Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005) (1244967), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Возникает явление резонанса, которое характеризуется воз2kрастанием амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частотывозмущающей силы с частотой собственных колебаний.Влияние сопротивления на вынужденные колебанияРассмотрим общий случай вынужденных колебанийẍ + 2nẋ + k 2 x = h sin pt.Общее решение этого уравнения складывается из общего решения однородного уравнения, которое в случае малого сопротивления имеет вид:pk 2 − n2 t + α(собственные колебания)x∗ = Ae−nt sinи частного решения x∗∗ = Aв sin(pt − δ) (вынужденные колебания).Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний не зависят отначальных условий и определяются выражениями:Aв = ph(k 2−p 2 )2+4n2 p2,tg δ =2np.k − p2282ЛЕКЦИЯ 15ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ83С течением времени собственные колебания затухают и движение материальной точки подчиняется не зависящему от начальных условий законувынужденных колебаний.
Влияние сопротивления среды и частоты возмущающей силы качественным образом сказывается на изменении амплитудыи частоты вынужденных колебаний. Проиллюстрируем это влияние на примере построения, так называемой амплитудно-частотной характеристики.Введем отношение круговой частоты вынужденных колебаний материальной точки к круговой частоте ее собственных колебанийz=p— коэффициент расстройки.kРассмотрим статическое отклонение материальной точки A ст от поло~ равной амплитудежения равновесия под действием постоянной силы H,возмущающей силы,cAстh2cAст = H ⇒ Hm = m ⇒ h = k Aст ⇒ Aст = k 2 .Введем в рассмотрение коэффициент динамичности, который характеризует динамический эффект от действия возмущающей силы и равенотношению амплитуды вынужденных колебаний к статическому смещениюточки от постоянной силы, равной по величине амплитуде возмущающейсилы.
С учетом сделанных обозначений для коэффициента динамичностиимеемA1λ= в = r 2 .Aст22(1 − z ) + 4 n z 2kЗависимость коэффициента динамичности от коэффициента расстройки дается графиком, который позволяет оценить влияние частоты возмущающей силы и сопротивления среды на изменение амплитуды вынужденныхколебаний, т. е. Aв = λAст .Из графика видно, что при z 1 и z 1 амплитуда вынужденныхколебаний мало зависит от сопротивления среды.При z ≈ 1 влияние сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний становится существенным.
При достаточно большом сопротивлении n > √k явление резонанса не наблюдается во всем диапазоне измене2ния частоты возмущающей силы. Этот эффект используется при созданиитехнических устройств, призванных гасить вредные колебания в механических системах. Подробней об этом будет сказано в лекции 26.Литература:[1, § 94–96];[3, § 11–20];[4, п. 2.1–2.3, 2.5, 2.6].ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУЛЕКЦИЯ 16Введение в динамику механическойсистемы1.
Механическая система. Классификация сил.2. Дифференциальные уравнения движения механической системы.3. Теорема о движении центра масс.4. Меры движения.5. Меры действия сил.6. Консервативные системы.85МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫДифференциальные уравнения движения механическойсистемыРассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Тогда из основного уравнения динамики для k-й точки:eieieimk ẍk = Fkx+Fkx, mk ÿk = Fky+Fky, mk z̈k = Fkz+Fkz(k = 1, .
. . , n)— дифференциальные уравнения движения механической системы.Интегрирование этих уравнений связано со значительными трудностями. В некоторых случаях при исследовании движения механической системы можно ограничиться изучением движения центра масс.Центр масс механической системы это точка, положение которой определяется радиус-вектором:nPmk ~rkk=1~rC = n.Pmkk=1Механическая система. Классификация силМеханическая система — совокупность взаимодействующих междусобой материальных точек.При движении механической системы к каждой ее точке приложенысилы двух типов: внутренние силы, действующие между точками одноймеханической системы, и внешние силы, действующие на точки данноймеханической системы со стороны других систем.Рассмотрим произвольную точку системы Mk (k == 1, .
. . , n), тогда:F~ke — равнодействующая внешних сил, действующих наточку Mk ;F~ki — равнодействующая внутренних сил, действующихна точку Mk .Свойство внутренних сил:Главный вектор и главный момент внутренних сил механической системы равны нулю, так как это силы взаимодействия между точками системы,которые входят попарноnXk=1F~ki = 0,nXk=1 m~ O F~ki = 0.Теорема о движении центра массТеорема. Центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложенасила, равная главному вектору внешних силnnXPm~aC =mk .F~ke , m =k=1k=1ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Основное уравнение динамики для k-й материальной точкиmk~ak = F~ke + F~ki , k = 1, .
. . , n.nnnPPPПросуммируем эти равенства:mk~ak =F~ke +F~ki и, используяk=1k=1k=1свойство внутренних сил, получимnnnnXXX2 X2d2~rF~ke ⇒ d 2F~ke ⇒ d 2 m~rC =mk 2k =mk ~rk =dtdt k=1dtk=1k=1k=1nnXXF~ke ⇒ m~aC =F~ke .=Теорема доказана.k=1k=186ЛЕКЦИЯ 16ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУСледствия.1. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то центр масс движется равномерно и прямолинейно или находится в покое.2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо из осейравна нулю, то по отношению к этой оси центр масс движется равномерноили соответствующая координата центра масс постоянна.3.
Внутренние силы не влияют на движение центра масс.Теорема о движении центра масс позволяет, в частности, записать дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.mẍC =nXk=1eFkx,mÿC =nXeFky,mz̈C =k=1nXeFkz.k=1В общем случае, при изучении движения механических систем необходимо ввести меры движения и соответствующие им меры действия сил.Напомним эти знакомые из курса физики понятия.Меры движенияq~ = m~v .Количество движения механической системы — векторная мерадвижения, равная сумме количеств движения точек системыnX~ =mk ~vk .QnXk=1nXd~rd~rkd~mkmk ~rk = d m~rc = m c = m~vc .=Откуда: Q =dtdtdtdtk=1k=1Вектор количества движения механической системы равен произведе~ = m~vc .нию массы системы на скорость центра масс: QМомент количества движения материальной точки (кинетическиймомент) относительно центра — это вектор, определяемый равенством:~ O = ~r × m~v .K87Момент количества движения относительно оси — это проекциявектора момента количества движенияотносительноцентра, лежащего на~ O = mz m~v .оси, на эту ось: Kz = npz KГлавный момент количеств движения (иликинетический момент) механической системыотносительно центра O или оси Oz равен соответственно геометрической или алгебраической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра или оси~O =KnXk=1~rk × mk~vk ,Kz =nXk=1mz mk~vk .В качестве примера вычислим кинетическиймомент вращающегося с угловой скоростью ω твердого тела относительнооси вращенияvk = ωhk ,Kz =nXm k v k hk =k=1Количество движения материальной точки (импульс) — векторнаямера ее движения, равная произведению массы точки на ее скоростьМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫnXmk ωh2k =ωk=1nXmk h2k = Jz ω,k=1где hk — расстояние от k-й точки до оси вращения, Jz — момент инерциитела относительно оси вращения Oz (подробней о моментах инерции будетсказано в лекции 18).Кинетическая энергия материальной точки — скалярная мера еедвижения, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости2T = mv .2Кинетическая энергия механической системы — сумма кинетических энергий точек этой системыnXmk vk2.T =2k=1Определим кинетическую энергию твердого тела в некоторых частныхслучаях движения.1.
Поступательное движение.По теореме о поступательном движении скорости всех точек одинаковы, следовательно:nnX2 X2mk vk2=vmk = mv .T =222k=1k=188ЛЕКЦИЯ 16ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ2. Вращательное движение.vk = ωhk ,T =nXk=12mk (ωhk )2=ω22nXmk h2k =k=1Jz ω 2.23. Плоскопараллельное движение.Скорости точек тела при плоском движении пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей vk = ω|P Mk |,T =nnXXmk vk2Jz ω 2mk |P Mk |2 ω 2== P .222k=11k=12По теореме Гюйгенса – Штейнера : JzP = JzC + m|P C|2 .m|P C|2 ω 2Jz ω 2mv 2Jz ω 2C+ C⇒T =+ C .Тогда T =2222При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центрамасс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.Это частный случай более общей теоремы Кенига3 , которая для твердого тела может быть сформулирована следующим образом:Теорема. Кинетическая энергия твердого тела при свободном движении равна сумме кинетической энергии его поступательного движения соскоростью центра масс и кинетической энергии сферического движениявокруг центра масс.(Выражение для кинетической энергии при сферическом движении приводится в лекции 18.)МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ89Импульс силы за конечный промежуток времени равен сумме элеZt2~ментарных импульсов, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
