Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005) (1244967), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следовательно,nXk=1F~kакт − mk~ak · δ~rk = 0илиУтверждение доказано.Литература:[1, § 137–141];[3, § 112–118];[4, п. 18.1–18.5, 19.1].nXk=1δAактk +nXk=1δAинk = 0.МЕТОДОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ131ЛЕКЦИЯ 21Метод обобщенных координат1. Обобщенные координаты и скорости.2. Обобщенные силы и способы их вычисления.3.
Условие равновесия в обобщенных координатах.Обобщенные координаты и скоростиОбобщенные координаты (q1 , q2 , . . . , qs ) — независимые параметрылюбой размерности, которые определяют положение механической системы.Каждому положению механической системы при этом соответствуетточка (q1 , q2 , . . . , qs ) в s-мерном пространстве, называемом пространствомконфигураций.Для эллиптического маятника, изображенногона рисунке, за обобщенные координаты можно принять координату x1 и угол ϕ: q1 = x1 , q2 = ϕ.В случае стационарных связей декартовы координаты точки M выражаются следующим образом:x = x1 + l sin ϕ, y = −l cos ϕ.При наличии нестационарных связей, например, при переменной длиненити маятника, l = l(t), x = x1 + l(t) sin ϕ, y = −l(t) cos ϕ.В общем случае координаты каждой точки механической системы являются функциями обобщенных координат и времениЧислом степеней свободы механической системы называется числонезависимых вариаций ее обобщенных координат δq i .
Для механическойсистемы с голономными связями число степеней свободы совпадает с числом обобщенных координат.В случае неголономных связей число степеней свободы меньше, чемчисло обобщенных координат. Например, положение диска радиуса R, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости и поворачивающегосяпри этом вокруг вертикали, определяется четырьмя обобщенными координатами — xC , yC , ϑ и ϕ (ϕ — угол поворота при качении). Так как вариациикоординат связаны соотношениями:δxC = R δϕ cos ϑ,δyC = R δϕ sin ϑ,то из четырех вариаций обобщенных координат δx C , δyC , δϑ и δϕ независимыми остаются две.
Значит число степеней свободы равно двум.Для эллиптического маятника, на который наложены голономные связи, число степеней свободы совпадает с числом обобщенных координат.Независимые виртуальные перемещения могут быть изображены, если задать следующие значения вариаций обобщенных координат:xk = xk (q1 , q2 , . . . , qs ; t),yk = yk (q1 , q2 , .
. . , qs ; t),zk = zk (q1 , q2 , . . . , qs ; t).Или~rk = ~rk (q1 , q2 , . . . , qs ; t),k = 1, 2, . . . , n.Обобщенными скоростями называются производные обобщенных координат по времени q̇1 , q̇2 , . . . , q̇s .132ЛЕКЦИЯ 21МЕТОДСкорости всех точек системы могут быть выражены через обобщенныескорости соотношениями:s~vk =X ∂~rkd~rk∂~rq̇j + k .=dt∂qj∂tj=1В случае стационарных связейs~vk =X ∂~rkd~rkq̇j .=dt∂qj2.
Так как связи голономные, то вариации обобщенных координат независимы, и обобщенную силу можно найти, задавая изменение лишь однойкоординаты, а вариации остальных полагать равными нулю. Тогда, вычисляя виртуальную работу активных сил на изменении этой координаты, находимδAjδAj = Qj δqj , Qj =.δqjОбобщенные силы и способы их вычисленияFkx = − ∂Π ,∂xkРассмотрим систему, имеющую s степеней свободы, на которую наложены стационарные и голономные связи.Для введения понятия обобщенной силы рассмотрим сумму виртуальных работ активных сил, действующих на точки данной механическойnnPPF~k · δ~rk .δAакт =системы:kQj = −главной части приращения функции многих переменных δ~rk =δAактk =k=1где Qj =nXk=1F~k ·sXj=1∂~rkδqj =∂qjns XXj=1 k=1∂~rF~k · k∂qj!δqj =sXQj δqj ,j=1nP∂~rF~k · k , j = 1, 2, .
. . , s — обобщенные силы — величины,k=1∂qjстоящие при соответствующих вариациях обобщенных координат в формуле для вычисления суммы виртуальных работ активных сил, действующихна точки данной механической системы.Способы вычисления обобщенных сил.1. Используя формулу вычисления скалярного произведения, обобщенную силу можно искать в виде!nX∂yk∂xk∂zkFkx.+ Fky+ FkzQj =∂qj∂qj∂qjk=1k=1Fkz = − ∂Π , то∂zk!∂Π ∂xk + ∂Π ∂yk + ∂Π ∂zk = − ∂Π .∂xk ∂qj∂yk ∂qj∂zk ∂qj∂qjСогласно принципу виртуальных перемещений, условие∂~rkδq +∂q1 1∂~r∂~r+ k δq2 + .
. . + k δqs . Подставим данное выражение в формулу для∂q2∂qsnXnXFky = − ∂Π ,∂ykУсловие равновесия в обобщенных координатахk=1Для систем со стационарными связями радиус-вектор k-й точки —функция обобщенных координат ~rk = ~rk (q1 , q2 , . . . , qs ). По определениювыражения работы активных сил:1333. Если система консервативная, то обобщенная сила равна частнойпроизводной от потенциальной энергии по соответствующей обобщеннойкоординате, взятой со знаком минус. Так какj=1k=1ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТnXk=1F~k · δ~rk = 0является необходимым и достаточным для равновесия системы с идеальными и стационарными связями.
Переходя к обобщенным координатам,находимnXk=1F~k ·δ~rk =nXk=1δAактk =sXQj δqj =⇒ Q1 δq1 +Q2 δq2 + . . . +Qs δqs = 0.j=1Пусть связи, наложенные на систему, являются голономными. В силунезависимости вариаций обобщенных координат равенство нулю возможнотолько в том случае, когда все коэффициенты при вариациях обобщенныхкоординат равны нулю. Т.
е.Для равновесия механической системы с идеальными, стационарнымии голономными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенныесилы были равны нулюQ1 = 0,Q2 = 0,...,Qs = 0.134ЛЕКЦИЯ 21Для консервативных механических систем необходимым и достаточным условием равновесия является∂Π = 0,∂qjЛЕКЦИЯ 22j = 1, . .
. , s.Литература:[1, § 142–144];[3, § 119–122];[4, п. 18.6, 18.7].Дифференциальные уравнениядвижения механической системыв обобщенных координатах1. Тождества Лагранжа.2. Уравнения Лагранжа второго рода.3. Уравнения Лагранжа для консервативных механических систем.4. Уравнение движения машины.Тождества ЛагранжаРассмотрим механическую систему с голономными, идеальными и стационарными связями, состоящую из n материальных точек и имеющуюs степеней свободы. Обобщенные координаты, задающие положение точексистемы, — q1 , q2 , .
. . , qs .Для стационарных связей радиус-вектор k-й точки — функция обобщенных координат: ~rk = ~rk (q1 , q2 , . . . , qs ).Вычисляя скорость этой точки, находим~vk = ~˙rk =Тогда∂~rk∂~r∂~rq̇1 + k q̇2 + . . . + k q̇s .∂q1∂q2∂qs∂~r∂~vk= k — первое тождество Лагранжа.∂ q̇j∂qjС другой стороны:∂ 2~rk∂ 2~rk∂ 2~rk∂~vk=q̇1 +q̇2 + . .
. +q̇s ,∂qj∂q1 ∂qj∂q2 ∂qj∂qs ∂qj!222d ∂~rk = ∂ ~rk q̇ + ∂ ~rk q̇ + . . . + ∂ ~rk q̇ .12sdt ∂qj∂qj ∂q1∂qj ∂q2∂qj ∂qsЛЕКЦИЯ 22ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕСравнивая правые части, находим:ddt∂~rk∂qj!=Так какЛагранжа имеем:∂~vk— второе тождество Лагранжа.∂qjУравнения Лагранжа второго рода — это дифференциальные уравнениядвижения механической системы в обобщенных координатах.
Как и раньше,считаем, что связи, наложенные на систему, — голономные, стационарныеи идеальные.Для получения уравнений движения воспользуемся общим уравнениемnPF~k − mk~ak δ~rk = 0.динамики:k=1Для системы со стационарными связями виртуальное перемещение k-йточки выражается через обобщенные координаты соотношениемsX∂~rkj=1∂qjδqj .Подстановка его в общее уравнение динамики дает:Xn sXd~v∂~rkδqj = 0.F~k − mk kdt∂qjПоменяем порядок суммированияsnXXj=1k=1По определениюnX∂~rd~v ∂~rmk k kF~k k −∂qjdt ∂qjk=1!nXk=1mk(∗∗)Подставляя (∗∗) в равенство (∗), внося mk под знак производной и меняя порядок суммирования и дифференцирования, получаемn m v2Pn m v2k kk k∂∂22k=1k=1=0+Qj − d∂ q̇jdt∂qjилиd ∂T − ∂T = Q , j = 1, 2, .
. . , sjdt ∂ q̇j∂qj— дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода).Разность полной производной по времени от частной производной откинетической энергии по обобщенной скорости и частной производной откинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.Если связи, наложенные на систему, неидеальные, то при составлении уравнений движения следует реакции неидеальных связей отнести кактивным силам.∂qj∂qjd~vk ∂~rk= 0,dt ∂qjdt ∂qjпотенциальную энергию системы соотношениями: Q j = − ∂Π . Тогда урав-δqj = 0.Так как связи голономные, то вариации обобщенных координат δq jнезависимы.
Следовательно, выражения в скобках равны нулю иQj −∂qjДля консервативной системы обобщенные силы определяются черезnP∂~rF~k k = Qj — обобщенная сила.k=1dtУравнения Лагранжа для консервативных механическихсистемj=1k=1137∂~r∂~rk, то с учетом тождеств= d ~vk k − ~vk d∂(vk2 /2)∂(vk2 /2)∂~v∂~vd~vk ∂~rk−= d ~vk k − ~vk k = d.dt ∂qjdt∂ q̇j∂qjdt∂ q̇j∂qjУравнения Лагранжа второго родаδ~rk =d~vk ∂~rkdt ∂qjУРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ . .
.136j = 1, 2, . . . , s.(∗)нения Лагранжа перепишутся в видеd ∂T − ∂T = − ∂Π , j = 1, 2, . . . , s.dt ∂ q̇j∂qj∂qjВведем функцию Лагранжа L соотношением: L = T − Π. Учитывая, что потенциальная энергия есть функция только обобщенных координат Π = Π(q1 , q2 , . .
. , qs ), имеем!d ∂L − ∂L = 0, j = 1, 2, . . . , s.dt ∂ q̇j∂qj138ЛЕКЦИЯ 22ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕЕсли в функцию Лагранжа не входят явно k обобщенных координат(k < s), то возможно частичное интегрирование дифференциальных уравнений движения механической системы. Соответствующие обобщенные координаты называются циклическими. Для них∂L(q̇1 , . . . , q̇s , qk+1 , . . . , qs )= 0,∂qjТогда ddt∂L∂ q̇jj = 1, 2, . . . , k.= 0, откуда ∂L = const, j = 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
