Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 19

. . + a1s q̈s + c11 q1 + . . . + c1s qs = 0,.............................................a1s q̈1 + . . . + ass q̈s + c1s q1 + . . . + css qs = 0.152ЛЕКЦИЯ 25Полученная система дифференциальных уравнений описывает движение консервативной механической системы около устойчивого положенияравновесия. Воспользуемся этими уравнениями для исследования малыхколебаний систем с одной и двумя степенями свободы.Малые колебания системы с одной степенью свободыПоложение механической системы с одной степенью свободы однозначно определяется заданием одной обобщенной координаты q 1 = q. Вводя обозначения: c11 = c и a11 = a, из уравнений движения механическойсистемы около устойчивого положения равновесия получимaq̈ + cq = 0.Так как c > 0 и a > 0, тоq̈ + k 2 q = 0— дифференциальное уравнение свободныхколебаний механической системыс одной степенью свободы,qгде k = ac — циклическая частота колебаний.Решение этого уравнения аналогично рассмотренному в случае прямолинейных колебаний материальной точкиq = A sin(kt + α).Если на точки механической системы помимо потенциальных сил действуют силы сопротивления (диссипативные силы) и возмущающие силы,то при составлении уравнений движения необходимо вычислить соответствующие им обобщенные силы.

В частном случае, если диссипативнаяобобщенная сила пропорциональна обобщенной скоростиQR = −bq̇,а обобщенная возмущающая сила периодически изменяется с течением времениQ(t) = H sin pt,МАЛЫЕКОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ153то движение механической системы около устойчивого положения равновесия описывается дифференциальным уравнениемq̈ + 2nq̇ + k 2 q = h sin pt,где, как и в случае вынужденных колебаний материальной точки в среде ссопротивлением, введены обозначения 2n = b/a и h = H/a.(Исследование решения этого дифференциального уравнения было выполнено в лекции 15.)Литература:[1, § 148];[4, п. 20.3].ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ . .

.155Подстановка этого решения в систему дифференциальных уравнениймалых колебаний даетЛЕКЦИЯ 26(c11 − a11 k 2 )A + (c12 − a12 k 2 )B = 0,Малые колебания механических системс двумя степенями свободыОтносительно A и B это система однородных алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение, когда определитель системы равеннулю c11 − a11 k 2 c12 − a12 k 2 c12 − a12 k 2 c22 − a22 k 2 = 0 или1. Малые свободные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Главные колебания.2. Вынужденные колебания механических систем с двумя степенямисвободы.3.

Понятие о виброзащите. Динамический гаситель колебаний.4. Дифференциальные уравнения малых колебаний упругих систем.5. Колебания упругой системы с двумя степенями свободы.6. Вынужденные колебания упругих систем с двумя степенями свободы.Малые свободные колебания механических системс двумя степенями свободы. Главные колебанияИз дифференциальных уравнений движения консервативной механической системы около устойчивого положения равновесия в случае двухстепеней свободы имеем:(c12 − a12 k 2 )A + (c22 − a22 k 2 )B = 0.(∗)(c11 − a11 k 2 )(c22 − a22 k 2 ) − (c12 − a12 k 2 )2 = 0.Это биквадратное уравнение называется уравнением частот, оно имеет два положительных корня k12 и k22 , которым соответствуют два решениясистемы дифференциальных уравнений малых колебаний:q1 = A1 sin(k1 t + δ1 ) + A2 sin(k2 t + δ2 ),q2 = B1 sin(k1 t + δ1 ) + B2 sin(k2 t + δ2 ).Таким образом, каждая обобщенная координата находится как суммадвух колебаний разной частоты, которые называются главными колебаниями.

При этом, как следует из системы (∗), амплитуды главных колебанийсвязаны между собой следующим образом:µi =c11 − a11 ki2Bi=−,Aic12 − a12 ki2i = 1, 2,где µi — коэффициенты формы главных колебаний.В итоге уравнения движения имеют вид:q1 = A1 sin(k1 t + δ1 ) + A2 sin(k2 t + δ2 ),q2 = µ1 A1 sin(k1 t + δ1 ) + µ2 A2 sin(k2 t + δ2 ).a11 q̈1 + a12 q̈2 + c11 q1 + c12 q2 = 0, a12 q̈1 + a22 q̈2 + c12 q1 + c22 q2 = 0.Амплитуды A1 , A2 и начальные фазы δ1 , δ2 соответствующих колебаний определяются из начальных условий.(Согласно критерию Сильвестра: c11 > 0, c11 c22 − c212 > 0; a11 > 0,a11 a22 − a212 > 0.)Это система дифференциальных уравнений малых свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы около устойчивогоположения равновесия. Ее решение ищется в виде:Вынужденные колебания механических системс двумя степенями свободыq1 = A sin(kt + δ),q2 = B sin(kt + δ).Пусть к механической системе помимо консервативных сил приложенавозмущающая сила.

Особый интерес представляет случай, когда обобщенная сила, соответствующая одной из обобщенных координат, изменяется с156ЛЕКЦИЯ 26ПОНЯТИЕ Отечением времени по гармоническому законуQ1 (t) = H1 sin pt.Дифференциальные уравнения движения механической системы принимают вид:a11 q̈1 + a12 q̈2 + c11 q1 + c12 q2 = H1 sin pt,a12 q̈1 + a22 q̈2 + c12 q1 + c22 q2 = 0.Общее решение системы линейных неоднородных, в данном случае,дифференциальных уравнений ищем как сумму двух решений: q 1 = q1∗ +q1∗∗ ,q2 = q2∗ + q2∗∗ , где q1∗ , q2∗ — общее решение системы однородных дифференциальных уравнений, метод получения которого изложен выше; q 1∗∗ , q2∗∗ —частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений.С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное решение ищется в видеq1∗∗ = A sin pt,q2∗∗ = B sin pt.Подстановка его в систему дифференциальных уравнений дает:(c11 − a11 p2 )A + (c12 − a12 p2 )B = H1 ,(c12 − a12 p2 )A + (c22 − a22 p2 )B = 0.Решая эту систему по правилу Крамера1, получимA=где∆1,∆B=∆2,∆ c − a11 p2 c12 − a12 p2 ,∆ = ∆(p) = 11c12 − a12 p2 c22 − a22 p2 H c − a12 p2 c11 − a11 p2 H1 ,∆=∆1 = 1 122 c12 − a12 p2 0 .0 c22 − a22 p2 ∆(p) совпадает с левой частью уравнения частот и обращается в нольпри совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственныхколебаний k1 или k2 .

Коэффициенты A и B при этом обращаются в бесконечность. Таким образом, в случае колебаний системы с двумя степенямисвободы существуют две резонансные частоты p1 = k1 и p2 = k2 .1 Крамер Габриель (31.07.1704–4.01.1752) — швейцарский математик, член Лондонскогокоролевского общества.

Основные направления исследований — геометрия, теория алгебраических уравнений, теория вероятностей. Заложил основы теории определителей.ВИБРОЗАЩИТЕ.ДИНАМИЧЕСКИЙ ГАСИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ157Общее решение системы дифференциальных уравнений вынужденныхколебаний при p1 6= k1 и p2 6= k2 имеет вид:∆q1 = A1 sin(k1 t + δ1 ) + A2 sin(k2 t + δ2 ) + 1 sin pt,∆∆q2 = µ1 A1 sin(k1 t + δ1 ) + µ2 A2 sin(k2 t + δ2 ) + 2 sin pt.∆Понятие о виброзащите.

Динамический гасительколебанийИсключение нежелательных колебаний в механических системах называется виброзащитой (демпфированием). Используемые при этом технические устройства называются виброгасителями (демпферами). Рассмотрим принцип работы одного из таких устройств — динамического гасителя колебаний. За счет выбора параметров колеблющейся системы можнодобиться выполнения условия A = 0, т.

е. амплитуда вынужденных колебаний, соответствующих первой обобщенной координате, обращается в ноль.Такое явление называется антирезонансом. Это имеет место, если ∆ 1 = 0,т. е.rcH1 (c22 − a22 p2 ) = 0 или p = a22 .22Принцип работы динамического гасителя основан на использованииявления антирезонанса, когда действие периодически изменяющейся возмущающей обобщенной силы, соответствующей одной координате, нейтрализуется действием потенциальной обобщенной силы, соответствующейдругой координате.В частности, в случае вынужденных колебаний упругой балки, несущей массу, дополнительная масса m на пружине жесткости c будет выполнять роль гасителя колебаний, когда «парциальная» частота собственных ееколебаний будет совпадать с частотой возмущающей силыqc.ω= mНа практике преимущественно применяют демпфирующие устройствас использованием сил вязкого сопротивления.Дифференциальные уравнения малых колебаний упругихсистемУпругие механические системы в общем случае представляют системы упругих тел, которые изменяют свою форму и размеры под действи-158ЛЕКЦИЯ 26ем нагрузок и самопроизвольно восстанавливают исходную конфигурациюпри прекращении внешнего воздействия.

Во многих случаях достаточноприемлемой расчетной схемой такой системы служит безмассовый каркас,с которым связано некоторое число точечных масс. Простейшим примеромявляется, в частности, балочная конструкция.Балка является одним из основных элементов строительных конструкций, и вопрос исследования ее упругих колебаний имеет самостоятельноеприкладное значение. Кроме того, эта схема может быть применена и канализу изгибных колебаний валов, которые возбуждаются периодическими или внезапно приложенными силами. Большая часть повреждений вмашинах и в их деталях происходит в результате возникновения в них колебаний.

Борьба с нежелательными колебаниями является неотъемлемымусловием повышения ресурса машин.В качестве обобщенных координат для указанной системы выберемотклонения точечных масс от положения равновесия — y 1 , y2 , . . . , ys .Тогда кинетическая энергия системы запишется в видеT =sXmi ẏi2i=12и подстановка ее в уравнения Лагранжа второго рода даетc11 y1 + . .