Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 12

dQdt~ = Q(t~ + dt) − Q(t),~~ + dt) =ства движения за время dt: dQпри этом Q(t~~= (m + dm) ~v + d~v , Q(t) = m~v + dm~u ⇒ dQ = (m + dm) ~v + d~v −− ~u dm − ~v m = ~v dm + m d~v − ~u dm (с точностью до величин первогопорядка малости). Тогдаm d~v − ~u − ~v dm = F~ ,dtdtгде ~u − ~v = ~vr — относительная скорость присоединенных (или отбрасываемых) частиц.

Отсюда m d~v = ~vr dm + F~ иdtdtm d~v = F~ + Φ — уравнение Мещерского1,dt1 Мещерский Иван Всеволодович (10.08.1859–7.01.1935) — русский ученый в области механики. Основное направление исследований — динамика тела переменной массы.95dtdtdm~ сонаправлена с относительнойли> 0 — присоединение массы, то Φdt~скоростью присоединяемой частицы. Если dm < 0 — потеря массы, то Φdtнаправлена противоположно относительной скорости отделяемой частицы.В качестве примера рассмотрим движение ракеты.Первая задача Циолковского1 о движении ракеты.Рассмотрим движение ракеты без учета внешних сил.Полагая, что vr = const (в первых космических кораблях vr ∼ 2000 м/c), из уравнения Мещерского находим:RvRm dmm(t) dv = −vr dm ⇒ dv = −vr dmm ⇒ dv = −vrm ⇒dtdtv0m0m.⇒ v − v0 = −vr ln m0mv = v0 + vr ln m0— формула Циолковского, которая позволяет определять скорость ракеты в зависимости от ее начальной скорости, отноmсительной скорости выброса топлива и отношения m0 .Найдем скорость ракеты в конце активного участка полета.

m 0 = mк ++ mг , mк — полезная масса, mг — масса горючего, m масса ракеты = mк —mmв конце активного участка полета. v1 = v0 + vr ln 1 + mкг , mкг — числоЦиолковского ∼ 3 .4Увеличение максимальной скорости ракеты достигается за счет применения многоступенчатых ракет.Вторая задача Циолковского о движении ракеты.Движение ракеты рассматривается с учетом действующих на нее внешних сил (вес ракеты, сопротивление среды). С учетом веса ракетыm(t) dv = −vr dm − P.dtdt1 Циолковский Константин Эдуардович (17.09.1857–19.09.1935) — русский ученый и изобретатель, основоположник космонавтики. В 1921 году получил от правительства пожизненнуюпенсию для занятий научной работой.

Основные исследования относятся к аэронавтике, ракетодинамике и космонавтике.96ЛЕКЦИЯ 17Для интегрирования уравнения необходимо задать законизменения массы ракеты. Наибольший интерес представляют:линейный m = m0 (1 − αt), α = const, что соответствует движению ракеты с постоянной тягой, при непрерывномувеличении ускорения;экспоненциальный m = m0 e−αt , α = const, при этомракета движется с постоянным ускорением.Теорема ЭйлераРассмотрим движение жидкости в канале переменногосечения.Воспользуемся теоремой об измененииколичества движения механической системыдля исследования установившегося движения жидкости, заключенной между сечени~dQ= F~ e .

Изменеями площади S1 и S2 :dt~ = Q(t~ + dt) −ние количества движения: dQ~− Q(t). Разделим объем на три части, то~ III , Q(t~ + dt) = Q~ III + Q~ II ,~~I + Qгда Q(t)=Q~~~~dQ = QII − QI , где QI = γS1 v1 dt~v1 , m1 = γS1 v1 — секундная масса (расход) — масса жидкости, проходящая через сечение за одну секунду, γ —~ II = γS2 v2 dt~v2 , m2 = γS2 v2 — расход жидкостиплотность жидкости, Qво втором сечении, ~v1 , ~v2 — скорости частиц жидкости.Из условия несжимаемости жидкости ееколичество, проходящее через каждое сечение,одинаково: m1 = m2 = m. Тогда по теореме обизменении количества движения~ = m~v2 − m~v1 dt и m~v2 − m~v1 = F~ e .dQРазделяя внешние силы на объемные и поверхностные F~ e = F~ об + F~ пов , устанавливаем теорему.Теорема (Эйлера).

Сумма главного вектора объемных сил, главноговектора поверхностных сил и секундных количеств движения, направленных внутрь объема, равна нулю.F~ об + F~ пов + m~v1 + −m~v2 = 0.ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ97Теорема об изменении момента количества движенияТеорема. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равнагеометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим движение произвольной точки системы m~a k = F~ke + F~ki ,dmk~vkлибо= F~ e + F~ i , умножим векторно слева на радиус-вектор ~rkdt~rk ×kkdmk ~vk~ O F~ke + m~ O F~ki .= ~rk × F~ke + ~rk × F~ki ⇒ d ~rk × mk ~vk = mdtdtВыполняя суммирование по всем точкам системы, с учетом свойствавнутренних сил находим:nnnnX~O XdKd X ~r × m ~v = X mei~~~ O Fk +m~ O Fk ⇒m~ O F~ke .=kk kdtdtk=1k=1k=1k=1Теорема доказана.Следствия.1.

Внутренние силы, действующие между точками механической системы, не влияют на изменение кинетического момента механической системы.2. Если главный момент внешних сил системы относительно какого-либо центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этогоцентра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).Проектируя полученное равенство на ось Oz, устанавливаем теоремуоб изменении кинетического момента механической системы относительнооси.Теорема.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижной оси равна сумме моментоввсех внешних сил, действующих на систему, относительно этой осиnXdKzmz F~ke .=dtk=1Следствие. Если сумма моментов внешних сил относительно какой-либо оси равна нулю, то кинетический момент системы относительноэтой оси постоянен.98ЛЕКЦИЯ 17ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИТеорема об изменении кинетического момента механической системысохраняет свою форму в системе отсчета, которая движется поступательновместе с центром масс.Теорема. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно центра масс в системе отсчета, котораядвижется поступательно вместе с центром масс, равна геометрическойсумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительноцентра массnX~CdKm~ C F~ke .=dt+ dAik ⇒ mk=Rdvk22dAek +M1 M2Rnk=1k=1~ e = −mk~aC — переносные силы инерции.где ΦkНоnX~ e) =m~ C (Φkk=1nXk=1~rk ×(−mk~aC ) = −nXk=1k1dAikM1 M2+nPk=1A12T2 − T 1 =mk ~rk ×~aC = −m~rC ×~aC = 0,Теорема.

Изменение кинетической энергии механической системы нанекотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил,действующих на систему, на том же перемещении.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим движение произвольной точки системы m k~ak = F~ke + F~ki ,dmk~vkлибо= F~ e + F~ i , умножим скалярно на дифференциал радиус-векknXk=1−2n m v2Pk k1k=12=nPk=1A12 F~ke +n XA12 F~ke +A12 F~ki .k=1Теорема доказана.Теорема (в дифференциальной форме). Производная по времениот кинетической энергии механической системы равна сумме мощностейвнешних и внутренних сил, действующих на систему.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.!Теорема об изменении кинетической энергииkn m v2Pk k2k=1F~ki ⇒Для произвольной точки системы dTk = dAek + dAik ⇒+dAekdTk=+dtdtdAikdT⇒ k = Nke + Nki .

Суммируя по всем точкам системы, получаемdtdtтак как радиус-вектор центра масс в выбранной подвижной системе координат равен нулю. Откуда следует утверждение теоремы.Теорема доказана.dtm v2m v2⇒ k k2 − k k1 = A12 F~ke +A12 F~ki . Просум22мируем по всем точкам системыДОКАЗАТЕЛЬСТВО.В подвижной (неинерциальной) системе координат теорема об изменении кинетического момента принимает видnd~vk· d~rk = F~ke · d~rk + F~ki · d~rk ⇒ mk d~vk · ~vk = dAek +dtTRk2mk vk2ei= dAek + dAik ⇒= dAk + dAk ⇒ ddTk =2Tтора d~rk , тогда mkk=1XX~CdK~ ek ),m~ C (F~ke ) +m~ C (Φ=dt99nnk=1k=1dT = X N e + X N i .kkdtТеорема доказана.Следствие. Если механическая система является консервативной, тополная механическая энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, при ее движении остается постоянной (закон сохранения энергии).Из теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальнойформе следуетdT = dA,100ЛЕКЦИЯ 17где dA — элементарная работа всех внешних и внутренних сил, действующих на механическую систему.В случае консервативной системыdT = −dΠ =⇒ d(T + Π) = 0 =⇒ T + Π = const.Литература:[1, § 84, 85, 89, 110–112, 116–118, 123, 126, 127];[3, § 48, 50, 52, 54, 56, 62, 67, 69, 74];[4, п.

8.2, 8.4, 9.3, 10.4, 11.2, 11.5, 11.6].ЛЕКЦИЯ 18Динамика твердого тела1. Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного иплоскопараллельного движений твердого тела.2. Тензор инерции.3. Динамика вращательного и сферического движения твердого тела.4. Динамические уравнения Эйлера. (Дифференциальные уравнениясферического движения твердого тела.)5. Дифференциальные уравнения свободного движения твердого тела.6. Приближенная теория гироскопа.Дифференциальные уравнения поступательного,вращательного и плоскопараллельного движенийтвердого телаКак было показано, твердое тело может совершать поступательное,вращательное, плоскопараллельное, сферическое и свободное движение.Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела, которые были получены из теоремы о движении центра масс, имеют вид:nnnXXXeeeFkx, mÿC =Fky, mz̈C =Fkz.mẍC =k=1k=1k=1Применение теоремы об изменении кинетического момента в скалярной форме к вращающемуся телу позволяет получить дифференциальноеуравнение вращательного движенияnXmz (F~ke ).Jz ϕ̈ =k=1При описании плоскопараллельного движения твердого тела из теоремо движении центра масс и об изменении кинетического момента в относительном движении находим соответствующие дифференциальные уравненияnnnXXXeeFkx, mÿC =Fky, JzC ϕ̈ =mzC (F~ke ).mẍC =k=1k=1k=1ЛЕКЦИЯ 18ДИНАМИКАРассмотрим выражение кинетического моментатвердого тела в случае его сферического движения.С учетом формулы Эйлера для скорости точки имеем~O =KnXk=1~rk × mk ~vk =nXk=1~rk × mk ω~ × ~rk ,где ω~ — мгновенная угловая скорость сферического движения.В проекциях на оси системы координат, связанной с движущимся телом,KOx =nXmk (yk2 + zk2 )ωx −k=1nXKOy = −KOz = −k=1nXk=1m k y k xk ω x +m k z k xk ω x −nXk=1nXk=1nXm k xk y k ω y −nXmk (zk2 + x2k )ωy −mk z k y k ωy +k=1m k xk z k ω z ,k=1nXnXmk y k z k ωz ,k=1mk (x2k + yk2 )ωz .k=1Так как (yk2 + zk2 ), (zk2 + x2k ), (x2k + yk2 ) — квадраты расстояний от точкис массой mk до координатных осей Ox, Oy, Oz, тоJx =nXmk (yk2 + zk2 ), Jy =k=1nXmk (zk2 + x2k ),k=1Jz =nXmk (x2k + yk2 )k=1— осевые моменты инерции.Введем обозначения:Jxy =nPk=1m k xk y k ,Jyz =KOx = Jx ωx − Jxy ωy − Jxz ωz ,KOy = −Jyx ωx + Jy ωy − Jyz ωz ,KOz = −Jzx ωx − Jzy ωy + Jz ωz .В общем случае вектор кинетического момента не совпадает по направлению с вектором угловой скорости.