Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 17

. , k.∂ q̇jВ итоге получаем k циклических интегралов. Примерами таких механических систем являются системы, для которых, в частности, выполняетсязакон сохранения количества движения.Уравнение движения машиныМашиной называют совокупность твердых тел (звеньев), соединенныхмежду собой так, что положение и движение любого звена полностью определяется положением и движением одного звена, называемого ведущим.Составим общее уравнение движения машины, состоящей из ведущегозвена и еще n звеньев, пользуясь уравнением Лагранжа второго рода.При составлении выражения кинетической энергии предположим, чтоза ведущее звено выбрано вращающееся тело (ведущий кривошип).

Обозначим через ϕ угол поворота ведущего кривошипа, тогда его кинетическаяэнергияT0 = 1 J0 ϕ̇2 ,2где J0 — момент инерции ведущего кривошипа относительно оси вращения.Из определения машины угловая скорость k-го звена ω~ k и скорость его(k)центра масс ~vC определяются угловой скоростью ведущего кривошипа иотношения(k)~vCω~kиϕ̇ϕ̇— известные функции угла ϕ.Кинетическая энергия k-го звена определяется по теореме Кенига (k) 2 ω 2v(k)(k)2(k)k ϕ̇2 ,+ mk CTk = 1 JC ωk2 + 1 mk vC = 1 JC222ϕ̇ϕ̇УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ . . .139(k)где JC — момент инерции k-го звена относительно оси, проходящей черезего центр масс параллельно вектору ω~ k , mk — масса k-го звена.Кинетическая энергия машины определяется суммой (k) 2 nn ω 2XXv(k)kJ ϕ̇2 .T = T0 +T k = 1 J0 ++ mk CC2ϕ̇ϕ̇k=1k=1Величина, стоящая в скобках, называется моментом инерции машины,приведенным к оси вращения ведущего звена (обозначается J пр ).

ТогдаT = 1 Jпр (ϕ)ϕ̇2 .2Для вычисления обобщенной силы найдем виртуальную работу сил,~ (k) обозначает момент i-й пары сил,действующих на машину. Пусть Mi(k)приложенной к k-му звену машины (i = 1, 2, . . . , nk ), а F~j обозначаетсилу, приложенную в j-й точке k-го звена машины (j = 1, 2, . . . , n k ). ТогдаδA =nXk=0nkniXX(k)(k)~ (k) · ωMF~j · ~vj  δt =~k +ii=1j=1=nXk=0(k)Вектор скорости ~vjniXi=1(k)nkX~vω~j(k)~ (k) · k + δϕ.MF~j ·iϕ̇ϕ̇j=1j-й точки k-го звена может быть выражен через ϕ̇(k)и отношение~vjϕ̇является функцией угла ϕ.Обобщенная сила Q — это множитель при вариации обобщенной координаты ϕ в выражении виртуальной работы.

Т. е.Q=nXk=0niXi=1~k~ (k) · ωM+iϕ̇nkXj=1(k)(k)F~j ·~vjϕ̇.Полученное выражение называется вращающим моментом, приведенным к оси вращения ведущего кривошипа (обозначается m пр ).140ЛЕКЦИЯ 22Подставляя найденную кинетическую энергию в уравнение Лагранжавторого родаd ∂T − ∂T = Q,dt ∂ ϕ̇∂ϕполучаем общее уравнение движения машиныЛЕКЦИЯ 23Интегральный вариационный принцип0(ϕ)ϕ̇2 = mпр .Jпр (ϕ)ϕ̈ + 1 Jпр2Здесь дифференцирование приведенного момента инерции осуществляетсяпо обобщенной координате.Литература:[1, § 45];[3, § 125–128];[4, п. 19.2, 19.3].1.

Принцип Гамильтона – Остроградского.2. Принцип Гамильтона – Остроградского для консервативных систем.Принцип Гамильтона1 – Остроградского2Рассмотрим движение механической системы с s степенями свободы, на которую наложены голономные, идеальные и стационарныесвязи. Ее положению в каждый момент движения соответствует точка(q1 (t), q2 (t), . .

. , qs (t)) в s-мерном конфигурационном пространстве. На отрезке времени [0, t1 ] эта точка описывает некоторую линию, которая называется траекторией механической системы. Наряду с действительнойтраекторией движения механической системы рассмотрим семейство виртуальных (допускаемых наложенными связями) траекторий, по которымдвижение механической системы из начальной конфигурации в конечнуюосуществляется за тот же промежуток времени. Соответствующие им координаты точек конфигурационного пространства можно записать функциями= qj (t), j = 1, 2, . . .

, s,qj = qj (t, ξ), qj (t, ξ)ξ=0где ξ > 0 — переменный параметр.Виртуальное перемещение механической системы в каждый фиксированный момент времени определим системой равенств∂qj (t, ξ) dξ, j = 1, 2, . . . , s.δqj =∂ξ ξ=01 1ГамильтонУильям Роуан (4.08.1805–2.09.1865) — ирландский математик, член Ирландской АН. Основные работы посвящены математической оптике, механике, вариационномуисчислению.2 Остроградский Михаил Васильевич (24.09.1801–1.01.1862) — русский математик и механик, академик Петербургской АН.

Работы по аналитической механике, гидромеханике, теорииупругости, небесной механике, математической физике.142ЛЕКЦИЯ 23ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА – ОСТРОГРАДСКОГОС точностью до малых второго порядка по dξ координаты виртуальных траекторий отличаются от координат действительной траектории навеличину δqjqj (t, ξ) = qj (t) + δqj .Аналогично можно рассматривать вариацию произвольной функциивремени. Такие вариации называют синхронными.Справедливо утверждение.Принцип Гамильтона – ОстроградскогоЗдесь δA =Zt1(δT + δA)dt = 0.Qj δqj — виртуальная работа сил, вызывающих движение,j=1δT — вариация кинетической энергии.Поскольку кинетическая энергия механической системы есть функцияобобщенных координат и скоростей T = T (q1 , q2 , . .

. , qs ; q̇1 , q̇2 , . . . , q̇s ), тоее вариация может быть определена как главная (линейная) часть приращения функции 2s переменныхssX∂T δq + X ∂T δ q̇ .jj∂qj∂ q̇jj=1При этом справедливоj=1d (δq ) = ∂ q̇j dξ = δ q̇ .jjdt∂ξ ξ=0Из этого принципа могут быть получены уравнения Лагранжа второгорода, и сам он может быть выведен из этих уравнений. Докажем второеутверждение, ограничиваясь рассмотрением систем с голономными, стационарными и идеальными связями.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Умножая каждое из уравнений Лагранжа на соответствующую вариацию обобщенной координаты, и складывая полученные равенства, находимsssXd ∂T δq − X ∂T δq = X Q δqjjj jdt ∂ q̇j∂qjj=1j=1j=1∂T δqj∂ q̇j!ssXX∂T∂T δq = δA.−δ q̇j −j∂ q̇j∂qjj=1j=1С учетом выражения для вариации кинетической энергии имеем!sXd∂Tδqj .δT + δA =dt ∂ q̇jИнтегрируя полученное равенство по промежутку времени [0, t 1 ], находим t1!Zt1s Zt1sXX∂Td∂T(δT + δA)dt =δqj dt =δqj = 0.dt ∂ q̇j∂ q̇jj=1j=100δT =sXddtj=1Действительное движение механической системы отличается от всехвозможных ее движений из начальной конфигурации в конечную тем, чтодля действительного перемещения выполняется равенствоsPили143j=100При подстановке пределов интегрирования здесь воспользовались тем,что в начальной и конечной точках виртуальные траектории и действительная траектория совпадают (δqj (0) = 0, δqj (t1 ) = 0).Утверждение доказано.Принцип Гамильтона – Остроградскогодля консервативных системДля консервативных систем виртуальная работа выражается через вариацию потенциальной энергииδA = −sX∂Π δq = −δΠj∂qjj=1и принцип Гамильтона – Остроградского принимает видZt0δ(T − Π)dt = 0.Введя функцию Лагранжа L = T − Π, находимZt0δL dt = 0.144ЛЕКЦИЯ 23В силу независимости операций интегрирования и варьирования, ихпорядок можно менять.

Действительно, так как∂L(t, ξ) δL = L(t, ξ) − L(t) =dξ,∂ξ ξ=0тоZt10δL dt =Zt10∂L(t, ξ) ∂ξ ИнтегралRt1tZ1dξ dt = ∂  L(t, ξ)dt∂ξξ=00dξ = δξ=0Zt1L dt.0L dt называется действием по Гамильтону и обозначается0буквой S, а принцип Гамильтона – Остроградского приобретает форму:Действительное движение консервативной механической системытаково, что действие по Гамильтону имеет стационарное значениеδS = 0.Условие стационарности действия по Гамильтону эквивалентно тому,что функция L удовлетворяет уравнениям Лагранжа для консервативныхсистем!d ∂L − ∂L = 0, j = 1, 2, .

. . , s.dt ∂ q̇j∂qjОтыскание экстремумов определенных интегралов относится к задачамвариационного исчисления. Простейшей такой задачей является отысканиефункции y = y(x) при краевых условиях y(0) = 0, y(x 1 ) = y1 , доставляюRx1щей экстремум интегралу J = f (x, y, y 0 )dx.0Формальная замена переменных в принципе Гаусса – Остроградскогодля механической системы с одной степенью свободыt → x,q → y,q̇ → y 0 ,L → f,S→Jдает, что функция y = y(x), доставляющая экстремум этому интегралу(δJ = 0), удовлетворяет дифференциальному уравнению∂f∂fd−= 0 при краевых условиях y(0) = 0, y(x1 ) = y1 .dx ∂y 0∂yЭто дифференциальное уравнение называется уравнением Эйлера.ЛЕКЦИЯ 24Устойчивость равновесия1. Определение устойчивого положения равновесия.2.

Теорема Лагранжа – Дирихле.3. Потенциальная энергия в малой окрестности положения равновесия.4. Условие устойчивости консервативных механических систем.Определение устойчивого положения равновесияКак было показано в лекции 21, условие равновесия механическойсистемы в обобщенных координатах имеет вид:Qj = 0,j = 1, 2, . . . , s.Для консервативных систем∂Π = 0,∂qjj = 1, 2, .

. . , s.Эта система уравнений относительно обобщенных координат позволяет найти все положения равновесия консервативной механической системы.Не все положения равновесия физически реализуемы. Малые возмущения механической системы, находящейся в равновесии, могут привестик потере ее устойчивости. В дальнейшем, для удобства, при исследовании движения механической системы около положения равновесия будемполагать, что отсчет обобщенных координат производится от положенияравновесия и потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю.Определение.