Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 20

. + c1s ys = −m1 ÿ1 ,.............................cs1 y1 + . . . + css ys = −ms ÿs .Разрешим эту систему относительно обобщенных координат. Это можносделать, так как на основании теоремы Лагранжа – Дирихле потенциальнаяэнергия в устойчивом положении равновесия имеет минимум и квадратичная форма, которой она представлена, является определенно положительной. Следовательно, определитель матрицы обобщенных коэффициентовПОНЯТИЕ ОВИБРОЗАЩИТЕ.ДИНАМИЧЕСКИЙ ГАСИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ159жесткости, по критерию Сильвестра, строго больше нуля.

В результатеy1 = δ11 (−m1 ÿ1 ) + . . . + δ1s (−ms ÿs ),......................................ys = δs1 (−m1 ÿ1 ) + . . . + δss (−ms ÿs ),Нетрудно заметить, что перемещения yi пропорциональны силам инерции точечных масс. Коэффициенты δij называются коэффициентами влияния и определяют перемещения в точке с координатой x i , вызванногоединичной силой, приложенной в точке с координатой x j .Матрица коэффициентов влияния, как это видно из изложения, является обратной для матрицы обобщенных коэффициентов жесткости, а, следовательно, также является симметричной.

Этот результат выражает теоремуМаксвелла1 о взаимности перемещений.Перемещение в i-й точке от единичной силы, приложенной в j-й точке,равно перемещению в j-й точке от единичной силы, приложенной в i-йточкеδij = δji .Таким образом, для составления дифференциальных уравнений малыхколебаний упругих систем достаточно вычислить коэффициенты влияния,которые могут быть найдены методами сопротивления материалов.В частности, коэффициенты влияния при изгибе могут быть вычисленыс помощью интеграла Мора2 :ZlM iM jδij =dx,EJ0где M i , M j — изгибающие моменты, вызванные единичными силами p i = 1и pj = 1, E — модуль Юнга, J — момент инерции сечения балки.Или по формуле Верещагина3 «перемножения эпюр»:X Ωi Mj∗,δij =EJздесь Ωi — площадь части эпюры M i ; Mj∗ — ордината эпюры M j , соответствующая абсциссе центра тяжести Ωi .1 Максвелл Джеймс Клерк (13.06.1831–5.11.1879) — английский физик и механик, создательклассической электродинамики, организатор и первый директор Кавендишской лаборатории.Труды по теории света, оптике, термодинамике, теории упругости.

Член Лондонского и Эдинбургского королевских обществ.2 Мор Христиан Отто (8.10.1835–2.10.1918) — немецкий ученый в области строительноймеханики и сопротивления материалов. Один из основоположников графических методов.3 Верещагин А. Н., русский инженер.

В 1924 году, будучи студентом Московского институтаинженеров железнодорожного транспорта, предложил правило «перемножения эпюр».160ЛЕКЦИЯ 26Или с использованием дифференциального уравнения изогнутой осибалкиEJy 00 = M (x),где M (x) — изгибающий момент в сечении на расстоянии x от левого концабалки.Колебания упругой системы с двумя степенями свободыРассмотрим подробнее двухмассовую систему балочного типа с двумястепенями свободы. В этом случаеy1 = δ11 (−m1 ÿ1 ) + δ12 (−m2 ÿ2 ),y2 = δ21 (−m1 ÿ1 ) + δ22 (−m2 ÿ2 ).Далее считается, что коэффициенты влияния известны. Тогда решениеищется в видеy1 = A sin(kt + α), y2 = B sin(kt + α).Подстановка его в систему дифференциальных уравнений малых колебанийдает(m1 δ11 k 2 − 1)A + m2 δ12 k 2 B = 0,m1 δ21 k 2 A + (m2 δ22 k 2 − 1)B = 0.Эта система однородных алгебраических уравнений относительно величин A и B имеет нетривиальное решение, если определитель системыравен нулю(m1 δ11 k 2 − 1)m2 δ12 k 2 =0 m1 δ21 k 2(m2 δ22 k 2 − 1)или2)m1 m2 − k 2 (m1 δ11 + m2 δ22 ) + 1 = 0.k 4 (δ11 δ22 − δ12Полученное уравнение частот имеет два положительных корня k 12 и k22 ,которым соответствует два решения:y1 = A1 sin(k1 t + α1 ) + A2 sin(k2 t + α2 ),y2 = B1 sin(k1 t + α1 ) + B2 sin(k2 t + α2 ).Решение дифференциальных уравнений малых колебаний упругой системы с двумя степенями свободы находится как сумма двух главных колебаний.

При этом амплитуды главных колебаний связаны между собойследующим образом через коэффициенты формы:Bm δ k2 − 1µi = i = − 1 11 2 .Aim2 δ12 kПОНЯТИЕ ОВИБРОЗАЩИТЕ.ДИНАМИЧЕСКИЙ ГАСИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ161В итоге уравнения движения двух точечных масс на упругой балкеимеют видy1 = A1 sin(k1 t + α1 ) + A2 sin(k2 t + α2 ),y2 = µ1 A1 sin(k1 t + α1 ) + µ2 A2 sin(k2 t + α2 ).Амплитуды A1 и A2 и начальные фазы α1 и α2 определяются из начальных условий, путем выбора которых можно добиться, чтобы упругаясистема совершала либо первое, либо второе главные колебания.

В общемслучае решение находится как сумма двух независимых главных колебаний.Вынужденные колебания упругих систем с двумястепенями свободыРассмотрим упругую систему балочного типа, несущую две точечныемассы, в которой помимо консервативных сил действует некоторая возмущающая сила.В этом случае, очевидно, помимо сил инерции при составлении уравнений движения необходимо учесть и приложенную к балке возмущающуюсилу. Тогда с использованием коэффициентов влияния имеемy1 = δ11 (−m1 ÿ1 ) + δ12 (−m2 ÿ2 ) + δ11 P1 (t),y2 = δ21 (−m1 ÿ1 ) + δ22 (−m2 ÿ2 ) + δ21 P1 (t).Рассмотрим случай, когда возмущающая сила периодически изменяется с течением времени по гармоническому законуP1 (t) = H sin pt.Как известно, общее решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений складывается из двух решений:y1 = y1∗ + y1∗∗ ,y2 = y2∗ + y2∗∗ ,162ЛЕКЦИЯ 26где y1∗ и y2∗ — общее решение системы однородных дифференциальныхуравнений, метод решения которых изложен выше; y 1∗∗ и y2∗∗ — частноерешение системы неоднородных дифференциальных уравнений.С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное решение ищется в видеy1∗∗ = C1 sin pt,(m1 δ11 p2 − 1)C1 + m2 δ12 p2 C2 = −δ11 H,m1 δ21 p2 C1 + (m2 δ22 p2 − 1)C2 = −δ21 H.Решая эту систему по правилу Крамера, получимгде∆1,∆C2 =∆2,∆(m1 δ11 p2 − 1)m2 δ12 p2 ∆=,m1 δ21 p2(m2 δ22 p2 − 1)−δ Hm2 δ12 p2 ,∆1 = 11−δ21 H (m2 δ22 p2 − 1)(m δ p2 − 1) −δ11 H .∆1 = 1 11 2m1 δ21 p−δ21 H Нетрудно заметить, что определитель системы для нахождения коэффициентов C1 и C2 обращается в ноль при совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственных колебаний k 1 или k2 , так какони определялись из условия ∆(k) = 0.

Таким образом, в случае колебанийупругой системы с двумя степенями свободы существуют две резонансныечастоты p1 = k1 и p2 = k2 .В приложении к изгибным колебаниям валов это означает, что существуют критические значения угловой скорости вращения вала, при которых возможен резонанс. Это происходит, когда имеет место статическаянеуравновешенность вала. При этом возникает периодически изменяющаяся возмущающая сила, частота которой совпадает с его угловой скоростью.Литература:[1, § 150];[4, п. 20.6–20.8, 20.12].Элементы теории удараy2∗∗ = C2 sin pt.Подстановка его в систему дифференциальных уравнений движения балкипозволяет найти коэффициенты C1 и C2 :C1 =ЛЕКЦИЯ 271.

Явление удара. Основные допущения при ударе.2. Основное уравнение теории удара.3. Общие теоремы динамики при ударе.4. Коэффициент восстановления при ударе.5. Удар о неподвижную поверхность.6. Удар двух тел.7. Теорема Карно (теорема об изменении кинетической энергии).8. Удар по вращающемуся телу. Определение импульсов ударных реакций.9. Центр удара.Явление удара. Основные допущения при удареВзаимодействие тел, при котором за малый промежуток времени скорости точек изменяются на конечную величину, называется ударом.Силы, возникающие при таком взаимодействии, называются ударными. Из теоремы об изменении количества движения материальной точкиследует, что импульс этих сил за время удара есть конечная величина. Импульс обычных (неударных) сил имеет тот же порядок малости, что и времяудара. Этот же порядок малости имеет и перемещение точки за время удара.В связи с этим, в теории удара принимают следующие основные допущения:1.

Скорости точек изменяются практически мгновенно на конечнуювеличину.2. Импульсами неударных сил пренебрегают.3. Точки системы за время удара не перемещаются.Основное уравнение теории удараПусть ~v — скорость точки до удара, ~u — скорость точки после удара.Применяя теорему об изменении количества движения материальной точки,находим:164ЛЕКЦИЯ 27ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИИзменение количества движения материальной точки за время удараравно сумме ударных импульсов, действующих на точкуnX~k — основное уравнение теории удара.Sm~u − m~v =k=1Общие теоремы динамики при удареТеорема об изменении количества движения при удареТеорема. Изменение количества движения механической системы завремя удара равно сумме внешних ударных импульсов, действующих наточки системы.nX~2 − Q~ e.~1 =QSkk=1ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Разделим ударные силы, действующие на каждую точку механическойсистемы, на внешние и внутренние.~ i — равнодействующие внешних и внутренних удар~e, SОбозначим Skkных импульсов, приложенных к каждой точке.~ke + S~ki , k = 1, 2, .

. . , n.mk ~uk − mk~vk = SПроводя суммирование по всем точкам системы, с учетом свойствавнутренних сил находим:nnnXXX~ e.Smk ~uk −mk~vk =kk=1Теорема доказана.k=1k=1Следствие. При действии на механическую систему лишь внутреннихударных импульсов количество движения системы не изменяется.Теорема об изменении кинетического моментамеханической системы при удареТеорема. Изменение кинетического момента механической системыотносительно любого неподвижного центра за время удара равно суммемоментов всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно этого же центра.n X~e .~ O1 =~ O2 − Km~O SKkk=1165УДАРАДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Как и при доказательстве предыдущей теоремы:~ke + S~ki ,mk ~uk − mk ~vk = Sk = 1, 2, . . .

, n.Так как положение точки за время удара неизменяется, то~ke + ~rk × S~ki .~rk × mk ~uk − ~rk × mk~vk = ~rk × SСуммируем по всем точкам системы, с учетом свойства внутреннихсил находим:nXk=1~rk × mk ~uk −Теорема доказана.nXk=1~rk × mk ~vk =nXk=1~e.~rk × SkСледствие. Внутренние ударные импульсы не влияют на изменениекинетического момента системы.Теорема об изменении кинетического момента может быть записанаи в скалярной форме.Теорема. Изменение кинетического момента механической системыотносительно неподвижной оси за время удара равно сумме моментов всехвнешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно той же осиn X~e .Kz2 − Kz1 =mz Skk=1Коэффициент восстановления при удареИмпульсы ударных сил зависят не только от масс и скоростей, но и отсвойств соударяющихся тел.Рассмотрим падение шара на неподвижную плиту.