Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 21

При этом S — импульс реакции за время удара.Разделим удар на две фазы:1. От соприкосновения шара с плоскостью до его полной остановки.Кинетическая энергия шара переходит при этом в потенциальную энергиюупругой деформации T0 → Π, частично теряясь на необратимое изменениеего формы, и рассеиваясь в виде тепла.166ЛЕКЦИЯ 272. Скорость меняет направление и величину от 0до u. При этом накопленная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию Π → T1 (T1 < T0 ).Величина, равная отношению скорости точки после удара к ее скорости до удара, называется коэффициентом восстановления при ударе о неподвижнуюплитуk=uv , 0 < k < 1.Если k = 1, то удар абсолютно упругий (u = v), если k = 0, то ударабсолютно неупругий (u = 0). В зависимости от материала соударяющихсятел коэффициент восстановления имеет различные значения.МатериалkДерево о дерево 1/2Сталь о сталь5/9Стекло о стекло 15/16Коэффициент восстановления при ударе можно определить экспериментально.Шар из испытуемого материала падает с высоты H без начальной скорости.√Скоростьшара в начале удара v = 2gH.

В конце уда√ра u = 2gh, где h — высота,rна которую шар подниметсяh.после удара. Тогда k = uv =HОсновными задачами теории удара является определение скоростей точек после удара и величин ударных импульсов. Рассмотрим некоторые примеры.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИТогдаu = kv,S = m(k + 1)v.167Ударный импульс достигает максимального значения в случае абсолютно упругого удара и минимального в случае абсолютно неупругого.Косой удар о гладкую неподвижную поверхностьДано: m, ~v , k.Найти: u, S.Из основного уравнения теории удара в проекциях на нормаль и касательную mun − mvn = S,muτ − mvτ = 0. Так какk=|un ||vn |и un = u cos β,vn = −v cos α,Тогда u = vpuτ = u sin β,vτ = v sin α.sin2 α + k 2 cos2 α, S = m(k + 1)v cos α.Кроме того, k =tg α, где α — угол падения, β — угол отражения.tg βУдар двух телРассмотрим прямой центральный удардвух тел (шаров), движущихся поступательно.Дано: m1 , m2 , ~v1 , ~v2 , k.Найти: u1 , u2 , S.v1 > v 2 .Так как отсутствуют внешние ударные импульсы, для системы двухтел количество движения системы не изменяетсяm 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u1 + m 2 u2 .Удар о неподвижную поверхностьПрямой удар о неподвижную поверхностьДано: m, ~v , k.Найти: u, S.Из основного уравнения теории удара в проекциина нормаль mun − mvn = S.|un |un = u, vn = −v, k =.|vn |УДАРАКроме того,k=u2 − u 1.v1 − v 2Решая полученную систему уравнений, находим:m2(v − v1 ),m1 + m 2 2m1u2 = v2 + (1 + k)(v − v2 ).m1 + m 2 1u1 = v1 + (1 + k)168ЛЕКЦИЯ 27ТЕОРЕМА КАРНО (ТЕОРЕМА ОБДля определения ударного импульса запишем теорему об измененииколичества движения за время удара для одного из телS = (1 + k)Рассмотрим дополнительное соотношение:(m1 + m2 )ux (m1 v1x + m2 v2x )T0 − T1 = 1 m1 v12x + 1 m2 v22x − 2+222(m1 + m2 )m1 m2(v − v2 ).m1 + m 2 1Нетрудно убедиться, что при абсолютно упругом ударе ударный импульс в два раза больше, чем при абсолютно неупругом.+ 1 (m1 + m2 )u2x = 1 m1 (v1x − ux )2 + 1 m2 (v2x − ux )2 .222Теорема доказана.В общем случае:Теорема Карно(теорема об изменении кинетической энергии)1Рассмотрим прямой центральный неупругий удар двух шаров массы m1 и m2 , ~v1 , ~v2 — скорости тел до удара, ~u1 = ~u2 = ~u — скоростьтел после удара; импульсы, действующие на систему, — внутренние.

В этомслучае имеет место теорема Карно.Теорема. При неупругом ударе механической системы потеря кинетической энергии равна кинетической энергии данной системы, если быона двигалась с потерянными скоростямиT0 − T1 = 1 m1 (v1x − ux )2 + 1 m2 (v2x − ux )2 .22ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.По теореме об изменении количества движения системыT0 − T 1 =Рассмотрим действие ударного импульса на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.Воспользуемся теоремой об изменении кинети~ илического момента K1z − K0z = mz (S),~Jz ω1 − Jz ω0 = mz (S).Откудаω1 = ω 0 +(ось Ox совпадает с направлением движения), т.

е.m1 v 1 x + m 2 v 2 x.m1 + m 2Кинетическая энергия до удара равна T0 = 1 m1 v12x + 1 m2 v22x , после21−k 1m1 (v1x − u1x )2 + 1 m2 (v2x − u2x )2 .21+k 2Удар по вращающемуся телу. Определение импульсовударных реакций(m1 + m2 )ux − (m1 v1x + m2 v2x ) = 0ux =169T0 − T1 = T0 − 2T1 + T1 ,m1 u1 − m1 v1 = −S.Откуда:ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ)2удара — T1 = 1 (m1 + m2 )u2x .21 Карно Лазар Никола Маргерит (13.05.1753–2.08.1823) — французский математик, механик, военный инженер, государственный деятель. Работы посвящены математическому анализу, геометрии и механике.~mz (S).JzПри действии ударного импульса на вращающееся тело угловая скорость изменяется на величину, равную отношению момента этого импульсаотносительно оси вращения к моменту инерции тела относительно той жеоси.Для определения импульсов ударных реакций в подшипниках введем подвижную систему координат, проведя плоскость Oyz через центр~1 −масс, и воспользуемся теоремами об изменении количества движения QnP~0 =~ e и об изменении кинетического момента K~ 1A − K~ 0A =−QSk=1k=nPk=1ЛЕКЦИЯ 27m~AТЕОРЕМА КАРНО (ТЕОРЕМА ОБ~ e .

При этом Q~ = m~vC , Qx = −mωa,Sk~A =Qy = Qz = 0; KKAy = −Jyz ω,170SAx = SAy = SAz = SBx = SBy = 0.В проекциях на оси координат:Q1x − Q0x =Q1y − Q0y =Q1z − Q0z =K1y − K0y =171Предположим, что такая точка существует. Тогда:ω~ , KAx = −Jxz ω,KAz = Jz ω.K1x − K0x =ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ)nXeSkx,k=1nXk=1nXeSky,eSkz,k=1nX~ e ),mx ( Skk=1nX~ke ),my ( SИз первых трех уравнений для определения импульсов реакций в подшипниках следует, что приложенный к телу импульс направлен по оси Oxи равенS = ma(ω1 − ω0 ).Обозначая расстояние от точки приложения ударного импульса до осивращения через h, из последнего уравнения находимJz (ω1 − ω0 ) = Sh,Если выбрать систему координат с началом в точке O на оси вращения и направлением оси Oy таким, чтобы она проходила через точкуприложения ударного импульса, то дополнительно должны выполнятьсяусловия Jxz = Jyz = 0, т. е.

ось Oz — главная ось инерции.В итоге, для того чтобы при действии ударного импульса на вращающееся тело в подшипниках не возникали ударные реакции, надо, чтобывыполнялись условия:1. Центр удара лежит в плоскости, проходящей через центр масс и осьk=1~K1z − K0z = mz (S). −ma(ω1 − ω0 ) = SAx + SBx + Sx ,0 = S Ay + S By + S y ,0 = S Az + S z ,~ −Jxz (ω1 − ω0 ) = −SBy AB + mx (S), −J (ω − ω ) = S AB + m (S),~yz10Bxy~Jz (ω1 − ω0 ) = mz (S).Эти шесть уравнений позволяют определить импульсы ударных реакций и угловую скорость после удара.Центр удараЦентр удара — точка вращающегося тела, при действии на которуюударного импульса не возникают ударные реакции.Jzоткуда h = ma.Jz.вращения на расстоянии h = ma2.

Ударный импульс направлен перпендикулярно этой плоскости.3. Ось вращения является главной для точки ее пересечения с плоскостью действия ударного импульса.В частности, центр удара вращающегося вокруг оси, проходящей черезконец, стержня длины l находится на расстоянии 2/3 от оси вращения.Литература:[1, § 151–157];[3, § 96–105];[4, п. 17.1–17.8].Литература[1] Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М: Высшая школа,1995.

416 с.[2] Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Ч. 1.М: Высшая школа, 1984. 343 с.[3] Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Ч. 2. М: Высшая школа,1984. 423 с.[4] Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики.СПб: «Лань», 1998. 736 с.Предметный указательАбсолютно твердое тело 10Амплитуда 79Антирезонанс 157Виброгаситель 157Виброзащита 157Гаситель колебаний динамический157Гироскоп 111— астатический 112— тяжелый 112— уравновешенный 112Главный вектор 25— момент 25Движение абсолютное 57— апериодическое 80— вращательное 53— мгновенно-поступательное 64— относительное 57— переносное 57— плоскопараллельное 61— поступательное 52— свободное 70— сложное 57— сферическое 66Декремент 80— логарифмический 80Демпфер 157Демпфирование 157Задача статически определимая 15Импульс силы за конечный промежуток времени 89— — элементарный 88Инварианты статики 35Инерциальная система отсчета 73Кинетический момент 86— — механической системы 87Колебания вынужденные 81— главные 155— затухающие 80— свободные 78Количество движения материальнойточки 86— — механической системы 86Конус трения 32Координаты обобщенные 130— циклические 138Коэффициент восстановления 166— динамичности 82— затухания 80— расстройки 82— трения качения 33— трения скольжения 32Коэффициенты жесткости обобщенные 148— инерции обобщенные 150— формы 155Линия узлов 67Мгновенный центр скоростей 63— — ускорений 65174ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬМеханическая система консервативная 91Момент количества движения главный 87— — материальной точки относительно центра 86Момент силы алгебраический 18— относительно оси 18— относительно центра 17Моменты инерции осевые 102— — центробежные 102Мощность 91Работа силы виртуальная 127— — на конечном перемещении 90— — элементарная 89Равнодействующая 10Реакции гироскопические 115Реакции связей 11Резонанс 81— голономная 124— идеальная 127— неголономная 124— нестационарная 125— неудерживающая 125— стационарная 125— удерживающая 125Сила 10— инерции кориолисова 75— — материальной точки 116— — переносная 75— потенциальная 91Силы внешние 84— внутренние 84— возмущающие 78— восстанавливающие 77— диссипативные 152— обобщенные 132— сопротивления 77— ударные 163Система сил 10— — плоская 27— — сходящихся 14— — уравновешенная 10— — эквивалентная 10Система механическая 84Скорости обобщенные 131Скорость абсолютная 57— алгебраическая 50— относительная 57— переносная 58— точки 47— угловая 54— — мгновенная 69Способ задания движения векторный 45— — естественный 46— — координатный 46Связи 11Связь 123Тело несвободное 11— свободное 11Оси инерции главные 103— — центральные 103Оси естественные 49Ось вращения 53— — мгновенная 68Пара сил 19Перемещение виртуальное 125— — механической системы 126— возможное 125Период 79Плечо пары 19— силы 17Положение равновесия механической системы устойчивое 145Прецессия 114— регулярная 114ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬТензор инерции 103Траектория 46Трение качения 33— скольжения 32Трехгранник естественный 50Углы Эйлера 66Удар 163Уравнение частот 155Ускорение Кориолиса 59— абсолютное 57— касательное 50— нормальное 50— относительное 57— переносное 58— точки 47— угловое 54Фаза начальная 79175Ферма 30Центр масс 85— параллельных сил 39— тяжести 40— удара 170Частота 79— круговая 79— циклическая 79Эллипсоид инерции 107Энергия кинетическая материальнойточки 87— механической системы 87Энергия потенциальная консервативной механической системы 92— материальной точки 92Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой илиэлектронной почтой:subscribe@rcd.ruВнимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через нашИнтернет-магазин:http://shop.rcd.ruКниги также можно приобрести:1.