Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005) (1244967), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Шаровой сектор.Рассмотрим однородный шаровой сектор радиуса R с углом α междуобразующей и осью симметрии.Поместим начало координат в центр шара и направим ось z по осисимметрии. Из соображений симметрии xC = 0, yC = 0.44ЛЕКЦИЯ 7скиКоординату zC определяем аналитичеZZZ1zC =z dV.VЛЕКЦИЯ 8(V )Переходя к сферическим координатам (z == r cos θ, dV = r 2 sin θ dϕ dθ dr), находимzC = 1VZ2πdϕ0Zα0dθZRr3 cos θ sin θ dr,0V = 2 πR3 (1 − cos α).3гдеОткудаzC = 3 R(1 + cos α).8В частности, для центра тяжести полушараzC = 3 R.8Литература:[1, § 31–35];[2, § 53–60];[4, п.
8.1–8.4].Кинематика точки1. Задачи кинематики точки.2. Способы задания движения точки в заданной системе отсчета.3. Скорость точки.4. Ускорение точки.5. Определение скорости и ускорения точки при координатном способезадания движения.Задачи кинематики точки1. Описание способов задания движения точки.2. Определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения) по заданному закону движения.Задать движение — это дать способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета.Способы задания движения точки в заданной системеотсчета1. Векторный способ задания движения.Положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижнойточки в выбранной системе отсчета.~r = ~r(t)— векторное уравнение движения точки.46ЛЕКЦИЯ 8КИНЕМАТИКА ТОЧКИ2.
Координатный способ задания движения.Скорость точки — это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчетаВ этом случае задаются координатыточки как функции времени:x = f1 (t),y = f2 (t),z = f3 (t)— уравнения движенияточки в координатнойформе.Это и параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которыхроль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме,надо исключить из них t.
Например, в случае плоской траекторииx = f1 (t),y = f2 (t),исключив t, получим:F (x, y) = 0 или y = ϕ(x).Для задания движения точки могут быть использованы другие системыкоординат — цилиндрическая, сферическая, полярная и т. д.3. Естественный способ задания движения.Задаются:~v = d~r .dtВектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторонудвижения.Ускорение точкиСреднее ускорение ~aср = ∆~v характе∆tризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени ∆t. Ускорение точкив данный момент времени ~a = lim ∆~v = d~v .∆t→0Рассмотрим перемещение точки замалый промежуток времени ∆t : ∆~r == ~r(t + ∆t) − ~r(t).
Тогда ~vср = ∆~r/∆t —средняя скорость точки за промежутоквремени ∆t. Скорость точки в данныймомент времени~v = lim ∆~r = d~r .∆t→0 ∆tdtdt2r.~a = d~v = d ~dtdt2Определение скорости и ускорения точки прикоординатном способе задания движенияs = f (t).Скорость точки∆tУскорение точки — это мера измененияее скорости, равная производной по времениот скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точкипо времени. Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости повеличине и направлению и направлено в сторону вогнутости траектории.• Траектория точки.• Начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета.• Закон изменения дуговой координаты:Этим способом удобно пользоваться в том случае, когда траектория точкизаранее известна.47Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением ~r == x~i + y~j + z~k. Из определения скорости: ~v =dy= d~r = d x~i + y~j + z~k = dx~i + ~j + dz ~k.dtdtdtdtdtПроекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координатпо времениvx = ẋ,vy = ẏ,vz = ż.Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование повремени.48ЛЕКЦИЯ 8Модуль и направление скорости определяются выражениями:q|~v | = νx2 + vy2 + vz2 , v v vycos ~v , ~i = vx , cos ~v , ~j = v , cos ~v , ~k = vz .Из определения ускорения:~a = d~v = d ẋ~y + ẏ~j + ż~k = ẍ~i + ÿ~j + z̈~k.dtdtПроекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени:ax = ẍ,ay = ÿ,Литература:Скорость и ускорение точки приестественном способе задания движения1.
Естественные оси.2. Определение скорости и ускорения точки при естественном способезадания движения.az = z̈.Модуль и направление ускорения определяются выражениями:q|~a| = a2x + a2y + a2z , a ay acos ~a, ~i = ax , cos ~a, ~j = a , cos ~a, ~k = az .[1, §36–40];[2, §62–66, 68, 70, 71, 76];[4, п.
9.1–9.6].ЛЕКЦИЯ 9Естественные осиЕстественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) — этооси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейсяточке. Их положение определяется траекторией движения.Касательная (с единичным вектором ~τ ) направлена по касательной в положительном направлении отсчета дуговой координаты и находится как предельное положение секущей, проходящей через данную точку.Через касательную проходит соприкасающаяся плоскость, котораянаходится как предельное положениеплоскости π при стремлении точки M1к точке M . Нормальная плоскостьперпендикулярна касательной.
Линияпересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей — главная нормаль.Единичный вектор главной нормали ~nнаправлен в сторону вогнутости траектории.Бинормаль с единичным вектором ~b направлена перпендикулярно касательной и главной нормали так, что орты ~τ , ~n и ~b образуют правуюсистему координат.50ЛЕКЦИЯ 9СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ . . .51Координатные плоскости введенной подвижной системы координат(соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественныйтрехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, кактвердое тело.
Его движение в пространстве определяется траекторией и законом изменения дуговой координаты.где aτ = s̈ = v̇τ — алгебраическое значение касательного ускорения (проекция вектора ускорения на касательную) характеризует изменение ско2рости по величине; an = vρ — нормальное ускорение (проекция вектораускорения на главную нормаль) характеризует изменение скорости по направлению. Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскостии проекция ускорения на бинормаль равна нулю (a b = 0).Определение скорости и ускорения точки приестественном способе задания движенияИз определения скорости точки~v = d~r = lim ∆~r = lim ∆~r ∆s ,∆t→0 ∆t∆t→0 ∆s ∆tdtгде lim ∆~r = ~τ , ~τ — единичный вектор касательной.∆t→0∆sТогда:~v = ds ~τ ,dtДвижение точки ускоренное, если знаки проекций векторов скоростии ускорения на касательную совпадают.~v = ṡ~τ .Алгебраическая скорость vτ = ṡ — проекция вектора скорости накасательную, равная производной от дуговой координаты по времени.
Еслипроизводная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.Из определения ускорения~a = d~v = d ṡ~τ = s̈~τ + ṡ d~τ ,dtdtdt~τ — переменный по направлению вектор и d~τ = d~τ ds = ṡ d~τ . Производdtds dtdsd~τнаяопределяется только свойствами траектории в окрестности даннойdsточки, при этом d~τ = ~nn — единичный вектор главной нормали, ρ —ρ, ~dsрадиус кривизны траектории в данной точке.2Таким образом ~a = s̈~τ + ṡρ ~n, т. е. вектор ускорения раскладывается надве составляющие — касательное и нормальное ускорения~a = ~aτ + ~an ,~aτ = s̈~τ = v̇τ ~τ ,2~an = vρ ~n,Литература:[1, § 42–43];[2, § 67, 72, 73, 75];[4, п.
9.4–9.6.].ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА53ЛЕКЦИЯ 10Простейшие движения твердого тела1. Задачи кинематики твердого тела.2. Поступательное движение твердого тела.3. Вращательное движение твердого тела.откуда следует одинаковость траекторий. Дифференцируя его по временидважды, установим равенство скоростей и ускорений:4. Определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела.5. Векторные выражения скорости и ускорения точки вращающегосятела.Задачи кинематики твердого телаd~rd~rA= B,dtdtТеорема доказана.Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек:xA = xA (t),yA = yA (t),zA = zA (t),1.
Описание способов задания движения твердого тела.2. Определение кинематических характеристик движения тела.3. Определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.Поступательное движение твердого телаПоступательное движение твердого тела — это движение, при которомлюбая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.Теорема.
При поступательном движении твердого тела траектории,скорости и ускорения точек тела одинаковы.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.В любой момент движения выполняется равенство:−−→~rB (t) = ~rA (t) + AB,−−→AB = const;d2~rBd2~rA=.dt2dt2— уравнения поступательногодвижения твердого тела.Вращательное движение твердого телаВращательное движение — это движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки. Прямая, проходящая через эти точки, называется осьювращения. Положение тела определено, если заданугол между плоскостями π1 и π2 , одна из которыхнеподвижна, а другая жестко связана с телом.ϕ = ϕ(t)— уравнение вращательногодвижения твердого тела.За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой стрелки, еслисмотреть с положительного направления оси вращения z.54ЛЕКЦИЯ 10Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина, которая называется угловой скоростью ω, определяемая∆ϕкак предел средней угловой скорости, т.
е. ω = ϕ̇ — алгебраическая∆tугловая скорость.Вектор угловой скорости — это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда оно видно происходящим против хода часовойстрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скоростиω~ = ϕ̇~k,где ~k — единичный вектор оси вращения.Угловое ускорение — мера изменения угловой скорости. Определяетсякак предел среднего углового ускорения ∆ω т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
