Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005) (1244967), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ТогдаxC = 0, yC = 0, Jxz = 0, Jyz = 0 и динамических реакций не возникает.Покажем, что ось вращения всегда можно сделать главной центральнойосью инерции, добавляя две точечные массы.Пусть ось вращения не является главной центральной осью инерциивращающегося тела. Добавим к телу массы m1 и m2 в точках M1 (x1 , y1 , z1 )и M2 (x2 , y2 , z2 ). Тогда уравнения для определения динамических реакцийпримут видXAдин + XBдин + (myC + m1 y1 + m2 y2 )ϕ̈ + (mxC + m1 x1 + m2 x2 )ϕ̇2 = 0,YAдин + YBдин − (mxC + m1 x1 + m2 x2 )ϕ̈ + (myC + m1 y1 + m2 y2 )ϕ̇2 = 0,122ЛЕКЦИЯ 19ZAдин = 0,YAдин |zA | − YBдин |zB | + (Jxz + m1 x1 z1 + m2 x2 z2 )ϕ̈−−(Jyz + m1 y1 z1 + m2 y2 z2 )ϕ̇2 = 0,−XAдин |zA | + XBдин |zB | + (Jyz + m1 y1 z1 + m2 y2 z2 )ϕ̈++(Jxz + m1 x1 z1 + m2 x2 z2 )ϕ̇2 = 0.ЛЕКЦИЯ 20Введение в аналитическую механикуДинамические реакции обращаются в ноль при выполнении условий:mxC + m1 x1 + m2 x2 = 0,myC + m1 y1 + m2 y2 = 0,Jxz + m1 x1 z1 + m2 x2 z2 = 0,Jyz + m1 y1 z1 + m2 y2 z2 = 0.Давая произвольные значения четырем из величин m 1 , m2 , x1 , y1 ,z1 , x2 , y2 , z2 , остальные можно найти из полученной системы уравнений.Такой метод динамической балансировки широко используется в техникедля уравновешивания быстровращающихся деталей машин.Литература:[1, § 133–136];[3, § 106–111];[4, п.
16.1–16.3].1. Связи и их уравнения.2. Классификация связей.3. Виртуальные перемещения. Виртуальная работа силы. Идеальныесвязи.4. Принцип виртуальных перемещений.5. Общее уравнение динамики.Связи и их уравненияТела, ограничивающие свободу перемещения точек данной механической системы, называются связями. В аналитической механике связизадаются математически с помощью уравнений или неравенств, в которыевходят время, координаты всех или части точек системыи их производные по времени. В частности, для однойточки уравнение связи может иметь вид: f (x, y, z) = 0,где f (x, y, z) — заданная функция координат точки.Например, связь в виде идеального стержня, ограничивающего перемещение материальной точки M (x, y, z),записывается уравнениемx2 + y 2 + z 2 = l 2 .Другой пример. При свободном движениисистемы двух материальных точек M1 (x1 , y1 , z1 )и M2 (x2 , y2 , z2 ), соединенных между собой идеальнымстержнем, уравнение связи, из условия неизменностирасстояния между точками, имеет вид:(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 = l2 .Положение данной системы определяется пятью независимыми параметрами, в качестве которых могут быть выбраны три декартовы координаты точки M1 и две декартовы координаты точки M2 , или три декартовы124ЛЕКЦИЯ 20ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУкоординаты точки M1 и два сферических угла, определяющих положениеотрезка M1 M2 .Связь называют удерживающей, если она выражается математическиуравнением, и неудерживающей, если она выражается неравенством.
Связьназывается стационарной, если в уравнение связи время явно не входит.Если в уравнение связи время входит явным образом, то связь — нестационарная.Примером нестационарной связи, наложенной на материальную точку, является нить, длина которой изменяется по заданному законуКлассификация связейСвязь называется голономной, если в уравнение связи входят координаты точек механической системыf (x1 , y1 , z1 , .
. . , xn , yn , zn ; t) = 0.Выше были рассмотрены примеры голономных связей. Если уравнения связи, кроме координат и иных параметров, определяющих положениесистемы, содержит их дифференциалы или производные по времени и этидифференциальные уравнения не могут быть проинтегрированы, то связьназывается неголономной.Примером неголономной связи служит горизонтальная плоскость длядиска радиуса R, катящегося по ней без скольжения и поворачивающегосяпри этом вокруг вертикального направления.125x2 + y 2 + z 2 6 l2 (t) .Это голономная, неудерживающая,нестационарная связь.Виртуальные перемещения.
Виртуальная работа силы.Идеальные связиВиртуальным (возможным) перемещением точки называется такоебесконечно малое (элементарное) перемещение δ~r, которое допускаетсяв рассматриваемый момент времени наложенными на точку связями.Проекции вектора виртуального перемещения точки δ~r = {δx, δy, δz}называются вариациями координат.В данном случае проекции скорости центра диска на оси координатопределяются равенствамиẋC = ϕ̇R cos ϑ,ẏC = ϕ̇R sin ϑ,żC = 0.Последнее уравнение может быть проинтегрировано и дает z C = R. Первыедва преобразуются к видуdxC = dϕR cos ϑ,dyC = dϕR sin ϑ.Эти дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы только вслучае, когда ϑ = const.
При этом связь становится голономной.В дальнейшем ограничимся рассмотрением только голономных связей.В случае голономной нестационарной связи уравнение f (x, y, z; t) = 0в фиксированный момент определяет некоторую поверхность в трехмерном126ЛЕКЦИЯ 20ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУпространстве, на которой находится движущаяся точка. Виртуальные перемещения лежат в касательной плоскости к этой поверхности и вариациикоординат удовлетворяют уравнению∂f∂f∂fδx +δy +δz = 0,∂x∂y∂zВ частности, в предыдущем примере из уравнения голономной и стационарной связиOA sin ϕ = AB sin ψвыражающемуперпендикулярность вектора нормали к поверхности ~n =∂f ∂f ∂fи вектора δ~r = {δx, δy, δz}., ,=127находимOA cos ϕ δϕ = AB cos ψ δψ.Вариации координат середины стержня AB находятся из уравнений связи∂x ∂y ∂zПо форме левая часть уравнения связи для вариаций координат совпадает с полным дифференциалом функции трех переменных.
Она называетсявариацией функции f (x, y, z; t) и обозначается δf . Т. е.∂f∂f∂fδx +δy +δz.δf =∂x∂y∂zС точностью до величин второго порядка малости координаты точки M (x+δx, y+δy, z+δz) в новом ее положении удовлетворяют уравнениюсвязиf (x + δx, y + δy, z + δz; t) = 0.Если на точку наложена стационарная связьf (x, y, z) = 0, то ее уравнение задает поверхность, по которой движется эта точка, и бесконечно малое действительное перемещение d~r = {dx, dy, dz} совпадает с однимиз виртуальных. Например, для связи в виде стержня ивиртуальное перемещение δ~r точки M , и ее действительное перемещение d~r перпендикулярны радиусу сферы, покоторой может перемещаться точка.Если задана неудерживающая связь неравенством f (x, y, z) > 0, топри нахождении виртуального перемещения она заменяется удерживающей f (x, y, z) = 0.
Это означает, что при виртуальном перемещении точкисвязь сохраняется.Виртуальное перемещение механической системы — совокупностьвиртуальных перемещений точек этой системыxC = OA cos ϕ + AB cos ψ,2yC = AB sin ψ.ОткудаδxC = −OA sin ϕ δϕ − AB sin ψ δψ,2δyC = AB cos ψ δψ.Виртуальной работой силы называется работа силы на виртуальномперемещении точки ее приложения δA = F~ · δ~r.Связь называется идеальной, если сумма работ реакций этой связи на любом виртуальном перемещениисистемы равна нулю.Примером является шероховатая поверхность длякатка, катящегося без скольжения, при отсутствии трениякачения~= 0.δA = mP (R)δϕПринцип виртуальных перемещенийДля равновесия механической системы с идеальными и стационарнымисвязями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всехактивных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулюnXk=1δAактk = 0.128ЛЕКЦИЯ 20ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМОСТИ.Дано: механическая система в равновесии.nPДоказать:δAактk = 0.k=1Так как система находится в равновесии, то равнодействующая актив~ k , приложенных в k-йных сил F~k и равнодействующая сил реакций связей Rточке системы, удовлетворяют условию равновесия статики:~ k = 0,F~kакт + Rk = 1, .
. . , n.Сообщим системе виртуальное перемещение и умножим обе части каждого равенства на виртуальное перемещение k-й точки δ~rk . Далее, суммируяпо всем точкам системы, получим:nXk=1F~kакт · δ~rk +nXk=1k=1~ k · δ~rk = 0 ⇒RnXПринцип возможных перемещений можно применять для определенияреакций связей в статически определимых конструкциях.
Для этого надоосвободить систему от одной из связей и реакцию этой связи считать активной силой. Система, лишенная одной связи, может получить виртуальноеперемещение, что и позволяет найти неизвестную реакцию.Общее уравнение динамикиПри движении механической системы с идеальными связями работавсех активных сил и сил инерции на любом виртуальном перемещении системы в каждый фиксированный момент времени равна нулю.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим движение k-й точки системы~ k · δ~rk = 0.R~ k,mk~ak = F~kакт + RТак как связи идеальные, тоnXилиF~kактk=1· δ~rk = 0 ⇒nXδAактk= 0.k=1Необходимость доказана.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТАТОЧНОСТИ.nPДано:δAактk = 0.~ k = 0,F~kакт − mk~ak + RknXk=1k=1k=1nnPP= 0 ⇒δAактF~kакт · δ~rk > 0 ⇒k > 0, что противоречит условию.k=1k=1Следовательно, система находится в равновесии.Достаточность доказана.k = 1, .
. . , n.Мысленно зафиксируем время t и дадим системе виртуальное перемещение δ~rk , k = 1, . . . , n. Умножим скалярно каждое уравнение на δ~rkи сложим ихk=1Доказать: механическая система в равновесии.Предположим, что при заданных условиях система не находится в равновесии, т. е. при действии на систему активных сил хотя бы одна точ~ k 6= 0. Так какка получила действительное перемещение d~rk и F~kакт + Rдля стационарных связей действительное перемещение совпадаетс од~ k · δ~rk > 0ним из возможных перемещений, d~rk = δ~rk ⇒ F~kакт + R~ k · δ~rk > 0 по крайней мере для одной точки системы,или F~kакт · δ~rk + Rвышедшей из равновесия. Суммируя по всем точкам системы, получаемnnnPPP~ k · δ~rk > 0. Так как связи идеальные, то~ k · δ~rk =F~ акт · δ~rk +RRk=1129nXакт~~ k · δ~rk = 0.Fk − mk~ak · δ~rk +Rk=1По определению идеальных связей последняя сумма равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
