Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 13

В матричном виде эта связь записывается выражением  Jx −Jxy −JxzKOxωxKOy  = −Jyx Jy −Jyz  ωy  .KOz−Jzx −JzyJzωzИли как линейное отображение (оператор) в трехмерном векторномпространстве:~O =ω~.Kсоответствует в фиксированном базисе (~i, ~j, ~k)Линейному операторуматрицаJx −Jxy −Jxz−Jyz  — тензор инерции.J = −Jyx Jy−Jzx −JzyJzМатрица J является симметричной и ее элементы определяются моментами инерции твердого тела, характеризующими распределение массотносительно фиксированной системы координат.Как известно, при изменении базиса (преобразовании системы координат) матрицу линейного преобразования можно привести к диагональномувидуJξ 0 0J 0 =  0 Jη 0  ,0 0 Jζгде Jξ , Jη , Jζ — собственные значения линейного операторанаходятся из уравненияdet(J − λE) = 0,nPk=1mk y k z k , ,Jzx =nPm k z k xkk=1— центробежные моменты инерции (Jxy = Jyx , Jyz = Jzy , Jzx = Jxz ).Тензор инерцииТогдаПрежде чем приступить к изучению других случаев движения твердоготела, рассмотрим некоторые дополнительные характеристики распределения масс.103ТВЕРДОГО ТЕЛА102, которыеE — единичная матрица.Соответствующие оси Oξ, Oη и Oζ называются главными осямиинерции твердого тела.

Если начало координат совпадает с центром масс,то они называются главными центральными осями инерции. Главнойосью инерции, кроме того, по определению называется ось координат, для104ЛЕКЦИЯ 18ДИНАМИКАкоторой центробежные моменты инерции, содержащие индекс этой оси,равны нулю. Например, если Jxz = Jyz = 0, то Oz — главная ось инерции.Если она проходит через центр масс, то ее называют главной центральнойосью инерции.

Из определения центробежных моментов инерции следует:ось симметрии однородного тела является главной для всех точек даннойоси; для точек, лежащих в плоскости материальной симметрии, главнойявляется ось, перпендикулярная этой плоскости. Для точек, лежащих наглавных центральных осях инерции тела, главные оси инерции параллельны главным центральным осям инерции.Для доказательства рассмотрим две системы координат,105ТВЕРДОГО ТЕЛАТаблица 1. Моменты инерции некоторых однородных тел, моделируемых простейшими геометрическими фигурами, относительно главных центральных осейJξJηJζml230ml23mR2mR22mR22mR22mR24mR24mb23ma23mh218ma26стерженькольцоk=1nX(xk − a)zk mk = Jxz − ak=1nXJy 0 z 0 =k=1yk0 zk0 mk =nXnXk=1zk mk = Jxz − azC m = 0,yk zk mk = Jyz = 0.k=1В определении моментов инерции использовалась модель абсолютнотвердого тела как совокупности конечного числа материальных точек, расстояние между которыми не изменяется.

В общем случае сплошного теласуммирование при соответствующем предельном переходе заменяется интегрированием по линии, поверхности или объему в зависимости от размерности рассматриваемой фигуры. Для некоторых тел соответствующиемоменты инерции относительно главных осей приведены в таблице.Одно и то же линейное преобразование в двух разных базисах имеетразные матрицы J 0 и J.

Используя традиционную нумерацию координатныхосей, обозначая через L = klij k = k~ei ·~e0j k ортогональную матрицу переходаот базиса (e01 , e02 , e03 ), соответствующего главным осям, к базису (e1 , e2 , e3 )m a2 + b 23x0k zk0 mk =nXпрямоугольникm 3a2 + h218Jx 0 z 0 =дискгде Cx, Cy, Cz — главные центральные оси инерции.Тогдатреугольникс произвольным расположением базисных векторов, имеемJ = LJ 0 L−1 ,L−1 = LT(в силу ортогональности обратная матрица совпадает с транспонированной).106ЛЕКЦИЯ 18ДИНАМИКАТаблица 1 (продолжение). Моменты инерции некоторых однородных тел, моделируемых простейшими геометрическими фигурами, относительно главных центральных осейmb24эллипсцилиндрm2m(a2 + b2 )4ma242R +l43m22R +l43В частности, момент инерции относительно произвольной оси Ox, составляющей углы α, β и γ с главными осями Oξ, Oη и Oζ, в соответствиис указанным правилом перехода от одного базиса к другому определитсяравенствомJx = Jξ cos2 α + Jη cos2 β + Jζ cos2 γ.Этому равенству можно дать геометрическую интерпретацию.Вдоль оси Ox отложим отрезокOM = √1 .

Координаты точки M равныJxmR22αξ = cos√ ,Jxcos βη= √ ,Jxcos γζ= √ .JxТогда Jξ ξ 2 +Jη η 2 +Jζ ζ 2 = 1 илиm c2 + a 2 5m a2 + b 2 5конус3m H 2 + 4R2803m H 2 + 4R280m b2 + c 2 5m a2 + b 2 3эллипсоидm c2 + a 2 3параллелепипедm b2 + c 2 33mR210Тогда связь между элементами матриц J 0 и J можно записать в видеJij =33 XX0lim ljn Jmn,m=1 n=1где lim =ми.0cos (Ox∧i Oxm )— косинусы углов между новыми и старыми ося-107ТВЕРДОГО ТЕЛАp −1ξ2η2ζ2+ 2 + 2 = 1, где a =Jξ,2abcp −1p −1Jη,c=Jζ.Геометрическим местом точек M является поверхность эллипсоида,называемого эллипсоидом инерции, с полуосями, обратными корням квадратным из соответствующих главных моментов инерции. Каждой точкетвердого тела можно сопоставить эллипсоид инерции.

По построению, длина отрезка, соединяющего данную точку с произвольной точкой поверхности эллипсоида, обратно пропорциональна корню квадратному из моментаинерции твердого тела относительно оси соответствующего направления.Вместе с массой эллипсоид инерции полностью определяет инертные свойства твердого тела. Связь между моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, дается следующей теоремой.Теорема Гюйгенса – Штейнера. Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела наквадрат расстояния между осямиJz0 = JzC + ma2 ,где a — расстояние между осями.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Действительно:nnX Xmk x0k 2 + yk0 2 =mk (xk + ax )2 + (yk + ay )2 =Jz 0 =b==nXk=1k=1mk x2k+yk2+ 2axnXk=1k=1mk xk + 2aynXk=1mk y k +nXk=1mk a2x + a2y ,108ЛЕКЦИЯ 18здесь xk , yk — координаты точек в системе координат Cxyz, с началом в0 0 0центре масс и осями, параллельными исходной системы координатq Ox y z ,−−→{ax , ay } — проекции вектора OC на соответствующие оси, a = a2x + a2y —расстояние между осями Oz и Oz 0 .ДИНАМИКА109ТВЕРДОГО ТЕЛА~ O в подвижной системе координат, жестко связанной с твердымвектора Kтелом, (относительное движение) и его поворота с угловой скоростью ω~по отношению к неподвижной системе координат (переносное движение).Тогда по теореме сложения скоростей!~O~OdKdK~ O,+ω~ ×K=dtdt ~ ~ ~i,j,k=constгде ~i, ~j, ~k — орты подвижной системы координат.Подставляя это выражение в теорему об изменении кинетического мо-По определению центра массnXm k xk =k=1ТогдаJz 0 =nXmk (x2k + yk2 ) +k=1Теорема доказана.nXmk yk = 0.k=1nXmk (a2x + a2y ) = JzC + ma2 .k=1Динамика вращательного и сферического движениятвердого телаДля получения дифференциальных уравнений вращательного и сферического движения твердого тела воспользуемся теоремой об изменениикинетического момента~OdK~ Oe .=MdtЛевую часть этого равенства можно рассматривать как абсолютную~ O .

Движение этой точскорость точки, совпадающей с концом вектора Kки можно рассматривать как сложное. Оно происходит за счет изменения~OdK~ e и проектируя на оси подвижной системы координат,мента= MOdtнаходимdKOxe,+ (ωy KOz − ωz KOy ) = MOxdtdKOye,+ (ωz KOx − ωx KOz ) = MOydtdKOze.+ (ωx KOy − ωy KOx ) = MOzdtПри вращательном движении твердого тела (например, вокруг оси Oz)направление вектора угловой скорости остается постоянным (ω x = ωy = 0).В этом случае имеемdωzdωdωeee, −Jyz z − Jxz ωz2 = MOy, Jz z = MOz.+ Jyz ωz2 = MOxdtdtdtПоследнее равенство позволяет получить дифференциальное уравнение вращательного движения−JxzeJz ϕ̈ = MOz,ϕ — угол поворота тела.Первые два могут быть использованы для определения динамическихреакций подшипников, когда ось вращения не является главной осью инерции (динамическая неуравновешенность).Динамические уравнения Эйлера.

(Дифференциальныеуравнения сферического движения твердого тела)В случае сферического движения, если в качестве подвижных осейвзять главные оси инерции тела и ввести обозначенияp = ωξ ,q = ωη ,r = ωζ ;A = Jξ ,B = Jη ,C = Jζ ,110ЛЕКЦИЯ 18тоdpA − qr(B − C) = Mξe ,dtdqB− rp(C − A) = Mηe ,dtC dr − pq(A − B) = Mζe .dtЭти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера. Онидопускают аналитическое интегрирование при произвольных начальныхусловиях движения в трех случаях.1. Случай Эйлера – Пуансо. Центр масс тела произвольной формы совпадает с неподвижной точкой.

Движение тела происходит по инерции.2. Случай Лагранжа1 – Пуассона2 . Эллипсоидом инерции для неподвижной точки является эллипсоид вращения A = B 6= C и центр масслежит на оси вращения эллипсоида инерции. (Симметричный волчок.)3. Случай Ковалевской3 . Эллипсоид инерции для неподвижной точкиесть вытянутый эллипсоид вращения при A = B = 2C. Центр масс телалежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. (Асимметричныйволчок.)Уместно отметить, что кинетический момент относительно неподвижной точки и кинетическая энергия твердого тела при сферическом движенииопределяются выражениями:qp2 + K2 + K2 =A 2 p2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 ,KO = KOξOηOζT =JΩ ω 2=21 (J cos2 αω 2 + J cos2 βω 2 + J cos2 γω 2 ) = 1 (Ap2 + Bq 2 + Cr2 ).ηζ2 ξ21 Лагранж Жозеф Луи (25.01.1736–10.06.1813) — французский математик и механик, членФранцузской АН, член и президент Берлинской АН.

Труды по вариационному исчислению,математическому анализу, теории чисел, алгебре и дифференциальным уравнениям. Написалтрактат «Аналитическая механика».2 Пуассон Симеон Дени (21.06.1781-25.04.1840) — французский математик и механик, членинститута Франции, почетный член Петербургской АН. Работы посвящены теории рядов Фурье, теории неопределенных интегралов, вариационному исчислению, теории вероятностей,математической физике, теоретической механике.

Написал «Курс механики».3 Ковалевская Софья Васильевна (15.01.1850–10.02.1891) — русский математик и механик, чл.-кор. Петербургской АН. Доктор философии Геттингенского университета. ПрофессорСтокгольмского университета. Исследования относятся к динамике, математической физике,небесной механике, теории дифференциальных уравнений; наиболее важные — к теории вращения твердого тела. Автор литературных произведений.ДИНАМИКАТВЕРДОГО ТЕЛА111В случае Эйлера – Пуансо два интеграла движения находятся непосредственно из законов сохранения кинетического момента и энергииA2 p2 + B 2 q 2 + C 2 r2 = const,Ap2 + Bq 2 + Cr2 = const.Дифференциальные уравнения свободного движениятвердого телаДифференциальные уравнения свободного движения твердого теланетрудно получить, если рассмотреть движение тела как сложное, принимаяза переносное движение поступательное с центром масс, а за относительное — сферическое движение вокруг центра масс.