Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005) (1244967), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е.эквивалентно равенству RRx = 0,nXFkx = 0,k=1Ry = 0,nXRz = 0 илиFky = 0,k=1nXFkz = 0.k=1Условие доказано.Эти условия позволяют определять неизвестные величины, в частности, реакции связей. Число неизвестных для произвольно расположеннойв пространстве системы сходящихся сил не должно превышать трех.Задача статики о равновесии называется статически определимой,если количество неизвестных не превышает количества уравнений. Иначе задача статически неопределима и методами статики не решается.
Дляплоской системы сходящихся сил количество независимых условий (илиуравнений) равновесия равно двум:nXk=1Fkx = 0,nXk=1Fky = 0.16ЛЕКЦИЯ 2Теорема о трех силахТеорема. Если твердое тело находится в равновесии под действиемтрех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действияэтих сил пересекаются в одной точке.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Т. к. силы не параллельны,то F~12 =F~1 + F~2.
По~~~условию F1 , F2 , F3 ∼ 0, следовательно, F~3 , F~12 ∼ 0и сила F~3 проходит через точку C. Теорема доказана.Литература:[1, § 4–7];[2, § 4–11];[4, п. 2.1–2.3].ЛЕКЦИЯ 3Момент силы относительно центраи оси. Пары сил1. Момент силы относительно центра и оси.2. Способы вычисления момента силы относительно оси.3. Пара сил.4.
Теоремы о парах.5. Условие равновесия системы пар.Момент силы относительно центра и осиДействие силы на твердое тело, закрепленное в одной точке, заключается в стремлении повернуть его вокруг точки закрепления. Для характеристики вращательного действия силы вводится понятие момента силыотносительно центра (или точки).Моментом силы относительно центра называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на векторсилы.m~ O F~ = ~r × F~ .Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в тусторону, откуда поворот от действия силы виденпроисходящим против хода часовой стрелки.
Вектор момента характеризуетположение плоскости и направление вращательного действия силы, а такжедает меру этого действия:m~ O F~ = rF sin F~ , ~r = F h,h — плечо силы (кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент относительноэтой точки равен нулю.18ЛЕКЦИЯ 3МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА ИОСИ.ПАРЫСИЛ192. ГеометрическийЕсли силы расположены в одной плоскости, то используется понятие алгебраическогомомента силы. Алгебраическим моментом силы относительно центра называется взятое сознаком плюс или минус произведение модулясилы на плечо.
Знак плюс выбирается в томслучае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра момента против хода часовой стрелки.Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси — алгебраическая величина, равная проекции вектора моментасилы относительно произвольной точки оси на эту ось:mz F~ = npz m~ O F~ .Способы вычисления момента силы относительно оси1.
АналитическийПо правилу вычисления векторного произведения: ~i ~j ~k m~ O F~ = ~r × F~ = x y z = Fx Fy Fz = yFz − zFy ~i + zFx − xFz ~j + xFy − yFx ~k.Откудаmx F~ = yFz − zFy ,my F~ = zFx − xFz ,mz F~ = xFy − yFx .Провести плоскость π, перпендикулярную данной оси (Oz), спроектировать силуна эту плоскость и вычислить момент проекции F~π относительно точки O — точкипересечения оси z с плоскостью π.Момент положителен, если глядя с положительного направления оси вращениевидно происходящим против хода часовойстрелки.
Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или линия действия силы пересекает ось.При вычислении момента силы ее бывает удобно предварительно разложить на составляющие и находить момент каждой составляющей отдельно. При этом момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих. (Для общего случая это доказывается в лекции 6.)Пара силСистема двух равных по модулю параллельных сил,направленных в противоположные стороны, — пара сил(неупрощаемая система сил).
h — плечо пары расстояниемежду линиями действия сил.Для характеристики действия пары сил на твердое теловводится понятие момента пары.Вектор момента пары сил равен векторному моменту одной из сил пары относительноточки приложения другой силы:~ A F~ = m~ B F~ 0 ,m~ F~ , F~ 0 = m m~ F~ , F~ 0 = F~ AB sin α = F~ h.Он направлен перпендикулярно плоскости π действия пары в ту сторону, откуда видно,что вращение происходит против хода часовой стрелки.Момент пары — это свободный вектор, и, как будет видно из дальнейшего изложения, он полностью определяет действие пары на твердоетело.Для пар, расположенных в одной плоскости, используется понятие алгебраического момента пары.20ЛЕКЦИЯ 3Алгебраический момент пары сил равен алгебраическому моментуодной из сил пары относительно точки приложения другой силы или, чтото же самое, равен взятому со знаком плюс или минус произведению модуля одной из сил пары на плечо. Момент пары положителен, если парастремится повернуть плоскость против хода часовой стрелки.Суммарное вращательное действие сил, составляющих пару, определяется следующей теоремой:Теорема.
Сумма моментов сил пары относительно произвольной точки равна моменту пары.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Возьмем произвольную точку O. Сумма моментов сил пары относительно точки O: m~ O F~ +−→−−→+m~ O F~ 0 = OA×F~ +OB×F~ 0 , так как F~ = −F~ 0 , то−→ −−→−−→m~ O F~ + m~ O F~ 0 = OA − OB × F~ = BA × F~ ==m~ F~ , F~ 0 .Теорема доказана.Основные свойства пар (правила их эквивалентного преобразования)даются следующими тремя теоремами:Теоремы о парахТеорема 1. Пару сил, приложенную к твердому телу, можно перемещать в плоскости действия, сохраняя при этом ее момент.МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА ИОСИ.ПАРЫСИЛ21ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Выберем в плоскости действия пары сил {F~ , F~ 0 } произвольный отрезок A1 B1 и восстановим перпендикуляры в его концах до пересечения слиниями действия сил F~ и F~ 0 .Перенесем силы F~ и F~ 0 по линиям их действия в точки C и E~ и F~ 0 ∼ {P~ 0 , Q~ 0 }.
Системаи разложим на составляющие F~ ∼ {P~ , Q}~ и Q~ 0 образуют пару сил и могут быть пересил {P~ , P~ 0 } ∼ 0, а силы Qнесены по линиям их действия в точки A1 и B1 .В результате эквивалентных преобразований пара сил { F~ , F~ 0 } заме~ Q~ 0 }, момент которой равен моменту заданной пары.нена парой сил {Q,Действительно, рассматривая площадь параллелограмма CDEFSCDEF = h1 CF = h2 CD,из подобия соответствующих треугольниковCF = CD~|F~ ||Q|=⇒~h1 |F~ | = h2 |Q|.Теорема доказана.Теорема 2.
Пару сил, действующую на твердое тело, можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия.22ЛЕКЦИЯ 3ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Плечо AB пары сил {F~ , F~ 0 }, лежащей в плоскости π1 , переместимпараллельно в положение A1 B1 на плоскости π2 и приложим систему сил{F~1 , F~10 , F~2 , F~20 } ∼ 0, равных по модулю F .Силы F~ , F~1 имеют равнодействующую R = 2F , которая приложенав точке пересечения диагоналей параллелограмма ABA 1 B1 . Силы F~ 0 , F~10также имеют равнодействующую R 0 = 2F , которая направлена в противоположную сторону. Т. е.~ R~ 0 } ∼ 0.{F~ , F~1 , F~ 0 , F~10 } ∼ {R,По второй аксиоме статики~ R~ 0 , F~2 , F~ 0 } ∼ {F~2 , F~ 0 }.{F~ , F~ 0 } ∼ {F~ , F~ 0 , F~1 , F~10 , F~2 , F~20 } ∼ {R,22В результате эквивалентных преобразований пары сил { F~ , F~ 0 } заменена парой сил {F~2 , F~20 } в параллельной плоскости, которая имеет тот жемомент и стремится повернуть тело в том же направлении.Теорема доказана.Теорема 3.
Две пары, действующие на твердое тело и лежащие впересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которойравен геометрической сумме моментов составляющих пар.МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА ИОСИ.ПАРЫСИЛ23ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим две пары {F~1 , F~10 } и {F~2 , F~20 } с моментами m~1 и m~ 2 , лежащие в пересекающихся плоскостях π1 и π2 .
Пользуясь теоремой 1, перенесем пары так, чтобы силы были приложены в точках A и B на линиипересечения плоскостей.По правилу сложения сил имеем~ ∼ {P~ , Q}~Rи~ 0 }.~ 0 ∼ {P~ 0 , QR−−→BA × P~ = m~ 2,−−→ ~BA × Q=m~ 1.~ R~ 0 } образует пару. Момент этой парыСистема сил {R,−→ ~ −−→−→−−→ ~~ R~ 0) = −~ =−m(~ R,BA × R= BA × (P~ + Q)BA × P~ + BA × Q,гдеТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
