Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 18

Положение равновесия механической системы, имеющей s степеней свободы, устойчиво (по Ляпунову1 ), если для любых εj > 0,1 Ляпунов Александр Михайлович (6.06.1857–3.11.1918) — русский математик и механик,академик Петербургской АН, чл.-кор. Парижской АН, почетный член Петербургского, Харьковского и Казанского университетов, член многих академий наук и научных обществ.

Основныеработы посвящены теории устойчивости равновесия и движения механических систем, теориифигур равновесия равномерно вращающейся жидкости и математической физике.146ЛЕКЦИЯ 24j = 1, 2, . . . , s существуют δj > 0, δej > 0, j = 1, 2, . . . , s такие, чтопри начальных возмущениях |qj0 | 6 δj и |q̇j0 | 6 δej в дальнейшем движениимеханической системы для каждой обобщенной координаты выполняетсянеравенство|qj (t)| 6 εj , j = 1, 2, .

. . , s.В противном случае положение равновесия называется неустойчивым.Это определение является частным случаем определения устойчивостидвижения механической системы по Ляпунову.Теорема Лагранжа – Дирихле1Достаточное условие устойчивости положения равновесия консервативной механической системы дается теоремой Лагранжа – Дирихле, которую приведем без доказательства.Теорема.

Если в положении равновесия консервативной механическойсистемы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергияимеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим область D:|qj | < εj ,ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА – ДИРИХЛЕ147соответствующие обозначения, находимΠ(ε1 , q2 , . . . , qs ) = P1 ,Π(q1 , ε2 , .

. . , qs ) = P2 ,......................Π(q1 , q2 , . . . , εs ) = Ps .Так как в положении равновесия Π = 0 и имеет место минимум, тоPj > 0,j = 1, 2, . . . , s.Обозначим наименьшее из этих чисел P . Тогда условие того, что точкаs-мерного пространства (q1 , q2 , . . . , qs ) находится внутри области локального минимума D пространства конфигураций записывается в видеΠ(q1 , q2 , . . . , qs ) < P.Сообщим системе движение из начальной конфигурации(q10 , q20 , . . . , qs0 ) ∈ D(P − Π0 > 0).При движении консервативной системы с идеальными и стационарнымисвязями выполняется закон сохранения энергииj = 1, 2, .

. . , ss-мерного пространства обобщенных координат, определяющих положениемеханической системы. ЗначениямT + Π = T 0 + Π0 .Из положительности кинетической энергии следуетΠ < T0 + Π0 .qj = 0,j = 1, 2, . . . , sсоответствует положение равновесия, в котором потенциальная энергияимеет локальный минимум и полагается равной нулю. Область D — этообласть локального минимума.Найдем минимальные значения потенциальной энергии системы, когда обобщенным координатам последовательно придаются значения q j == εj , а остальным — произвольные из области локального минимума.

Вводя1 ДирихлеЛежен Петер Густав (13.02.1805–5.05.1859) — немецкий математик, член Берлинской АН, чл.-кор. Петербургской АН, иностранный член Парижской АН. Исследованияотносятся к теории чисел, математическому анализу, математической физике и механике. Далстрогое доказательство теоремы об устойчивости положения равновесия в 1846 году.Начальные скорости точек механической системы всегда можно подобрать таким образом, чтобы выполнялось неравенствоT0 < P − Π 0 .ТогдаΠ < P.Это означает, что механическая система совершает такое движение,что (q1 (t), q2 (t), . .

. , qs (t)) ∈ D. Откуда, в силу произвольности области D,следует, что положение равновесия устойчиво.Теорема доказана.148ЛЕКЦИЯ 24ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА – ДИРИХЛЕДля механических систем с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии в положении равновесия q = q ∗ определяетсяна основе соответствующих теорем математического анализа о необходимых и достаточных условиях существования экстремума функции однойпеременной:d2 Π(q) dΠ(q) =0,> 0.dq q=q∗dq 2 q=q∗Условие устойчивости консервативных механическихсистемПотенциальная энергия в малой окрестности положенияравновесияДля исследования устойчивости положения равновесия механическойсистемы с несколькими степенями свободы разложим потенциальную энерравновесиягию Π(q1 , q2 , .

. . , qs ) в ряд в окрестности положения∂ΠΠ(q1 , . . . , qs ) = Π(q1 = 0, . . . , qs = 0) +q1 + . . . +∂q1 q1 =0, ..., qs =021Π∂Π∂qs +q2 ++2 ∂q12 q1 =0, ..., qs =0 1∂qs q1 =0, ..., qs =0!22∂∂ΠΠ2+2q1 q2 + . . . +qs + . . .∂q1 ∂q2 q1 =0, ..., qs =0∂qs2 q1 =0, ..., qs =0Первое слагаемое равно нулю исходя из сделанного ранее предположения о равенстве нулю потенциальной энергии в положении равновесия.Кроме того, равны нулю коэффициенты в линейных членах разложенияиз условия равновесия консервативной механической системы в обобщенных координатах. Тогда, с точностью до членов более высокого порядкамалости, потенциальная энергия механической системы в окрестности положения равновесия может быть представлена следующей квадратичнойформойss XXΠ=1cij qi qj ,2i=1 j=1где введено обозначение2cij = ∂ Π ∂qi ∂qj— обобщенные коэффициенты жесткости.q1 =0, ..., qs =0Обобщенные коэффициенты жесткости вычисляются в положении равновесия, следовательно, все они постоянные числа, причем: c ij = cji .149Так как потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю,и в этом положении она имеет минимум, то вблизи положения равновесия Π > 0, т.

е. соответствующая квадратичная форма определенно положительна. Математическое условие положительной определенности любойквадратичной формы дается теоремой Сильвестра, доказываемой в курсахлинейной алгебры:Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была определенноположительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные минорыматрицы квадратичной формы были положительными.В случае квадратичной формы для потенциальной энергии: c11 . . . c1s c11 c12 > 0, .

. . , . . . . . . . . . > 0.c11 > 0, c21 c22 cs1 . . . css В частности, для системы с двумя степенями свободыΠ = 1 (c11 q12 + 2c12 q1 q2 + c22 q22 )2и согласно теореме Сильвестра условие устойчивости имеет вид:c11 > 0,c11 c22 − c212 > 0.Итак, для исследования устойчивости равновесия консервативной механической системы надо сначала определить обобщенные коэффициентыжесткости, а затем записать неравенства, выражающие соответствующееусловие устойчивости.Литература:[1, § 147];[3, § 123, 124];[4, п.

20.1, 20.2].МАЛЫЕЛЕКЦИЯ 25Малые колебания механических системс одной степенью свободы1. Кинетическая энергия механической системы в малой окрестностиустойчивого положения равновесия.2. Дифференциальные уравнения движения механических систем около устойчивого положения равновесия.3. Малые колебания механических систем с одной степенью свободы.Кинетическая энергия механической системы в малойокрестности устойчивого положения равновесияЗапишем выражение кинетической энергии механической системыс s степенями свободы, на которую наложены голономные и стационарные связиnXmk vk2 .T =12k=1Так как ~vk =sPd~rk∂~rkи ~rk = ~rk (q1 , q2 , . .

. , qs ), то ~vk =q̇j и кинеdtj=1 ∂qjтическая энергия является квадратичной формой обобщенных скоростейT =где aij =nPk=1mkss1 XX2aij q̇i q̇j ,i=1 j=1∂~rk ∂~rk— обобщенные коэффициенты инерции, которые∂qi ∂qjв общем случае являются функциями обобщенных координат. Эта квадратичная форма всегда определенно положительна, так как T > 0.КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ151Разложим коэффициенты инерции в степенной ряд в окрестности положения равновесия:∂aij aij (q1 , . . . , qs ) = aij (q1 = 0, . .

. , qs = 0) +q1 + . . .∂q1 q1 =0, ..., qs =0и подставим в выражение для кинетической энергии, сохраняя члены невыше второго порядка малости относительно qj и q̇j .Полученное таким образом приближенное выражение кинетическойэнергии отличается от точного тем, что обобщенные коэффициенты инерции заменяются их значениями в положении равновесия2∂T.aij =∂ q̇i ∂ q̇j q1 =0, ..., qs =0Дифференциальные уравнения движения механическихсистем около устойчивого положения равновесияРассмотрим движение консервативной механической системы с голономными, стационарными и идеальными связями около устойчивого положения равновесия. Для этого составим уравнения Лагранжа второго рода!d ∂T − ∂T = − ∂Π , j = 1, 2, .

. . , s.dt ∂ q̇j∂qj∂qjПотенциальную и кинетическую энергии представим квадратичнымиформами по обобщенным координатам и обобщенным скоростямssXXcij qi qj , cij = const,Π=12j=1 i=1ssXXT = 1aij q̇i q̇j , aij = const.2i=1 j=1Так как эти квадратичные формы определенно положительны (первая —из устойчивости положения равновесия; вторая — из определения кинетической энергии), то по теореме Сильвестра главные миноры матриц этихквадратичных форм больше нуля.Подстановка этих выражений для Π и T в уравнения Лагранжа дает:a11 q̈1 + .