Григорьева Г.В., Надырова И.М. Механика. Теория механизмов и машин. 2007, страница 13

Режимы движения механизмов, их энергетическая характеристикаСкорость ведущего звена механизма в общем случае может изменяться поддействием внешних сил, приложенных к звеньям механизма. Эти силы можноразделить на две категории:− движущие силы, под действием которых скорость возрастает;− силы сопротивления, под действием которых скорость уменьшается.Работа движущих сил положительна, работа сил сопротивления –отрицательна.Одна и та же сила может быть причислена к разным категориям взависимости от условий работы. Например, сила тяжести при движении звенавниз является силой движущей, при движении звена вверх – силойсопротивления.Для определения закона движения пользуются уравнением движения,выведенным на основании теоремы об изменении кинетической энергии:AД – АC = Т – Т0,(6.1)где AД – работа движущих сил;АC – работа сил сопротивления (без учета трения);То, Т – соответственно кинетическая энергия в начале и в концерассматриваемого промежутка времени.Для установившегося режима движения механизма, состоящего из nподвижных звеньев, справедливо уравнение энергетического баланса,выведенного на основании (6.1).

Это уравнение называют еще уравнениемэнергетического баланса, и для механизма, состоящего из n подвижных звеньев,его записывают в виде:nni=1i=1∑ AiД − ∑ AiС = 0 .(6.2)Работа всех внешних сил, действующих на звенья механизма, за циклустановившегося движения равна нулю.Внутри цикла сумма работ не равна нулю, т. е. кинетическая энергия вкакие-то моменты времени может аккумулироваться в механизме, в другиемоменты эта избыточная энергия расходуется на выполнение работы:nnni=1i=1i=1∑ Ai = ∑ Ti − ∑ Ti 0 ,(6.3)где Аi – работа всех внешних сил, действующих на i-оe звено;Ti, Ti0 – кинетическая энергия i-гo звена в конце и в начале промежуткавремени соответственно.Даже при небольшом количестве звеньев в механизме уравнениедвижения (6.3) получается громоздким, так как необходимо просуммироватькаждое слагаемое по n звеньям, учесть все силы, массы, скорости.Для упрощения задачи пользуются понятиями приведенной силы иприведенной массы, т.

е. заменяют все действующие на звенья силы и все массызвеньев эквивалентной по своему действию силой, приложенной к звену с одноймассой.6.3. Приведение масс и сил. Одномассовая динамическая модельЗвено, на которое переносятся массы и силы, называется звеномприведения. Чаще всего в качестве звена приведения принимают начальноезвено, для которого задан закон движения.Расчетная схема изображена на рис. 53 и носит название одномассовойдинамической модели.Рис. 53.

Одномассовая динамическая модельЛюбой механизм можно представить в виде механизма I класса, к которомув точке А приложены сила сопротивления FС и движущая сила FД , и в этой жеточке А сосредоточена масса mп.Для того чтобы движение реального механизма было эквивалентно движениюприведенного механизма, необходимо выполнение двух условий (уравнение (6.3)):− кинетическая энергия звена приведения ( TП ) должна быть равна суммекинетических энергий всех звеньев механизма:nTП = ∑ (Ti − T0 ) ;(6.4)i=1− работа приведенной силы ( AП ) должна быть равна сумме работвнешних сил, приложенных к звеньям механизма:nAП = ∑ Ai .(6.5)i=1В общем случае в состав механизма входят звенья, совершающиевращательное, поступательное или сложное движение.

Кинетическая энергиявсех звеньев:1 nT = ∑ (miV 2 Si + I Si ω 21 ) ,2 i=1(6.6)где mi – масса i-гo звена;VSi – скорость центра масс;J Si – осевой момент инерции i-гo звена (т. е. момент инерцииотносительно оси, проходящей через центр масс звена перпендикулярноплоскости его вращения);ω i – угловая скорость i-гo звена.Кинетическая энергия звена приведения:1TП = mПV 2 ,2где TП – приведенная масса;(6.7)V – скорость точки приведения.Приравнивая правые части выражений (6.6) и (6.7), получим22n VSi  ω1  (6.8)mП = ∑  mi   + J Si    . V   V i=1 Приведенной массой механизма называется условная масса,сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия которой равнасумме кинетических энергий всех звеньев механизма.Если звено приведения вращается вокруг неподвижной оси (кривошип), тоего кинетическая энергия определяется по формуле:1TП = J П ω 2 ,2(6.9)где J П – приведенный момент инерции;ω – угловая скорость звена приведения.Приравнивая правые части выражений (6.8) и (6.9), получим приведенныймомент инерции звена приведения:22n VSi  ω1  (6.10)J П = ∑  mi   + J Si    .ωωi=1 Приведенным моментом инерции называется условный момент инерциизвена приведения, кинетическая энергия которого равна сумме кинетическихэнергий всех звеньев механизма.Мощность всех сил, приложенных к звеньям механизма, совершающимпоступательное, вращательное и сложное движение, равна:ndAP== ( FVi i cos α + M i ω1 ) ,dt ∑i=1(6.11)где Fi, Mi – внешние силы, моменты пар сил, действующие на i-е звено;Vi – скорость точки приложения силы Fi;ω i – угловая скорость i-гo звена;αi – угол между направлением силы и направлением скорости точкиприложения данной силы.Мощность приведенной силы, приложенной в точке приведения:dAП= FПV ,dtгде FП – приведенная сила;PП =(6.12)V – скорость точки приведения.Угол между силой и скоростью принимается равным 0° или 180° (рис.

53).В соответствии с условием равенства работ (а, следовательно, и равенствамощностей за то же время), приравниваем правые части выражений (6.11) и (6.12),откуда определяем FПn V cos αiω+ Mi i  .FП = ∑  Fi i(6.13)ωV i=1 Приведенной силой называется условная сила, приложенная в точкеприведения, мощность которой равна сумме мощностей всех внешних сил имоментов пар сил, приложенных к звеньям механизма.Если звено приведения вращается вокруг неподвижной оси, то мощностьопределяется выражением:PП =dAП= MПω ,dt(6.14)где МП – приведенный момент сил.Приравнивая правые части выражений (6.11) и (6.14), определяем МП:n V cos αiωM П = ∑  Fi i+ Mi i  .(6.15)ωVi=1 Приведенным моментом сил называется условно приложенный к звенуприведения момент пары сил, мощность которого равна сумме мощностей всехвнешних сил и моментов пар сил, приложенных к звеньям механизма.6.4.

Графоаналитическое решение основного уравнения движенияРассмотрим движение механизма за цикл движения, т. е. за один обороткривошипа. При этом угол поворота кривошипа ϕ = 2π . Момент движущихсил, действующий на начальное звено (МД), является постоянной величиной,определяемой характеристикой двигателя. Приведенный к начальному звенумомент внешних сил (МС) меняется в зависимости от положения механизма,т. е. от угла ϕ .Уравнение энергетического баланса при этом запишется в виде:2πM Д ⋅ 2π − ∫ M C d ϕ = 0 .(6.16)0Построим это уравнение методом графического интегрирования. Согласногеометрическому смыслу интеграла, площадь, ограниченная графиком и осьюабсцисс, должна быть равна площади прямоугольника со сторонами МД и 2π ,что обеспечит равенство работ движущих сил и сил сопротивления (6.16).Значения приведенных моментов пар сил вычисляются по формуле (6.15),после чего строится диаграмма M C = f (ϕ) , показанная на рис. 54, а.Рис.

54. Графоаналитическое решение основного уравнения движения: а)диаграммы приведенных моментов сил сопротивления (МС) и моментовдвижущих сил (МД); б) диаграммы работы сил сопротивления (АС) и работыдвижущих сил (АД); в) диаграмма изменения кинетической энергии; г) диаграммаприведенного момента инерции; д) диаграмма энергомасс (криваяВиттенбауэра)Методом графического интегрирования строится диаграмма работ силсопротивления АС (рис. 54, б) и определяется масштабный коэффициент µ A .Значение момента движущих сил МД определяется углом наклона диаграммыработ движущих сил АД, которая по модулю равна работе сил сопротивления вначале и в конце цикла.

Разность работ определяет изменение кинетическойэнергии внутри цикла движения (рис. 54, в) в зависимости от угла поворотакривошипа ∆T = AД − AC .Далее строится диаграмма изменения приведенного момента инерции вфункции угла поворота кривошипа. Момент инерции вычисляется поформуле (6.12), а диаграмма строится в повернутой системе координат дляудобства дальнейших построений (рис. 54, г).Исключая параметр ϕ , получаем зависимость изменения кинетическойэнергии от величины приведенного момента инерции. Диаграмма ∆T = f ( J П )строится следующим образом: для угла поворота ϕ = ϕ 1 отмечаемзначение J П 1 и из этой точки проводим вертикальную прямую; для этого жеугла отмечаем значение ∆T1 и из этой точки проводим горизонтальнуюпрямую. В пересечении прямых получаем точку 1 (рис.

54, д). Затем повторяемто же для углов ϕ = ϕ 2, ϕ = ϕ 3, … .Полученные точки 1, 2, 3, ... соединяем плавной кривой, которая вустановившемся режиме должна быть замкнутой. Полученная диаграмманазывается кривой Виттенбауэра.6.5. Определение закона движения начального звенаПолученная в предыдущем разделе кривая Виттенбауэра позволяетопределить закон движения начального звена, т. е. решить первую задачудинамики. В установившемся режиме каждому циклу движения механизмасоответствует полный ход точки по замкнутой кривой. При этом кинетическаяэнергия приведенного механизма, так же как и скорость, не равна нулю. В моментпуска или остановки машины, т. е. при ω = 0, кинетическая энергия будет такжеравна нулю.

Таким образом, действительное начало координат находится вточке ОТ, которая смещена от начала координат диаграммы Виттенбауэра навеличину То (рис. 55).Если соединить начало координат ОТ с любой точкой на диаграмме(например, K), то получим угол ψ , образованный этой секущей и осью абсцисс.Этот угол позволяет определить угловую скорость кривошипа (звенаприведения) в любом положении.Из △ОТKМ следуетT µJYK=,X K µT J Пгде YK , X K – координаты точки K.tg ψ =(6.17)Рис. 55. Схема к определению скорости начального звенаС учетом того, что T =1J П ω 2 , получим2tg ψ = µJ 2µ  ω 2 .T(6.18)Преобразуя формулу (6.18), можно найти угловую скорость в любомположении:ω=2µTtg ψ .µJ(6.19)Если последовательно соединять точки 1, 2, ...