Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005) (1244967), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е.∆tε = ω̇ = ϕ̈— алгебраическое значениеуглового ускорения.Вектор углового ускорения — производная вектора угловой скоростипо времени~ε = d ϕ̇~k = ϕ̈~k.dtЕсли вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости, то вращение тела ускоренное.Определение скоростей и ускорений точек вращающегосятелаТак как траектории точек вращающегосятела — окружности, при определении скоростии ускорения удобно воспользоваться естественным способом задания движения.Дуговая координата, определяющая положение точки на траектории, связана с углом поворота равенством: s = ϕR.
Откуда: vτ = ṡ == ϕ̇R = ωR,vτ = ωR.ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА55Ускорение определяем как сумму:~a = ~aτ + ~an ,2ϕ˙2 R2= ω 2 R,an = v =RRan = ω 2 R;aτ = s̈ = ϕ̈R = εR,aτ = εR.√|aτ ||εR||ε|a = R ε2 + ω 4 — модуль ускорения, tg α = an = 2 = 2 .ω RωКасательное и нормальное ускорения при вращательном движениитвердого тела называют также вращательным и центростремительным:~aτ = ~aвр ,~an = ~aц .Векторные выражения скорости и ускорения точкивращающегося телаМодуль скорости точки вращающегося тела v = ωR = ωr sin α равен модулю векторногопроизведения ω~ × ~r.
Направление скорости совпадает с направлением векторного произведенияω~ × ~r. Следовательно:~v = ω~ × ~r — формула Эйлера.1Для получения векторных формул для ускорений точек вращающегося тела продифференцируем это выражение по времени.ω × ~r + ω~ × ~r = d~~ × d~r = ~ε × ~r + ω~ × ~v .~a = d~v = d ωdtdtdtdt1 Эйлер Леонард (15.04.1707–18.09.1783) — математик, механик, физик и астроном (род.в г. Базеле, Швейцария). Академик Петербургской АН, член Парижской АН, Берлинской АН,Лондонского королевского общества. Научные интересы Эйлера относятся ко всем основнымобластям естествознания. Труды по вариационному исчислению, интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, степенным рядам, специальным функциям, дифференциальной геометрии, теории чисел, гидродинамике, небесной механике, теории теплоты, оптикеи по некоторым прикладным вопросам.
Список трудов Эйлера содержит около 850 названий.Заложил основы математической физики, механики твердого тела, механики машин. С 1726по 1741 и с 1766 по 1783 г. жил и работал в Петербурге.56ЛЕКЦИЯ 10Воспользовавшись определением векторного произведения, нетрудноубедиться в том, что первое слагаемое — вращательное, а второе — центростремительное ускорения. Т. е.~aвр = ~ε × ~r,~aц = ω~ × ~v .ЛЕКЦИЯ 11Сложное движение точкиЛитература:[1, § 48, 49, 51];[2, § 78–82,];[4, п.
10.1–10.2].1. Основные понятия.2. Теорема о сложении скоростей.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).4. Ускорение Кориолиса.Основные понятияСложное движение точки (или тела) — движение, которое рассматривается одновременно в разных системах отсчета.O1 x0 y 0 z 0 — основная система координат.Oxyz — подвижная система координат.M — движущаяся точка.Движение точки M по отношению косновной системе координат называется абсолютным движением.Движение точки M по отношению кподвижной системе координат называетсяотносительным движением.Переносное движение — движение подвижной системы координат поотношению к основной.Абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки — это скоростьи ускорение точки в основной системе координат:~v = d~r ,dt2r.~a = d~v = d ~dtdt2Относительная скорость и относительное ускорение точки — этоскорость и ускорение точки в подвижной системе координат:ρ~ = x~i + y~j + z~k,58ЛЕКЦИЯ 11ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)d~ρ ~vr == ẋ~i + ẏ~j + ż~k,dt ~i,~j,~k=constd~vr ~ar == ẍ~i + ÿ~j + z̈~k.dt ~ ~ ~Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)1Теорема.
При непоступательном переносном движении абсолютноеускорение точки находится как сумма трех ускорений: относительного,переносного и ускорения Кориолиса.i,j,k=constПереносная скорость и переносное ускорение точки — это скоростьи ускорение того места подвижной системы координат, с которым в данныймомент совпадает движущаяся точка:d~r,~ve =dt x,y,z=const˙˙˙~ve = d ~rO + x~i + y~j + z~k = ~r˙O + x~i + y~j + z~k,dtx,y,z=constd~ve ¨¨¨~ae == ~r¨O + x~i + y~j + z~k.dt x,y,z=constТеорема о сложении скоростейТеорема. При сложном движении точки абсолютная скорость равнасумме ее относительной и переносной скоростей.
~v = ~v r + ~ve .ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.В каждый момент времени справедлива зависимость:~vrТеорема доказана.p~ac = 2~ωe × ~vr ,где ω~ e — угловая скорость переносного вращения.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.По теореме о сложении скоростей:˙˙˙~v = ~r˙O + x~i + y~j + z~k + ẋ~i + ẏ~j + ż~k.Дифференцируя по времени, находим:¨˙¨¨˙˙~a = d~v = ~r¨O + x~i + y~j + z~k + 2 ẋ~i + ẏ~j + ż~k + ẍ~i + ẏ¨~j + z̈~k.dtПроизводные от постоянных по модулю единичных векторов определяются по формуле Эйлера:d~j=ω~ e × ~j,dtd~k = ω~ e × ~k.dtС учетом этого:Тогда˙˙˙~v = d~r = d ~rO + x~i + y~j + z~k = ~r˙O + x~i + y~j + z~k + ẋ~i + ẏ~j + ż~k .|{z} |{z}dtdtМодуль скорости: v =~a = ~ar + ~ae + ~ac ,d~i = ω~ e × ~i,dt~ = ~rO + x~i + y~j + z~k.~r = ~rO + ρ~ve59vr2 + ve2 + 2vr ve cos α.˙˙˙ẋ~i + ẏ~j + ż~k = ẋ ω~ e × ~i + ẏ ω~ e × ~j + ż ω~ e × ~k ==ω~ e × ẋ~i + ẏ~j + ż~k = ω~ e × ~vr .ωe × ~vr = ~ar + ~ae + ~ac .В итоге: ~a = ~ar + ~ae + 2~Теорема доказана.ЗАМЕЧАНИЕ.
В случае поступательного переносного движения (~ωe == 0) абсолютное ускорение точки находится как сумма ее относительногои переносного ускорений.1 Кориолис Гюстав Гаспар (21.05.1792–19.09.1843) — франц. механик, член ПарижскойАН. Основные исследования относятся к аналитической механике. Дал определение понятияработы и ввел этот термин. Ввел понятие полного ускорения.60ЛЕКЦИЯ 11Ускорение КориолисаУскорение Кориолиса учитывает изменение относительной скорости,вызванное переносным движением, и изменение переносной скорости, вызванное относительным движением. Способы вычисления ускорения Кориолиса:1.
По правилу векторного произведенияωe × ~vr ,~ac = 2~ ac = 2 ω~ e ~vr sin α.2. По правилу Жуковского1 .Для определения направления ускорения Кориолиса надо вектор относительной скорости спроектировать на плоскость, перпендикулярную оси вращения, и повернуть в сторону вращения на угол 90◦ .Литература:[1, § 64–66];[2, § 111–116];[4, п. 13.1–13.4].ЛЕКЦИЯ 12Плоскопараллельное движение твердоготела1. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.2. Определение скоростей точек тела при плоском движении.3. Мгновенный центр скоростей (МЦС).4. Способы нахождения МЦС.5.
Определение ускорений точек тела при плоском движении.6. Мгновенный центр ускорений (МЦУ).Уравнения плоскопараллельного движения твердого телаПлоскопараллельное (плоское) движение твердого тела — движение, при которомвсе точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Из определения следует, что перпендикуляр M A остается параллелен своему начальному положению. По теореме о поступательном движении траектории, скорости и ускорения точек M и A совпадают.
Таким образом исследование плоского движения твердоготела можно свести к рассмотрению движенияплоской фигуры S в ее плоскости.Примеры плоскопараллельного движения:1 Жуковский Николай Егорович (17.01.1847–17.03.1921) — русский ученый в области механики, основоположник современной аэродинамики, чл.-корр. Петербургской АН. Работыотносятся к аэродинамике, гидродинамике, прикладной механике, теории дифференциальныхуравнений, теории механизмов, математике и астрономии. Вывел формулу для определенияподъемной силы крыла.62ЛЕКЦИЯ 12ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАДля задания движения плоской фигуры введем подвижную системукоординат, совершающую поступательное движение с точкой A.
Движениеплоской фигуры рассмотрим как сложное, при этом переносное движение — это поступательное движение подвижной системы координат вместес точкой A (полюсом). Относительное движение — это вращение вокругполюса.Положение плоской фигуры можно задать двумя координатами полюса и одним углом между отрезком, жестко связанным с телом, и направлениемодной из неподвижных осей:xA = xA (t),yA = yA (t),ϕ = ϕ(t)— уравнения движения плоской фигуры.При задании плоского движения за полюс может приниматься любая точка тела. Следовательно, вид первых двух уравнений движения зависит от выбора полюса. Закон изменения угла от выбораполюса не зависит. Для характеристики изменения угла поворота плоскойфигуры вводится, как и при вращательном движении, угловая скорость —ω = ϕ̇, которая также не зависит от выбора полюса.
Изменение угловойскорости характеризует угловое ускорение — ε = ω̇.Определение скоростей точек тела при плоском движенииТеорема. Скорость любой точки телапри плоском движении находится как суммаскорости полюса и скорости данной точки вовращательном движении вокруг полюса.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Используем теорему о сложении скоростей при сложном движении точки: ~vB = ~vr ++ ~ve , ~ve = ~vA , так как подвижная система движется поступательно, ~vr = ~vBA , vBA = ω · BA,так как относительное движение вращательное.Следовательно: ~vB = ~vA + ~vBA .
Теорема доказана.Следствие. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на направление вектора, соединяющего эти точки, равны между собой.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.−→~−→~−→~~vB = ~vA + ~vBA , np−v = np−v + np−vBA ,AB BAB A| AB{z }63−→~−→~np−v = np−v .AB AAB B=0Следствие доказано.Мгновенный центр скоростей (МЦС)Теорема. При непоступательном движении плоской фигуры существует жестко связанная с ней точка, скорость которой в данный момент движения равна нулю. Эта точка является мгновенным центромскоростей.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Отложим перпендикуляр к скорости в т. A и выvберем на нем точку на расстоянии: AP = ωA .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
