Частотные характеристики дискретных систем

ЛЕКЦИЯ № 9

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

(продолжение)

План лекции:

1. Псевдочастотные характеристики дискретных систем.

2. Методы построения ЧХ дискретных систем.

9.1 Псевдочастотные характеристики дискретных систем.

        Из-за своей простоты и удобства использования ЛАФЧХ получили широкое применение при исследовании непрерывных систем. Однако, непосредственное использование ЧХ дискретных систем не может быть выполнено также, как и в случае непрерывных аналогов. Это объясняется тем, что построение дискретных АФЧХ значительно более громоздко, и тем, что эти характеристики не обладают свойством асимптотичности, вследствие чего не могут быть приближенно представлены ломаными линиями. Однако и для дискретных систем оказывается возможным ввести характеристики, которые по методике построения и своим свойствам будут схожи с ЛАФЧХ непрерывных систем. Такие характеристики называются псевдочастотными.

          Частотная характеристика дискретной системы полностью определяется значением в диапазоне частот:

Рекомендуемые материалы

;  .

Чтобы использовать обычную методику построения ЛЧХ  вводят так называемую псевдочастоту l и рассматривают псевдочастотные характеристики.

Переход к псевдочастоте делается на основе билинейного преобразования  (w-преобразования).

Введем комплексную величину w, связанную с комплексной величиной Z билинейным преобразованием:

;                                              (9.1)

        Сделав подстановку:   , получим из предыдущей формулы:

;

;                 ;

;

где ,

представляет собой так называемую относительную псевдочастоту.

          При анализе импульсных систем удобно рассматривать абсолютную псевдочастоту:

 

                                                (9.2)

Тогда:  и .

Чем удобна абсолютная псевдочастота? Она удобна тем, что на малых частотах .  Поэтому при выполнении условия     , в расчетах можно заменить псевдочастоту действительной круговой частотой. Это свойство может быть использовано, например, при расчетах реакции импульсной системы на медленно меняющиеся  гармонические сигналы на его входе.

Нетрудно видеть из зависимости :      

 ,

что    при изменении частоты в пределах: , псевдочастота пробегает все значения от -¥ до +¥, а комплексная величина w движется по оси мнимых частот:

 , от -j¥ до +j¥.

.

   

           Отметим также еще одно замечательное свойство билинейного преобразования.Оно заключается в том, что при таком преобразовании внутренняя часть круга единичного радиуса на плоскости z  отображается на левую полуплоскость плоскости w (рис.9.1).

Рис.9.1.

Действительно, пусть w=u+iv, тогда комплексной переменной z определится выражением:

откуда следует, что при

u<0,            ;

u=0,            ;

u>0,            .

Это свойство оказывается чрезвычайно удобным, так как позволяет использовать традиционные критерии для оценки устойчивости импульсных систем.

Итак, для получения передаточной функции импульсной системы на основе псевдочастоты  l, необходимо выполнить подстановку в  :

,

а затем заменить:            

          Частотная характеристика W*(jl)  в функции псевдочастоты  l

называется псевдочастотной характеристикой (ПЧХ).

          В w -области передаточная функция дискретной системы есть дробно-рациональная функция    jl,  причем при изменении  w  в диапазоне от    , псевдочастота изменяется в пределах:

 .

Таким образом , в области псевдочастот частотные характеристики дискретных систем имеют те же свойства, что и у непрерывных систем. Следовательно, к псевдочастотным характеристикам могут быть применены известные методы синтеза непрерывных систем.

9.2. Методы построения частотных характеристик

дискретных систем.

 АФЧХ дискретных систем строятся либо по частотной характеристике приведенной непрерывной части, либо по передаточной функции  W(z).

 Если непрерывная часть системы задана частотной характеристикой W(jw), то АФЧХ разомкнутой дискретной системы может быть определена с использованием зависимости:

     (9.3)

При этом существует два способа решения задачи:

1) можно сначала найти действительную P*(w) и мнимую Q*(w) частотные характеристики, и затем определить А*(w),  j*(w);

2) либо осуществить непосредственное векторное сложение слагаемых в правой части (9.3).

Рассмотрим первый способ. Перепишем (9.3):

              

          При известных действительной Р(w) и мнимой Q(w) частотных характеристиках, получим:

      

      

           Обычно в записанных соотношениях удается ограничиться конечным (достаточно небольшим) числом слагаемых, что сильно упрощает процесс вычислений.

          По известным характеристикам P*(w) и Q*(w) можно построить АФЧХ дискретной системы:

Второй способ соответствует непосредственному векторному сложению слагаемых в правой части выражения (9.3), при этом  удерживается конечное число членов и выполняется их графическое суммирование.

Пусть, например, учитываются слагаемые при: m= -M, -M+1 ... 0 ... M-1, M. Тогда получим:

Проиллюстрируем этот подход, ограничившись в правой части (9.3) тремя слагаемыми, т.е.:

,

здесь  .

На плоскости годографа АФЧХ приведенной непрерывной части при ряде значений частоты w производим графическое сложение векторов . И после масштабного преобразования   получаем вектор  (рис.9.2).

Рис.9.2.

Соединяя концы векторов , построим годограф АФЧХ дискретной системы. Процесс построения показан на рис.9.2.

         Основным способом построения АФЧХ дискретной системы является непосредственное использование ее z-ПФ W(z).

      

Псевдочастотные характеристики:

Логарифмические ПЧХ строятся по w -ПФ W*(w) совершенно аналогично ЛАФЧХ непрерывных систем с использованием тех же шаблонов типовых динамических звеньев.

При этом возможно использование таблиц -преобразования, представляющего собой результат последовательного применения к ПФ приведенной непрерывной части системы W(p) -преобразование с подставкой  и w -преобразования.

   

Пример:  Рассмотрим пример построения логарифмических ПЧХ дискретной системы, структурная схема которой представлена на рис.9.3:

                                                                                                     

Рис.9.3.

Решение:

Z-ПФ системы была получена ранее.Она имеет вид:

Сведем обозначения:      

Выполним подстановку: 

где       .

         Отметим, что в числителе полученного  выражения имеется неминимально-фазовое звено, что типично для дискретных систем.

 

  j*  А*

                         

 20lgk                  

   

                   1/Tэ                               2/T                                 lgl

                                                                        j*

Рис.9.4.

Вместе с этой лекцией читают "Организация МЧС, история, этапы развития".

         ,           следовательно       

Фаза числителя:   ;       

Логарифмические ПЧХ импульсной системы представлены на рис.9.4. Качественно эти характеристики совпадают с ЛАФЧХ непрерывных звеньев, что позволяет применить для исследования импульсных систем хорошо разработанный частотный аппарат непрерывных систем.

 При необходимости определения ЧХ замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой и наоборот, возможно использование номограмм замыкания.

 Таким образом, для дискретных систем введены понятия частотных характеристик и рассмотрены некоторые способы их построения. С формальной точки зрения АФЧХ дискретных и непрерывных систем совпадают в том, что все они характеризуют прохождение гармонического сигнала через систему. Однако, следует понимать, что при этом для дискретных систем мы рассматривали дискретный гармонический сигнал, не затрагивая вопрос о спектре его непрерывной огибающей.

 При прохождении непрерывного гармонического сигнала частотные свойства импульсных систем будут существенно отличаться от свойств непрерывных систем. Рассмотрению особенностей частотных свойств импульсных систем будет посвящена следующая тема.