

Для построения графика установившегося процесса будем действовать в такой последовательности:

1) Из последней формулы найдем начальное значение

          ,   соответствующее искомому процессу.

 2) На интервале ,     и выходная величина в соответствии с известными зависимостями для апериодического звена определится выражением:

  , при этом  

3)В момент t=T на вход  непрерывной части действует d-функция:

.

Она вызывает скачок выходной переменной , при этом:

.

В дальнейшем, при          процесс вычисления выходной переменной аналогичен описанному в п.2 и 3. Во внутренних точках каждого интервала квантования входной сигнал описывается зависимостью:

,

а в точках ,  сигнал терпит разрыв и при этом

Таким образом, строится график установившегося процесса (рис.10.2).

Из рисунка видно, что решетчатая функция y[nT], рассматриваемая в дискретные моменты квантования, является гармонической. Тем не менее, сам процесс гармоническим не является, т.е. дискретная система изменяет спектр входного сигнала.

 Причина такого изменения с формальной точки зрения становится понятной, если вспомнить связь между изображением решетчатой функции f[nT] и преобразованием Лапласа исходной непрерывной функции f(t). Эта связь задается известной формулой - преобразования:

.

Рис.10.2.

Из этой зависимости непосредственно следует, что если

,

то

                                     (10.1)  

т.е.  процесс квантования сопровождается возникновением бесконечного множества дополнительных гармонических составляющих, каждая из которых далее преобразуется непрерывной частью системы.

10.2. Частотное представление решетчатой функции

         Пусть теперь f(t) – некоторая непрерывная преобразуемая по Фурье функция.                                                                                             F(jw)

Прямое и обратное преобразование Фурье

для этой функции имеет вид (рис.10.3):

                                                                                            Рис.10.3.

Допустим, при этом, что спектральная характеристика указанного непрерывного сигнала имеет вид, представленный на рис.10.4.

Рассмотрим спектр соответствующей решетчатой функции.

В соответствии с формулой  - преобразования он определяется зависимостью:

                                    (10.2)

где  - частота квантования.

         Как видно из (10.2) частотный спектр   включает спектр входной величины (основной спектр) и боковые (дополнительные) спектры,  смещенные по оси  частот на величины, кратные . При этом дополнительные спектры идентичны основному (рис.10.4).

Рис.10.4.

 Полезная информация о входном сигнале содержится лишь в основном спектре и может быть восстановлена фильтрацией нежелательных составляющих, если дополнительные спектры не перекрываются с основным. Это возможно, если входной сигнал не содержит составляющих, частота которых больше половины частоты квантования.

                                                                 (10.3)  

где  - максимальная частота спектра  .

 Это утверждение находится в согласии с теоремой Котельникова об эквивалентности непрерывного и дискретного сигналов.

          Напомним теорему:

           Полное восстановление непрерывного сигнала по его импульсной последовательности возможно, если частота повторения импульсов по крайней мере в два раза больше максимальной частоты спектра этого сигнала.

В случае нарушения условий теоремы основной и дополнительный спектры перекрываются и полезная информация не может быть извлечена из импульсного сигнала.

В импульсных системах функцию фильтра низких частот в основном выполняют элементы самой системы, находящиеся в цепи импульсного элемента. Для достижения лучшего эффекта фильтрации на выходе ИЭ могут включаться дополнительные сглаживающие фильтры.

При этом с уменьшением частоты квантования обеспечить качественную фильтрацию становится все труднее. При увеличении же частоты импульсов проблема фильтрации отпадает, так как в этом случае импульсная система приближается к непрерывной.

Выбор компромиссного решения, обеспечивающего качественную фильтрацию и приемлемые процессы, составляет один из основных моментов при расчете импульсных систем.

Наиболее простым и часто применяемым  низкочастотным фильтром является экстраполятор нулевого порядка. При этом решетчатая функция в качестве огибающей имеет ступенчатую функцию. Эта огибающая содержит полезную информацию о сигнале на входе ИЭ. ПФ экстраполятора нулевого порядка имеет вид:

 ;

Рассмотрим его АФЧХ:

По известной формуле:        ,

.

 График  представлен на рис.10.5:

Рис.10.5.

Из анализа приведенного графика, следует, что экстраполятор будет пропускать помимо основных составляющих спектра сигнала еще и боковые составляющие.

10.3.Прохождение непрерывного гармонического сигнала через дискретно-непрерывную цепь.

         Частотные характеристики дискретной системы не позволяют полностью определить ее реакцию на гармоническое входное воздействие.При прохождении через ИЭ спектр сигнала изменяется, в нем появляются дополнительные составляющие.Эта особенность может оказать существенное влияние на работу импульсной системы.

Лекция "20. Контакторы и магнитные пускатели" также может быть Вам полезна.

         При прохождении сигнала  через идеальный ИЭ на выходе будем иметь:

 Из формулы (10.3) видно, что при этом возможно либо преобразование сигнала в высокочастотную область  (при m>0), либо транспонирование высокочастотного входного сигнала в низкочастотную часть спектра (m<0).

В цифровых системах управления эффект транспонирования колебаний в низкочастотную область может привести к низкочастотным колебаниям на выходе объекта при действии высокочастотной помехи.

Снижение величины транспонированных колебаний является важной задачей.Обычно для ее решения используется предимпульсная фильтрация, т. е. фильтрация непрерывного сигнала до входа ИЭ. Эффект такой фильтрации заключается в уменьшении амплитуды помехи, попадающей на ИЭ.Выбором параметров предимпульсного фильтра можно существенно уменьшить транспонированные колебания.