Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 9

Исследования по статике, динамике и механике материалов.2 Ньютон Исаак (4.01.1643–31.03.1727) — английский математик, физик, механик, астроном, основоположник современной механики, член и президент Лондонского королевскогообщества, иностранный член Парижской АН. Открыл закон всемирного тяготения, создалтеоретические основы механики и астрономии, разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Также работы по теоретической и экспериментальной оптике, по геометриии алгебре.733.

Закон равенства действия и противодействия.Два тела действуют друг на друга с силами, равными по величинеи направленными в противоположные стороны.4. Закон независимости действия сил.Материальная точка при действии на нее системы сил приобретаетускорение, равное сумме ускорений, возникающих от действия каждой силыв отдельности.~a = ~a1 + ~a2 + . .

. + ~an , где m~ak = F~k .ОткудаnPF~k .m~a =k=1Инерциальные системы отсчетаСистема отсчета, в которой выполняются первый и второй законы динамики, называется инерциальной системой отсчета. Инерциальность тойили иной системы отсчета может быть проверена только опытным путем.Для большинства технических задач за такую систему можно взятьсистему координат, связанную с Землей.Основные задачи динамикиПервая задача динамики.Определение сил, действующих на материальную точку, если известнамасса точки и закон ее движения.Вторая задача динамики.Определение закона движения материальной точки при известной массе и силах, действующих на точку.Примером решения первой и второй задач динамики служит аналитический вывод Ньютона силы всемирного тяготения из законов движенияпланет Кеплера1 и решение обратной задачи — получение законов Кеплерапри известной силе всемирного тяготения.Дифференциальные уравнения движенияматериальной точкиВоспользуемся основным уравнением динамикиm~a = F~ .1 Кеплер Иоганн (27.12.1571–15.11.1630) — немецкий астроном, математик и механик.

Вывел два первых закона движения планет. Положил начало небесной механике.74ЛЕКЦИЯ 14Из закона независимости действия сил:F~ =nXF~k — равнодействующая всех сил.k=1В общем случае силы, действующие на точку, являются переменными.Тогда в проекциях на оси декартовой системы координат можно записать:mẍ = Fx (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż) ,mÿ = Fy (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż) ,mz̈ = Fz (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż) .Эти уравнения содержат производные координат и образуют систему дифференциальных уравнений движения материальной точки.Общее решение этих уравнений содержит шесть произвольных постоянных:x = x (t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ) ,y = y (t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ) ,z = z (t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ) .Произвольные постоянные находятся из начальных условий:xt=0 = x0 , ẋt=0 = ẋ0 ,y t=0 = y0 , ẏ t=0 = ẏ0 ,z t=0 = z0 , ż t=0 = ż0 .Если точка движется по известной траектории, то основное уравнение динамики удобно записать в проекциях на оси естественной системыкоординат.

В этом случае:ms̈ = Fτ (t, s, ṡ) ,2m ṡρ = Fn (t, s, ṡ) ,ЗАКОНЫ ГАЛИЛЕЯ – НЬЮТОНА75Уравнения относительного движенияПолучим уравнения движения материальной точки в неинерциальнойсистеме отсчета. Для этого воспользуемся теорией сложного движения точки, рассматривая ее движение одновременно в двух системах координат —основной O 0 x0 y 0 z 0 (инерциальная система отсчета) и подвижной Oxyz.Пусть F~ — равнодействующая сил,действующих на точку M .В инерциальной системе отсчета:m~a = F~ .Воспользуемся выражением для абсолютного ускорения точки (теорема Кориолиса): ~a = ~ar + ~ae + ~ac .

Тогдаm ~ar + ~ae + ~ac = F~ , или m~ar = F~ −− m~ae − m~ac .Величины m~ae и m~ac имеют размерность силы. Вводя обозначения:~ c = −m~ac — кориолисова~ e = −m~ae — переносная сила инерции, ΦΦсила инерции, получаем~e + Φ~ c — основное уравнение динамики~ar = F~ + Φотносительного движения.Уравнение движения в подвижной системе координат не совпадает сосновным уравнением динамики, следовательно, соответствующая системаотсчета не является инерциальной.Итак, чтобы получить уравнение движения точки в неинерциальнойсистеме отсчета, необходимо добавить переносную и кориолисову силыинерции.Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки имеют вид:0 = Fb (t, s, ṡ) .Правые части этих уравнений содержат неизвестные силы реакций связей, так как движущаяся точка несвободна.

Исследование движения предполагает одновременное решение первой и второй задач динамики при следующих начальных условиях:st=0 = s0 , ṡt=0 = ṡ0 .mẍ = Fx + Φex + Φcx ,mÿ = Fy + Φey + Φcy ,mz̈ = Fz + Φez + Φcz .Если подвижная система координат движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то переносная и кориолисова силы инерции равны76ЛЕКЦИЯ 14нулю и относительное движение описывается основным уравнением динамики. Это выражает принцип относительности классической механики, заключающийся в том, что уравнения движения не зависят от того, относитьли их к неподвижным осям или подвижным, перемещающимся поступательно, равномерно и прямолинейно.Литература:[1, §74, 77–80, 91];[3, §1, 10, 26];[4, п.

1.1–1.7, 6.1, 6.3].ЛЕКЦИЯ 15Прямолинейные колебанияматериальной точки1. Классификация сил.2. Свободные колебания.3. Вынужденные колебания без сопротивления. Резонанс.4. Влияние сопротивления на вынужденные колебания.Классификация силКолебание — это движение, обладающее той или иной степенью повторяемости во времени. Необходимым условием возникновения колебанийматериальной точки является наличие положения равновесия и силы, стремящейся вернуть точку в положение равновесия. В качестве примера рассмотрим простейший случай прямолинейных колебаний.

Ось Ox совместимс линией движения, а начало координат поместим в положение равновесия.Введем следующую классификацию сил, действующих на материальнуюточку при колебаниях.Восстанавливающие силы.Силы, которые стремятся вернуть точку в положение равновесия.В дальнейшем рассматриваем случай, имеющий большое практическое значение, когда восстанавливающие силы пропорциональны отклонению точкиот положения равновесия F~ = −c~r, где c — коэффициент пропорциональности.

В проекции на ось Ox: Fx = −cx.Силы сопротивления.Силы, препятствующие движению материальной точки. Рассмотримсилы сопротивления, пропорциональные скорости. Они возникают при дви~ =жении тел с небольшими скоростями в вязких жидкостях или газах, т. е. R= −b~v, где b — коэффициент сопротивления. В проекции на ось Ox: R x == −bẋ.78ЛЕКЦИЯ 15ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИВозмущающие силы.Силы, зависящие от времени.

Наибольший интерес представляют возмущающие силы, которые изменяются с течением времени по периодическому закону: Qx = H sin pt, где H — амплитуда возмущающей силы, p —частота возмущающей силы.Составим дифференциальное уравнение движения материальной точкипод действием восстанавливающей силы, силы сопротивления и возмущающей силы:Дифференцируя данное решение по времени, получим второе уравнениедля определения постоянных интегрированияmẍ = Fx + Rx + Qxилиmẍ = −cx − bẋ + H sin pt.После тождественных преобразований получаемẍ + 2nẋ + k 2 x = h sin pt — дифференциальное уравнениепрямолинейных колебанийматериальной точки.С начальными условиями: xt=0 = x0 , ẋt=0 = ẋ0 .b характеризует силу сопротивления среды,В данном уравнении 2n = mc характеризует действие восстаприходящуюся на единицу массы, k 2 = mнавливающей силы, приходящейся на единицу массы, h = Hm характеризуетдействие возмущающей силы.Свободные колебанияСвободными называются колебания при отсутствии возмущающихсил (h = 0).Рассмотрим движение точки в среде без сопротивления (n = 0).ẍ + k 2 x = 0 — дифференциальное уравнениегармонических свободных колебаний.Для интегрирования этого линейного однородного дифференциальногоуравнения с постоянными коэффициентами составим характеристическоеуравнениеr2 + k 2 = 0, его корни r1,2 = ±ki.Так как корни мнимые, общее решение дифференциального уравненияимеет вид:x = C1 cos kt + C2 sin kt.79ẋ = −C1 k sin kt + C2 k cos kt.С учетом начальных условий: xt=0 = x0 , ẋt=0 = ẋ0 имеемC1 = x 0 ,C2 =ẋ0.kРассмотрим другой вид записи общего решения, для чего введем следующую подстановку:C1 = A sin α, C2 = A cos α,тогдаx = A sin(kt + α).Свободные прямолинейные колебания материальной точки происходятпо гармоническому закону («по закону синуса»).

При этом:A — амплитуда колебаний,α — начальная фаза колебаний,qc — циклическая или круговая частота свободных колебаний,k= mT = 2π — период свободных колебаний,k1ν = — частота колебаний (количество колебаний за одну секунду).TЧастота и период свободных колебаний не зависят от начальных условий движения.Рассмотрим движение точки в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием линейной восстанавливающей силы (h == 0). В этом случаеẍ + 2nẋ + k 2 x = 0 — дифференциальное уравнениезатухающих колебаний.Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению, имеет вид:pr2 + 2nr + k 2 = 0, его корни r1,2 = −n ± n2 − k 2 .80ЛЕКЦИЯ 15ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИЕсли n < k (случай малого сопротивления), то корни комплексныеи общее решение дифференциального уравнения имеет вид:ppx = e−nt C1 cos k 2 − n2 t + C2 sin k 2 − n2 t ,или в амплитудной форме:x = Ae−ntsinpk2−n2 tПри n = k имеем равные действительные корни.

В этом случаеx = e−nt (C1 t + C2 ).Вынужденные колебания без сопротивления. РезонансРассмотрим случай, когда n = 0, т. е. точка движется в среде без сопротивления.+α .Множитель e−nt указывает на то, что амплитуда колебаний с течениемвремени уменьшается. Такие колебания называются затухающими.Период затухающих колебаний= r 2π=r T,T1 = √ 2π22k 2 − n2nnk 1− 21− 2k81kгде T — период свободных колебаний без сопротивления. Если n k, тосопротивление не влияет в значительной степени на период колебаний.Рассмотрим влияние сопротивления на изменение амплитуды колебаний. В некоторый момент времени t = t1 :pk 2 − n 2 t1 + α ;x1 (t1 ) = Ae−nt1 sinчерез промежуток времени, равный периодуppx2 (t1 + T1 ) = Ae−n(t1 +T1 ) sink 2 − n 2 t 1 + k 2 − n 2 T1 + α =pk 2 − n2 t1 + α = e−nT1 x1 (t1 ).= e−nT1 Ae−nt1 sinАмплитуда затухающих колебаний уменьшается по закону геометрической прогрессии со знаменателем q = e−nT1 , который называется декрементом затухающих колебаний.

Натуральный логарифм декремента —|ln q| = nT1 называется логарифмическим декрементом. Коэффициент nназывают коэффициентом затухания.Движение материальной точки теряет колебательный характер (становится апериодическим) в случае большого сопротивления при n > k. Если n > k, то корни характеристического уравнения действительные и общеерешение имеет вид:√√2222x = e−nt C1 e n −k t + C2 e− n −k t .ẍ + k 2 x = h sin pt — дифференциальное уравнениевынужденных колебаний.Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения находится как сумма общего решения x∗ = A sin(kt + α) однородного уравнения (собственные колебания точки) и частного решения x ∗∗ ==hsin pt неоднородного уравнения (вынужденные колебания точk 2 − p2ки). Тогдаhsin pt.k 2 − p2При p = k вынужденные колебания определяются равенством: x ∗∗ =x = A sin(kt + α) += − h t cos kt.