Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005) (1244967), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Т. е. к динамическимуравнениям Эйлера необходимо добавить дифференциальные уравнениядвижения центра масс.Приближенная теория гироскопаГироскоп — быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого (ось симметрии) может изменять свое направление в пространстве. Гироскопы обладают рядом интересных свойств, обусловливающих их широкое применение в различных технических устройствах. В качестве примера на рисунке изображены гироскоп с тремя степенями свободы,когда ротор может совершать три независимых вращения вокруг осей AA 0 ,BB 0 , CC 0 , пересекающихся в одной точке O (карданов подвес), и гироскопс двумя степенями свободы, когда ротор может вращаться только вокругосей AA0 , BB 0 .112ЛЕКЦИЯ 18ДИНАМИКАГироскопы совершают сферическое движение.
Если неподвижная точка O совпадает с центром масс, то такой гироскоп называется астатическим(уравновешенным), в противном случае — тяжелым.Элементарная или прецессионная теория гироскопа основана на допущении, что угловая скорость вращения гироскопа вокруг оси материальнойсимметрии значительно превышает угловую скорость поворота этой оси.Пусть ω~ 1 — угловая скорость быстро вращающегося гироскопа, ω~2 —угловая скорость вращения оси гироскопа. В рамках прецессионной теорииможно считать, что кинетический момент гироскопа относительно неподвижной точки направлен вдоль оси симметрии гироскопа Oζ и равен~ O = Jζ ω1~k.KДля установления основных свойств гироскопа докажем следующуютеорему.Теорема Резаля1Теорема.
Скорость конца вектора кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему,относительно того же центра.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.~ O . Скорость ее движения: ~uA =Пусть точка A — конец вектора K~OdK.dtСравнивая данное соотношение с теоремой об изменении кинетического~ e.момента, получим ~uA = MOТеорема доказана.1 Резаль Анри Эме (27.01.1828–22.08.1896) — французский ученый в области механики,член Парижской АН.
Работы посвящены вопросам механики, баллистики и термодинамики.ТВЕРДОГО ТЕЛА113Отметим, что это кинематическая интерпретация теоремы об изменении кинетического момента.Используя теорему Резаля, можно:1. Зная внешние силы, найти, как движется ось гироскопа.2. Зная движение оси гироскопа, можно найти главный момент внешних сил.Основные свойства гироскопаРассмотрим установившееся вращательное движение с угловой скоростью ω1 астатического гироскопа с тремя степенями свободы.
При этомглавный момент внешних сил, действующих на гироскоп, относительнонеподвижной точки равен нулю. Тогда по теореме об изменении кинетического момента~OdK~ O = Jζ ω1~k = const.= 0 или KdtТ. е. вектор ~k, который задает положение оси гироскопа, остается постоянным по направлению в инерциальной системе отсчета, и имеет местоследующее свойство:Первое свойство астатического гироскопаОсь быстро вращающегося уравновешенного (с тремя степенями свободы) гироскопа устойчиво сохраняет свое направление в инерциальнойсистеме отсчета. Удары или толчки могут вызвать вибрацию оси гироскопа, но не отклонение от первоначального положения.Это свойство широко используется в различных навигационных приборах и стабилизаторах движения. Второе свойство гироскопа обнаруживается, когда на его ось начинает действовать сила (или пара сил), стремящаясяпривести ось в движение.Пусть на ось гироскопа действует постоянная сила P~ , как указано на рисунке.~ e .
Т. е. действиеПо теореме Резаля: ~u = MOпостоянной силы на ось гироскопа приводитк повороту этой оси с некоторой угловой скоростью ω2 . По формуле Эйлера для скорости~Oточки, совпадающей с концом вектора K~ O.~u = ω~2 × KС учетом равенства KO = Jζ ω1 из теоре~e =ω~ 2 × Jζ ω~ 1 или MOe = Jζ ω1 ω2 sin θ, где θ — уголмы Резаля находим MOнутации.114ЛЕКЦИЯ 18ДИНАМИКАДвижение, совершаемое осью гироскопа от постоянной силы, называется прецессией. ω2 — угловая скорость прецессииω2 =MeJζ ω1 sin θ— закон прецессии.Это равенство выражает следующее свойство.Второе свойство гироскопаПри действии силы (или пары сил) на ось быстро вращающегося гироскопа она будет отклоняться не в сторону действия силы, как это былобы при невращающемся роторе, а в направлении, перпендикулярном этойсиле. При этом вращение оси будет происходить с постоянной угловойскоростью.Данное свойство наблюдается как у астатического, так и тяжелого гироскопа.Рассмотрим движение волчка.
Действующие нанего внешние силы — сила тяжести P~ и сила реакции~.NГлавный момент внешних сил: MOe== P |CO| sin θ.Из закона прецессии ω2 ==P |CO| sin θJζ ω1 sin θ=P |CO|.Jζ ω 1Угловая скорость прецессии тем меньше, чембольше угловая скорость вращения волчка вокругего оси симметрии.Регулярная прецессия — движение гироскопа с постоянными угловыми скоростями собственного вращения, прецессии и постоянным угломнутации.Момент гироскопических реакцийРассмотрим движение астатического гироскопа с двумя степенямисвободы, когда ось гироскопа принудительно поворачивается.ТВЕРДОГО ТЕЛА115В этом случае главный момент внешних сил, действующих на гиро~ e = ~u = ω~ O.скоп, отличен от нуля M~2 × KOСилы, создающие этот момент — силы гироскопических реакцийв подшипниках.
Противоположныймомент создают силы давления на под~ Q,~ Q~0 = K~ O = Jζ ω~ Q,~ Q~0 =~O ×ω~ Q~ 0. M~ 2 . Так как K~ 1 , то Mшипники Q,~ Q~ 0 = Jζ ω1 ω2 sin θ, где θ — угол между осью~1 × ω~ 2 или M Q,= Jζ ωсобственного вращения гироскопа и осью прецессии.Под действием гироскопической пары давления на подшипники сил~ Q~ 0 стремится совместить осьсистема может перемещаться. Пара сил Q,вращения гироскопа с осью прецессии.Данный результат можно сформулировать в виде следующего правила.Правило ЖуковскогоЕсли гироскопу сообщают вынужденное прецессионное движение, товозникает гироскопическая пара сил давления на подшипники, стремящаясякратчайшим путем установить ось гироскопа параллельно оси прецессии~ 2 совпадали.так, чтобы векторы ω~1 и ωВозможность возникновения гироскопических реакций при вынужденной прецессии быстро вращающихся деталей машин (например, роторовсудовых и авиационных двигателей) необходимо учитывать в инженерныхрасчетах.Литература:[1, § 57, 102–105, 131, 132];[3, § 34–41, 88–95];[4, п.
12.1–12.9, 13.4, 14.1, 15.1–15.6].ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРАЛЕКЦИЯ 19Принцип Д’Аламбера1. Сила инерции материальной точки.2. Принцип д’Аламбера.3. Приведение системы сил инерции твердого тела к простейшему виду.4. Определение динамических реакций.Сила инерции материальной точкиF~ — равнодействующая активных сил, приложенных к точке,~ — равнодействующая реакций связей,R~ = −m~a — сила инерции материальной точΦки.Сила инерции материальной точки —сила, равная по модулю произведению массыточки на ее ускорение и направленная в сторону, противоположную ускорению.Принцип д’АламбераДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРИНЦИПА ВТОРОМУ ЗАКОНУ НЬЮТОНА.Из основного уравнения динамики путем тождественных преобразований находим~ =⇒ F~ + R~ + (−m~a) = 0 =⇒ F~ + R~ +Φ~ = 0.m~a = F~ + RЭквивалентность установлена.Принцип д’Аламбера для механической системы:Если в фиксированный момент времени к каждой точке механическойсистемы, кроме действующих сил, добавить силы инерции, то система силбудет уравновешенной.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Силы, приложенные к каждой точке системы, разделим на внешние и внутренние.Тогда, принцип д’Аламбера для каждой точкизапишется в виде~ k = 0,F~ke + F~ki + ΦПринцип д’Аламбера для точки:Если в фиксированный момент движения, кроме действующих на точку сил, добавить силу инерции, то система сил будет уравновешенной.1 Д’Аламбер Жан Лерон (16.11.1717–29.10.1783) — французский математик, механик, философ, член Французской АН.
Почетный член Петербургской АН и член ряда других академий наук. Исследования в области механики, гидродинамики, небесной механики, теориидифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре. Основоположник методов прикладноймеханики.k = 1, . . . , n.Принципу д’Аламбера для механической системы можно придать другую математическую форму.Суммируя полученные выражения по всем точкам системы, находимnXk=1F~ke +nXk=1F~ki +nX~ k = 0,Φk=1а умножая векторно слева на радиус-векторы ~rk точек системы и сновавыполняя суммирование, находим:nXk=11117nn X X~ k = 0.m~ O F~ke +m~ O F~ki +m~O Φk=1k=1С учетом свойства внутренних сил имеем~ = 0,F~ e + Φ~e +M~ Φ = 0,MOO~ — главный вектор сил инерции;где F~ e — главный вектор внешних сил; Φ~ Φ — главный момент сил~ e — главный момент внешних сил системы; MMOOинерции.Принцип доказан.118ЛЕКЦИЯ 19ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРАПолученные уравнения по форме совпадают с условиями равновесиястатики.
В общем случае они позволяют получить шесть скалярных равенств (равенства нулю сумм проекций сил, включая силы инерции, накаждую из координатных осей и равенства нулю сумм моментов сил относительно координатных осей).Вращение тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокругоси, проходящей через центр масс перпендикулярно этой плоскости~=Так как центр масс лежит на оси вращения, ~ac = 0 и Φ= 0. В этом случае система сил приводится к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии тела. Вектор момента этой пары равен главному моменту сил инерции относительно оси вращения~~ Φ = − dJzC ω= −JzC ~ε.MCdtПриведение системы сил инерции твердого телак простейшему видуПо теореме Пуансо систему сил инерции, приложенных к точкам твердого тела, в общем случае можно заменить силой и парой сил.
Сила приложена в центре приведения и равна главному вектору сил инерции, моментпары равен главному моменту сил инерции относительно центра приведения.~ Φ = −M~ e , применяя теорему о движении~ = −F~ e , MПоскольку ΦOOцентра масс и теорему об изменении кинетического момента, находим:~ = −m~ac ,Φ~~ Φ = − d KO .MOdtЗдесь за центр приведения O принята произвольная неподвижная точка винерциальной системе отсчета.Обычно за центр приведения выбирается центр масс механическойсистемы. Тогда с учетом теоремы об изменении кинетического момента впоступательно движущейся с центром масс системе отсчета~~ Φ = − d KC .~ = −m~aC , MΦCdtРассмотрим частные случаи движения твердого тела.Поступательное движениеЕсли за центр приведения выбрать центр масс системы, то главныймомент всех сил инерции относительно центра масс равен нулю~ CΦ = −MnXk=1~rk × mk~ak = −nXk=1119Таким образом, алгебраический момент пары сил инерцииможет быть вычислен по формулам:MzΦC = −JzC ε = −JzC ω̇ = −JzC ϕ̈.Плоское движение твердого тела, имеющего плоскость материальнойсимметрииВ качестве центра приведения выбираем центр масс, расположенныйв плоскости симметрии тела, которая перемещается в координатной плоскости Oxy.
Так как плоское движение может быть представлено как сложение поступательного движения с центром масс и вращательного вокругоси, проходящей через центр масс, то система сил инерции приводится ксиле и к паре, лежащей в плоскости материальной симметрии~ = −m~aC ,ΦMzΦC = −JzC ε,где JzC — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,перпендикулярно плоскости материальной симметрии.Аналогично рассматривается приведение системы сил инерции привращении тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг оси,не проходящей через центр масс. При этом за центр приведения можетвыбираться как центр масс, так и неподвижная точка на оси вращения.mk ~rk × ~aC = −M~rC × ~aC = 0.Система сил инерции приводится к равнодействующей, которая проходит через центр масс, направлена противоположно ускорению центра масси равна произведению массы тела на ускорение центра масс~ = −m~ac .ΦЕсли в качестве центра приведения принимается точка O, лежащаяна оси вращения в плоскости симметрии, то главный момент сил инерции120ЛЕКЦИЯ 19равенMzΦO = −JzO ε,где JzO — момент инерции тела относительно оси вращения.Определение динамических реакцийПри движении несвободного твердого тела реакции связей складываются из статических и добавочных динамических составляющих~ =R~ ст + R~ дин ,R~ ст — главный вектор статических реакций, определяемых уравнениягде R~ дин — главный вектор динамических реакций, обусловленныхми статики, Rдвижением механической системы.Динамические реакции можно определить с помощью принципад’Аламбера~ = 0, M~ Oe + M~ OΦ = 0, илиF~ e + Φ~ ст + R~ дин + Φ~ = 0, M~ Oакт + M~ Oст + M~ Oдин + M~ OΦ = 0.F~акт + R~ Oакт , M~ Oст , M~ Oдин — главныеЗдесь F~акт — главный вектор активных сил; Mмоменты активных сил, статических и динамических реакций соответственно.Учитывая равенства, которым удовлетворяют статические реакции~ ст = 0,F~акт + R~ Oакт + M~ Oст = 0,Mв проекциях на оси координат получим уравнения для определения динамических реакций опор движущегося телаRдинx + Φх = 0,ΦMOдинx + MOx= 0,Rдинy + Φy = 0,ΦMOдинy + MOy= 0,Rдинz + Φz = 0,ΦMOдинz + MOz= 0.При составлении этих уравнений не нужно учитывать активные силы.Динамические реакции определяются только силами инерции.ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРА121При вращении твердого тела массы m вокруг неподвижной оси Ozглавный вектор сил инерции равен:~ = Φ~τ + Φ~ n = −m ~aCτ + ~aCn .ΦВ проекциях на оси координат, жесткосвязанные с телом,Φx = myC ϕ̈ + mxC ϕ̇2 ,Φy = −mxC ϕ̈ + myC ϕ̇2 ,Φz = 0.С учетом выражений для главного момента сил инерции и динамических уравнений вращательного движения твердого телаΦeMOx= −MOx= Jxz ϕ̈ − Jyz ϕ̇2 ,ΦeMOy= −MOy= Jyz ϕ̈ + Jxz ϕ̇2 .Тогда уравнения для определения динамическихреакций подшипников при вращении твердого телавокруг неподвижной оси имеют вид:XAдин + XBдин + myC ϕ̈ + mxC ϕ̇2 = 0,YAдин + YBдин − mxC ϕ̈ + myC ϕ̇2 = 0,ZAдин = 0,YAдин |zA | − YBдин |zB | + Jxz ϕ̈ − Jyz ϕ̇2 = 0,−XAдин |zA | + XBдин |zB | + Jyz ϕ̈ + Jxz ϕ̇2 = 0.Для того чтобы при вращении тела вокруг неподвижной оси не возникали динамические реакции, необходимо и достаточно, чтобы ось вращения была главной центральной осью инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
