1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев)

Lektsia_13Lektsia_218Lektsia_330Лекция 148Лекция 263Лекция 375Лекция 493Лекция 5107Лекция 6120Лекция 7130Лекция 8142Лекция 9156Лекция 10184Лекция 11202Лекция 12223Лекция 13232Лекция 14245Лекция 15259Лекция 16286Лекция 17303Лекция 18314Лекция 19324Лекция 20336Лекция 21348Лекция 22364Лекция 23372Лекция 24392Лекция 25411Лекция 26425Лекция 27444Лекция 28457Лекция 29470Лекция 30483Лекция 31492Лекция 32509Ãëàâà I. Ëèíåéíûå ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè âûñîêîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè.Çàäà÷à Êîøè äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ ïåðåìåííûìèêîýôôèöèåíòàìè.

Àïðèîðíûå îöåíêèŸ1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿÎïðåäåëåíèå 1. Îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèåì n-îãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå âèäà0F (t, y , y , ..., y (n) ) = 0.(1)Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1) íà èíòåðâàëåôóíêöèÿy = ϕ(t),îïðåäåëåííàÿ íà(a, b) íàçûâàåòñÿ(a, b) âìåñòå ñî ñâîèìèïðîèçâîäíûìè äî n-îãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî è òàêàÿ, ÷òîïîäñòàíîâêà ôóíêöèèòîæäåñòâî äëÿtèçy = ϕ(t)(a, b).â (1) ïðåâðàùàåò åãî âÇàìå÷àíèå 1. Âñþäó (åñëè íå îãîâîðåíî îñîáî) ïîäïîíèìàåìêîíå÷íûéèíòåðâàë.Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ(a, b)Ïðîñòåéøèå ïðèìåðû ÎÄÓ - ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñïîñòîÿííûìè êîýôôèöåíòàìè, ò.å. êîãäà â (1) ôóíêöèÿëèíåéíà ïîF0y , y , ..., y (n) :0Ly = y (n) + a1 y (n−1) + ...

+ an−1 y + an y = 0,ïðè÷åìa1 , ..., an(2)- íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå (âåùåñòâåííûå èëèêîìïëåêñíûå).(2) - ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ÎÄÓ ïîðÿäêà n ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöåíòàìè.Çàìå÷àíèå 2. ×åðåçLâ (2) îáîçíà÷åí äèôôåðåíöèàëüíûéîïåðàòîðL=äåéñòâóþùèé íàd n−1ddn+ a1 n−1 + ... + an−1 + an ,ndtdtdtôóíêöèþ y = y (t).Åñëè âìåñòî (2) ðàññìîòðåòü óðàâíåíèå ñïðàâîé ÷àñòüþLy = f (t),ãäåf = f (t)- èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ îò t , òî (4) - ëèíåéíîåíåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå.(3)Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ(4)Ïðèìåð 1.Íàéòè òàêèå êðèâûå íà ïëîñêîñòè(t, y ),÷òîáû tg óãëà íàêëîíàêàñàòåëüíîé (ïî îòíîøåíèþ ê ïîëóîñè Ît) â ëþáîé òî÷êå ýòèõêðèâûõ ðàâíÿëñÿ îðäèíàòåyýòîé òî÷êè, óìíîæåííîé íàíåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëîa(ñì. Ðèñ.)yy = y(t)at0Ðèñ.Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ0C00= y ⇒ y = ay ⇒ (e −at y ) = 0 ⇔ e −at y = C ,Òàê êàê tg αãäå- ïðîèçâîëüíàÿ âåùåñòâåííàÿ êîíñòàíòà⇒ y = y (t) = Ce at(5)- óðàâíåíèå ñåìåéñòâà êðèâûõ.Îïðåäåëåíèå 2.

Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿn-îãîïîðÿäêà (1), çàâèñÿùåå îò n ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõCi , i=1, ..., n,y = ϕ(t, C1 , ..., Cn ),íàçûâàåòñÿîáùèì ðåøåíèåìýòîãî óðàâíåíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèå (5) çàäàåò îáùåå ðåøåíèåóðàâíåíèÿ0y = ay .Îïðåäåëåíèå 3. Çàäà÷åé Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1) íàçûâàåòñÿçàäà÷à î íàõîæäåíèè òàê íàçûâàåìîãîy = ϕ(t)÷àñòíîãî ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (1), óäîâëåòâîðÿþùåãîíà÷àëüíûìt = t0 , t0 ∈ (a, b):0ϕ(t0 ) = ϕ0 , ϕ (t0 ) = ϕ1 , ϕ(n−1) (t0 ) = ϕn−1 ,ãäå ϕ0 , ..., ϕn−1 - íåêîòîðûå çàäàííûå ïîñòîÿííûå.óñëîâèÿìïðèÏðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿÄëÿ óðàâíåíèÿãäåy0y 0 = ay çàäà÷à Êîøè ôîðìóëèðóåòñÿ 0y = ay ,t ∈ (a, b);y (t0 ) = y0 , t0 ∈ (a, b),òàê:(6)- íåêîòîðàÿ çàäàííàÿ ïîñòîÿííàÿ.

Çíàÿ ôîðìóëó îáùåãîðåøåíèÿ óðàâíåíèÿy 0 = ay(ò.å. (5)) ìîæíî ðåøèòü çàäà÷óÊîøè (6).Èìååì:y0 = Ce at0 ⇒ C = y0 e −at ⇒èñêîìîå ðåøåíèå òàêîâî:y = y0 e a(t−t0 ) .(7)Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (6): èç âñåõêðèâûõ, îïèñûâàåìûõ ôîðìóëîé (5) íàäî âûáðàòü òàêóþ,êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó(t0 , y0 )íà ïëîñêîñòè.Çàìå÷àíèå 3. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (6) îïðåäåëåíî ïðè âñåõt ∈ R n , ∀t0 ∈ R 1 , y0 ∈ R 1 .Áóäåì ðàññìàòðèâàòü è ñèñòåìû. Îãðàíè÷åìñÿ ïîêà òîëüêîïðèìåðàìè, íå äàâàÿ ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû.Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿÏðèìåð 2.y1 0 = −y2 ,0y2 = y1 .(8)Çäåñüy1,2 = y1,2 (t) - íåèçâåñòíûå ôóíêöèè.îáîçíà÷åíèÿ:y1 (t)y (t) =- âåêòîð-ôóíêöèÿ.y2 (t)ÂâåäåìÒîãäà ñèñòåìó (8) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: (âåêòîðíûé âèä)0y (t) =y1y20⇒dydt= y (t) ⇒0y =Ay , ãäå 0 −1A=100y10y2=0−110 y1,y2èëè- ìàòðèöà. îáùåì ñëó÷àå ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöåíòàìè äëÿNíåèçâåñòíûõ ôóíêöèéy1 (t), ..., yN (t)çàïèøåì â âåêòîðíîì âèäå:0y =dy= Ay ,dtÏðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ(9)ãäåy =aijy1 (t)...a11.

. . a1N ...  , A = (aij ) =  ...  , i,j=1,...,N,yN (t)aN 1 . . . aNN- ýëåìåíòû ìàòðèöûA,ïîñòîÿííûå âåùåñòâåííûå (èëèêîìïëåêñíûå) ÷èñëà.Ïîêîìïîíåíòíàÿ çàïèñü ñèñòåìû (9) ñîñòîèò èçNóðàâíåíèéNXdyi=aij yij , i = 1,...,N .dt0(9 )j=1Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (9) - îäíîðîäíàÿ, ñèñòåìà æådyi= Ay + f (t),dtãäåf (t) = f1 (t)...00(9 )- çàäàííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, íåîäíîðîäíàÿ.fN (t)Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿÍàêîíåö, íàðÿäó ñ (9) áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàê íàçûâàåìûåìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿdY= AY ,dtãäåy11. .

. y1N(10).. Y = (yij ) =  ....  ; i, j =1,...,N,yN 1 . . . yNNïðè ýòîì, ïî îïðåäåëåíèþdY=dt0y11...00. . . y1N...0.yN 1 . . . yNNÏîêîìïîíåíòíàÿ çàïèñü ñèñòåìû (10) òàêîâà:NXdyir=aij yjr ,dtj, r = 1, ..., Nj=1Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ0(10 )Èç (100)ñëåäóåò, ÷òî íà ñàìîì äåëå (10) ìîæíî ïåðåïèñàòü ââèäå âåêòîðíîé ñèñòåìû. Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èì ÷åðåçy [k] , k=1,...,Nñëåäóþùèå âåêòîð-ôóíêöèèy11y1N  y [1] =  ...

 , ... , y [N] =  ...  .y1NyNNÒîãäà èç (10dy [k]dt0)ñëåäóåò, ÷òî= Ay [k] , k=1,...,N èëè [1]  yAd  .  . . =dt0y [N]0...y [1 ]  ..  . ,Ay [N]00(10 )òî åñòü ìû ïîëó÷èëè ñèñòåìó âèäà (9).Ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ìàòðèö.R N - N -ìåðíîå âåùåñòâåííîå åâêëèäîâîN -ìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî.ïðîñòðàíñòâî,Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿCN-y =y1 (t)...,yN (t)ïðè÷åì∀t ∈ R 1 y (t) ∈ R NÊàê èçâåñòíî, äëÿ âåêòîðîâ èçRN(èëè(èëèCN)C N ).ìîæíî ââåñòèäëèíó (íîðìó):vu NpuX|yi |2||y || = (y , y ) = t∀t ∈ R 1 .i=1Çäåñü(y , x) =NXyi xii=1-ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåâåêòîðîâ,  y1x1 ..

 .. y =  . , x =  . .yNxNÏðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ(11), ∈ CN .Âàðèàíò äëÿ x yÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:1)(y , x)= (x, y ),α ∈ C 1,2)(αy , x) = α(y , x),3)(y , αx) = α(y , x),d ∈ C 1,4)||y || = 0⇔ y = 0.Íåðàâåíñòâà Êóðàíòà:λmin (B)||y ||2 ≤ (By , y ) ≤ λmax (B)||y ||2 ,ãäåB = B∗(12)- ýðìèòîâà ìàòðèöà,λmin (B), λmax (B) - íàèìåíüøååB . Íàïîìíèì, ÷òîåñëè B = (bij ), òî B ∗ = (b̄ji ), i, j = 1, ..., N . Êðîìå òîãî, âñåñîáñòâåííûå ÷èñëà ýðìèòîâîé ìàòðèöû B âåùåñòâåííûå.è íàèáîëüøåå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöûÄîêàæåì (12).∃óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèåU (U −1 = U ∗ )òàêîå, ÷òîB = U ∗ DU,D = diag (λ1 , ..., λN ), λi = λi (B), i =1,...,N - ñîáñòâåííûåìàòðèöû B , ïðè÷åì λ1 = λmin (B), λN = λmax (B).Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ÷èñëàÒîãäà(By , y ) = (U ∗ DUy , y ) = (DUy , Uy ) = λ1 |z1 |2 + ...++λN |zN |2 ,ãäå z1 ..

z =  .  = Dy .zNÑ äðóãîé ñòîðîíû2λ1 ||z|| ≤NXλi |zi |2 ≤ λN ||z||2 .(13)i=1Òàê êàê||z||2 = (z, z) = (Uy , Uy ) = (U ∗ Uy , y ) = (y , y ) = ||y ||2 ,òî èç (13) ñëåäóåò (12).y ∈ R N èëè (C N )A = (aij ), i,j=1,...N .Êðîìå íîðìû âåêòîðàíîðìó ìàòðèöûìîæíî ââåñòè òàêæå èÏðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿÍàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûìè ÿâëÿþòñÿåâêëèäîâàîïåðàòîðíàÿ íîðìàèíîðìà (ïîñëåäíÿÿ = ôðîáåíèóñîâà íîðìà).Îïðåäåëåíèå 4.

Îïåðàòîðíîé íîðìîé ìàòðèöûAíàçûâàþòâåëè÷èíó||Ay ||=||A|| = supy 6=0 ||y ||ssupy 6=0(Ay , Ay ).(y , y )(14)Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü (14):=Çàìåòèì, ÷òîA∗ Armaxýðìèòîâà èmax(A∗ Ay , y ).||y ||=1A∗ A ≥ 0.(A∗ Ay , y ) = λmax (A∗ A) ≥ 0.||y ||=1Òàêèì îáðàçîì,||A|| =pλmax (A∗ A) ≥ 0.Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ(15) îòëè÷èå îò îïåðàòîðíîé íîðìû ìàòðèöûíîðìà ìàòðèöûAAôðîáåíèóñîâàââîäèòñÿ òàê:vuXu N||A||E = t|aij |2 .(16)i,j=1Ïîêàæåì, ÷òî||A|| ≤ ||A||E .(17)Ñíà÷àëà âñïîìíèì íåðàâåíñòâî Áóíÿêîâñêîãî - Øâàðöà:|(x, y )|2 ≤ (x, x) · (y , y ).(18)Âåðíåìñÿ ê (17)vvu N NuXNNXuX Xu N X2||Ay || = t (aij yj ) ≤ t (|aij |2 )(|yj |2 ) =i=1 j=1= ||y || · ||A||Ei=1 j=1⇒||Ay ||≤ ||A||E||y ||j=1⇒Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ(17) äîêàçàíî. Ïîëåçíîå íåðàâåíñòâî:||A · B|| ≤ ||A|| · |B|| ñàìîì äåëå:s||A · B|| =rmax(ABy , ABy )=(y , y )y 6=0sup(A∗ ABy , By ) ≤||y ||=1≤rmax[λmax (A∗ A) · (By , By )] = ||A|| · ||B||.||y ||=1(19)Ÿ2. Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè äëÿ îäíîðîäíûõëèíåéíûõ ñèñòåì ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèÈçó÷àåìy 0 = Ay ,(1)îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.Ïîä çàäà÷åé Êîøè äëÿ (1) áóäåì ïîíèìàòü ñëåäóþùóþ çàäà÷óíàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîé âåêòîð-ôóíêöèè y = y (t): 0y = Ay , t ∈ R 1 ;(2)y (t0 ) = y0 , t0 ∈ R 1 ,ãäå y0 ∈ R N (èëè C N ) - íåêîòîðûé çàäàííûé âåêòîð, t0 çíà÷åíèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t , ïðè êîòîðîì çàäàþòñÿíà÷àëüíûå óñëîâèÿ.

Êðîìå òîãî, â îòëè÷èå îò çàäà÷è Êîøè(6) èç Ÿ1, ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷ó Êîøè íà âñåéâåùåñòâåííîé îñè R 1 .Çàìåòèì, ÷òî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêîïðè t = 0. Ïîëîæèì τ = t − t0 , z(τ ) = y (τ + t0 ), òîãäà (1) è (2)Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøèïðåîáðàçóþòñÿ òàê:ddτ z(τ )= Az(τ ),z(0) = y0 .0(2 )0Âîçâðàùàÿñü â (2 ) ê ñòàðûì îáîçíà÷åíèÿì, ïîëó÷èì çàäà÷ó(2) ïðè t0 = 0.Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå êîððåêòíîñòè çàäà÷è Êîøè(2)Îïðåäåëåíèå 1. Çàäà÷à Êîøè (2) íàçûâàåòñÿ êîððåêòíîé, åñëè1) åå ðåøåíèå ∃ ∀y0 ∈ R N (èëè C N );2) åå ðåøåíèå åäèíñòâåííî äëÿ çàäàííîãî âåêòîðà y0 ;3) åå ðåøåíèå íåïðåðûâíî çàâèñèò îò âåêòîðà y0 , ò.å.

îòíà÷àëüíûõ äàííûõ.Ðàçîáüåì ïðîöåññ èññëåäîâàíèÿ çàäà÷è Êîøè íà íåñêîëüêîýòàïîâ.I) Äîïóñòèì, ÷òî çàäà÷à Êîøè (2) íà èíòåðâàëå (−T , T ), T > 0- íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà èìååò íåïðåðûâíîå è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå y = y (t) (ò.å. êàæäàÿ êîìïîíåíòàâåêòîð-ôóíêöèè y = y (t) îáëàäàåò ýòèìè ñâîéñòâàìè).Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèÒàê êàê y = y (t) - ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2), òî â ñèëóñèñòåìû ïîëó÷èì:dd00(y (t), y (t)) = ||y (t)||2 = (y (t), y (t))+dtdt0+(y (t), y (t)) = (Ay (t), y (t)) + (A∗ y (t), y (t)) == (By (t), y (t)) ≤ M+ ||y (t)||2 .Çäåñü B = A + A∗ = B ∗ , M+ = λmax (B).Ïóñòü ñíà÷àëà 0 ≤ t < T .

Òîãäàd||y (t)||2 − M+ ||y (t)||2 ≤ 0.dtÀ åñëè óìíîæèòü åãî íà e −M+ t , òî ïîëó÷èì:d −M+ t{e· ||y (t)||2 } ≤ 0,dtÒî åñòü||y (t)||2 ≤ e M+ t ||y (0)||2 ≤ e |M+ |·t ||y0 ||2 ≤ e |M+ |T ||y0 ||2Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè(3)ïðè 0 ≤ t < T .Ïóñòü òåïåðü −T < t ≤ 0. Òîãäà, ñäåëàâ â çàäà÷å (2) çàìåíûíåçàâèñèìîé ïåðåìåííîéτ= −t ⇒ z(τ ) = y (−τ ) ⇒dzdy (−τ )=· (−1) = Ay (−τ )dτd(−τ )è çàâèñèìîé âåêòîðíîé ïåðåìåííîé Z (τ ) = y (−τ ), ïîëó÷àåì d000<τ <Tdτ Z (τ ) = −AZ (τ ),(2 )Z (0) = y0 .Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ïðèâåëè ê íåðàâåíñòâó (3),èìååì||Z (τ )||2 = ||y (t)||2 ≤ e M− (τ ) ||z(0)||2 ≤≤ e |M− |(τ ) ||y0 ||2 = e −|M− |t ||y0 ||2 ≤ e |M− |T ||y0 || (4)ïðè −T < t ≤ 0.Çäåñü M− = λmax (−B) = −λmin (B).Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèÎáúåäèíÿÿ (3),(4), ïîëó÷àåì àïðèîðíóþ îöåíêó:||y (t)||2 ≤ e M·|t| ||y0 ||2 ≤ e M·t ||y0 ||2 ,(5)ãäå M = max(|M+ , |M− |).Òåïåðü ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ èçîïðåäåëåíèÿ êîððåêòíîñòè çàäà÷è Êîøè (2).Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè.Åñëè ó çàäà÷è Êîøè ∃ íåïðåðûâíîå è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå y = y (t), t ∈ R 1 , òî îíîîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî çíà÷åíèþ âåêòîðà y (t) â òî÷êåt = 0, ò.å.

ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå: ∃ äâà ðåøåíèÿy = y I ,II (t) çàäà÷è (2), ïðè÷åì y I ,II (0) = y0 .Îáîçíà÷èìy (t) = y I (t) − y II (t).Òîãäà0y = Ay , t ∈ R 1 ,y (0) = 0.Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè(6) ñèëó àïðèîðíîé îöåíêè (5) ïîëó÷àåì:||y (t)||2 ≤ 0 ïðè t ∈ (−T , T ) ∀T > 0.Ñëåäîâàòåëüíî, y (t) ≡ 0 ïðè âñåõ t ∈ (−T , T ), ò.å.y I (t) ≡ y II (t) ∀t ∈ R 1 .II)  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2) ∃, ìûíàéäåì ôîðìóëó äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ.Èòàê, ïóñòü íà îòðåçêå [−T , T ], ãäå T > 0 - íåêîòîðàÿïîñòîÿííàÿ, ∃ íåïðåðûâíîå è íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîåðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2).0Èç ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè âåêòîðíîé ñèñòåìû y = Ay (ñì.0ôîðìóëó (9 ) èç Ÿ1)0yi =NXaij · yij , i=1,..., Nj=10ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè yi (t) - íåïðåðûâíûå èíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå íà [−T , T ].Çíà÷èò, ìû ìîæåì ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü èñõîäíóþ ñèñòåìóÐàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè0y = Ay :(y ) = y = Ay = A · Ay = A2 y .0 0000È, ïîëàãàÿ t = 0, ïîëó÷èìy (0) = A2 y0 .00Íàïîìíèì, ÷òîy (0) = y0 ,0y (0) = Ay0 .Ïîâòîðÿÿ ýòè ðàññóæäåíèÿ ìíîãîêðàòíî, ìû ïðèéäåì êñëåäóþùåìó âûâîäó: åñëè íà îòðåçêå [−T , T ] ∃ íåïðåðûâíîå èíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2), òîíà ñàìîì äåëå ýòî ðåøåíèå áóäåò áåñêîíå÷íîäèôôåðåíöèðóåìûì, à ëþáàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ðåøåíèÿy = y (t) çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëûy (k) (t) = Ak y (t),ïðè÷åìy (k) (0) = Ak y0 .Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèÇäåñü k > 0 - ëþáîå öåëîå ÷èñëî.Èç ìàò.àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî y = y (t) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåðÿäà Ìàêëîðåíà∞X tkttky (t) = y0 + A · y0 + ...