Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 11

е. S = F~ dt.t1Если на точку действуют несколько сил, то можно показать, что импульс равнодействующей этих сил равен сумме импульсов составляющихсил.Элементарная работа силы — скалярная мера действия силы на элементарном перемещении d~r точки ее приложения, определяемая скалярнымпроизведением dA = F~ · d~r.Возможны другие формы записи элементарной работы силы:dA = Fx dx + Fy dy + Fz dz; dA = F~ d~r cos α, где α — угол между силой и направлением элементарного перемещения; dA = Fτ ds, где Fτ — проекция силы на направлениескорости точки приложения силы или на направление элементарного перемещения;dA = F~ · ~v dt, где ~v — скорость точки приложения силы.В случае силы, приложенной к свободному твердому телу,dA = F~ · (~vO + ω~ × ~r) dt,~ — угловая скорость тела,где ~vO — скорость полюса, ω~r — радиус-вектор, проведенный из полюса O в точкуприложения силы.

С учетом свойств смешанного произведения~ dt илиdA = F~ · ~vO dt + (~r × F~ ) · ωdA = F~ · ~vO dt + m~ O (F~ ) · ω~ dt.В случае вращательного движения, так как ω~ =Меры действия силЭлементарный импульс силы — векторная мера действия силы за~ = F~ dt.элементарный промежуток времени dt: dS1 ГюйгенсХристиан (14.06.1629–8.07.1695) — голландский ученый, член Лондонского королевского общества, Французской АН, ее первый президент. Труды по механике, физике,математике и астрономии.2 Штейнер Якоб (18.03.1796–1.04.1863) — немецкий математик, член Берлинской АН.Основные исследования относятся к проективной геометрии.3 Кениг Иоганн Самуэль (1712–21.08.1757) — швейцарский математик и механик, чл.-кор.Французской АН, член Берлинской АН, Лондонского королевского общества, ГеттингенскойАН.

Основное направление исследований — динамика.dϕ ~k, то=dtdA = m~ O (F~ ) · ~k dϕ = mz (F~ ) dϕ.Суммарная элементарная работа пары сил {F~ , F~ 0 } с моментом m,~ приложенной к твердому телу, определяется равенствомdA = m~ ·ω~ dt.Действительно, с учетом теоремы о сумме моментов сил, составляющихпару,~ O (F~ ) + F~ 0 · ~vO + m~ O (F~ 0 ) · ω~ dt = m~ ·ω~ dt.dA(F~ ) + dA(F~ 0 ) = F~ · ~vO + m90ЛЕКЦИЯ 16A12 =ZA12 =Работа силы на конечном перемещении равна сумме элементарных работ силына этом перемещенииZdA,M1 M2ZВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУFτ ds илиA12 =M1 M2Fx dx + Fy dy + Fz dz.M1 M2Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, при повороте наконечный угол ϕ определяется интеграломZϕ~A12 (F ) = mz (F~ ) dϕ.0ПРИМЕР 1.

Вычисление работы силы тяжести.Проекции силы тяжести:Px = Py = 0, Pz = −mg;ZPx dx + Py dy + Pz dz,A12 =M1 M2Zz2A12 =z1A12A12 = −cZA12 = ±mgh.Знак «+», если точка приложения силы тяжести опускается. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории.ПРИМЕР 2. Вычисление работы линейнойцентральной силы.Центральная сила F~ = −c~r имеет проекции на оси координат: Fx = −cx, Fy = −cy,FZz = −cz.

Тогда=Fx dx + Fy dy + Fz dz иM1 M2x dx + y dy + z dz = −cM1 M2= −c2ZM1 M2−mg dz = mg(z1 − z2 ),d(x2 + y 2 + z 2 ) = − c2ZZdx2 + y 2 + z 2=2M1 M2M1 M2dr2 = − c (r22 − r12 ).2МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ91В частности, для работы силы упругости пружины имеем A 12 == − c (λ22 − λ21 ), где λ1 , λ2 — деформации пружины в первом и во втором2положении.Работа линейной центральной силы и работа силы упругости также независят от формы траектории.Из свойства криволинейных интегралов следует, что работа равнодействующей равна сумме работ составляющих сил. Сумма работ внутреннихсил в абсолютно твердом теле равна нулю, так как расстояния между точками попарно присутствующих сил взаимодействия не изменяются.Мощностью (обозначается N ) называется величина, измеряемая отношением элементарной работы силы к элементарному промежутку времениее совершенияN = dA .dtМощность силы~N = F · d~r = F~ · ~v .dtВ случае силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, — черезугловую скорость его вращения~N =m~ O (F~ ) · ωилиN =m~ z (F~ ) · ω~.Мощность пары сил с моментом m,~ приложенной к твердому телу,определяется равенствомN =m~ ·ω~.Консервативные системыКонсервативной называется механическая система, в которой действуют только потенциальные силы.

Потенциальной называется сила, работакоторой не зависит от траектории перемещения точки ее приложения (работа силы на замкнутом контуре равна нулю) или, то же самое, элементарнаяработа силы есть полный дифференциал некоторой функции от координатточки ее приложения. Примерами потенциальных сил служат сила тяжестии сила упругости.По определению полного дифференциала, элементарная работа потенциальной силы может быть выражена через функцию координат точки ееприложения Π(x, y, z) соотношением∂Π∂Π∂Πdx +dy +dz = −dΠ.dA = −∂x∂y∂z92ЛЕКЦИЯ 16Т.

е. для проекций потенциальной силы на оси координат имеем:Fx = − ∂Π ,∂xFy = − ∂Π ,∂yFz = − ∂Π .∂zФункция Π(x, y, z), определяющая таким образом силу, действующуюна материальную точку, называется потенциальной энергией материальной точки в данном ее положении.Как следует из определения, потенциальная энергия материальной точки в положении M2 , принимаемом за произвольное, определяется интегрированиемZdA.Π =−M1 M2После интегрирования: Π = −A12 + const или Π = A21 + const.Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого. Принимая значение этого постоянного слагаемого равным нулю(это эквивалентно предположению о равенстве нулю значения потенциальной энергии в точке M1 ), находим, что потенциальная энергия в точке M 2находится как работа потенциальной силы при перемещении точки ее приложения из точки M2 в точку M1 .Потенциальная энергия консервативной механической системы —это функция координат материальных точек системы Π(x 1 , y1 , z1 , .

. . , xk ,yk , zk , . . . , xn , yn , zn ), определяющая силы, действующие на эти точки, соотношениями:ЛЕКЦИЯ 17Общие теоремы динамики1. Теорема об изменении количества движения.2. Динамика точки переменной массы.3. Теорема Эйлера.4. Теорема об изменении момента количества движения.5. Теорема об изменении кинетической энергии.Теорема об изменении количества движенияТеорема. Производная по времени от количества движения механической системы равна сумме всех внешних сил, действующих на систему.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Из теоремы о движении центра массm~aC =nXk=1Fkx= − ∂Π ,∂xkFky= − ∂Π ,∂ykFkz= − ∂Π∂zk(k = 1, .

. . , n).Потенциальная энергия консервативной механической системы в данном ее положении равна работе, которую произведут все действующие насистему силы, при перемещении системы из этого положения в то, гдепотенциальная энергия условно принимается равной нулю (Π = 0).Литература:[1, § 83, 87, 88, 100 ,106–109, 115, 121, 122];[3, § 31, 42–47, 53, 55];[4, п. 3.1–3.3, 3.5, 8.1, 8.3, 9.1, 10.1].d~vF~ke ⇒ m C =dtnXk=1nnXX~dQdm~vCF~ke ⇒F~ke ⇒F~ke .==dtdtk=1k=1Теорема доказана.Теорема (в интегральной форме). Изменение количества движениямеханической системы за какой-либо промежуток времени равно суммевсех импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.В результате интегрирования полученного дифференциального уравнения находим:~ =dQnXk=1F~ke dt ⇒Теорема доказана.ZQ2Q1n ZXt2~ =dQk=1 t1~2 − Q~1 =F~ke dt ⇒ QnXk=1~ke .S94ЛЕКЦИЯ 17ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИСледствия.1.

Внутренние силы, действующие между точками механической системы, не влияют на изменение количества движения системы.2. Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы не изменяется (закон сохранения количества движения).3. Если проекция главного вектора внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту осьпостоянна.Теорема об изменении количества движения применяется для исследования движения тел переменной массы и сплошных сред, а также в изученииявления удара.~ = ~vr dm — реактивная сила, dm — скорость изменения массы.

Есгде ΦДинамика точки переменной массыРассмотрим движение материальной точкис массой m(t), являющейся функцией времени.Точка массы m движется с абсолютнойскоростью ~v . В некоторый момент времени tк точке присоединяется частица массы dm, которая двигалась со скоростью ~u.Рассмотрим момент времени t + dt, масса точки в этот момент времени m + dm, скорость ~v + d~v .Для исследования движения точки воспользуемся теоремой об изменении количествадвижения~dQ~ — приращение количе= F~ .