Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 8

Потеореме о скоростях: ~vP = ~vA + ~vP A , где vP A == ω · AP = vA . Следовательно: vP = vA − vP A = 0.Теорема доказана.Выбирая мгновенный центр скоростей за полюс, нетрудно убедиться, что скорость любой точкиплоской фигуры находится как скорость во вращательном движении вокруг МЦС.vCvB~vB = ~vP + ~vBP ,vP = 0,vB = vBP = ω · BP,vC = vCP = ω · CP,vv= CP , ω = C = B .BPCPBPЧерез МЦС проходит мгновенная ось вращения тела.64ЛЕКЦИЯ 12ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАСпособы нахождения МЦСние — вращение вокруг полюса A, переносное движение — поступательноевместе с полюсом, ~ae = ~aA , ~ar = ~aBA = ~aτBA +~anBA , ~aB = ~aA +~aτBA +~anBA .Теорема доказана.1. Известны направления скоростей двух точектела и они не параллельны.МЦС лежит на пересечении перпендикуляровк скоростям.2. Известны направления скоростей двух точек тела и они параллельны.65Мгновенный центр ускорений (МЦУ)Теорема.

При любом непоступательном движении плоской фигурысуществует жестко связанная с ней точка, ускорение которой в данныймомент движения равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Проведем прямую через точку A под углом α к направлению вектоaра ускорения. При этом tg α = ε2 . Отложим отрезок: AQ = √ A.ωОпределим ускорение найденной точки Q:~aQ = ~aA + ~aQA :~aQA = ~aτQA + ~anQA ,в) vA · cos α = vB · cos α, т. е. ~vA = ~vB и vBA == ω · BA = 0.Если МЦС не существует (находится в бесконечности), то тело совершает мгновенно-поступательное движение.

Угловая скорость равна нулю.Скорости всех точек тела одинаковы.3. Качение без скольжения по неподвижнойповерхности (нет проскальзывания). МЦС находится в точке касания тела с неподвижной поверхностью.Определение ускорений точек тела при плоском движенииТеорема. Ускорение точки плоской фигуры равно сумме ускорения полюса и ускоренияданной точки во вращательном движении вокруг полюса.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Дано: ~aA , ω, ε.Ускорение точки B в ее сложном движении: ~aB = ~ar + ~ae , где относительное движе-ε2 + ω 4где aτQA = ε · QA,anQA = ω 2 · QA.q22aτQA + anQA =Следовательно, aQA =√= QA ε2 + ω 4 = aA , β = α.

Получаем, чтоускорения ~aQA и ~aA равны по модулю, нопротивоположны по направлению. Следовательно: aQ = 0. Точка Q — мгновенный центрускорений.Теорема доказана.Выбирая мгновенный центр ускорений за полюс, находим, что приплоскопараллельном движении ускорение любой точки можно найти какускорение во вращательном движении вокруг МЦУ.Литература:[1, §52, 54–59];[2, §85–87, 90–92, 96–100];[4, п. 11.1, 11.2, 11.4, 11.5].СФЕРИЧЕСКОЕ И СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛАЛЕКЦИЯ 13Сферическое и свободное движениятвердого тела1. Уравнения сферического движения твердого тела2. Скорости точек твердого тела при сферическом движении. Мгновенная ось вращения.3.

Уравнения свободного движения твердого тела.4. Скорости точек тела при свободном движении.Сферическое движение твердого тела — движение, при котором однаиз точек тела во все время движения остается неподвижной. Например:Уравнения сферического движения твердого телаДля описания сферического движения твердого тела введем две системы координат: неподвижную — Oxyz и подвижную — Oξηζ, жесткосвязанную с телом.

Положение подвижной системы координат по отношению к неподвижной можно определить заданием трех углов Эйлера — ψ,θ, ϕ:ψ — угол прецессии,θ — угол нутации,ϕ — угол собственного вращения.67Построение подвижной системы координат по трем углам Эйлера начинается сизображения линии узлов OK — линиипересечения плоскости Oxy неподвижнойи плоскости Oξη подвижной систем координат. Для этого необходимо повернутьось Ox на угол ψ вокруг оси Oz.

Положение оси Oζ подвижной системы координат находится поворотом оси Oz на угол θвокруг линии узлов, а положение оси Oξопределяется поворотом линии узлов вокруг оси Oζ на угол ϕ. Подвижная система координат построена и, если задан закон изменения углов Эйлера от времени, тозаданы уравнения сферического движениятвердого тела:ψ = f1 (t),θ = f2 (t),ϕ = f3 (t).Помимо углов Эйлера возможно задание сферического движения твердого телаи при помощи других параметров, например, корабельных углов — крена, тангажаи курса.Сферическое движение можно рассматривать как три одновременно происходящих вращения вокруг оси Oz, линииузлов и оси Oζ. Мерами изменения угловЭйлера являются соответствующие угловые скорости:ω1 = ψ̇,ω2 = θ̇,ω3 = ϕ̇.Скорости точек твердого тела при сферическом движении.Мгновенная ось вращенияТеорема.

Скорость любой точки тела при его сферическом движении находится как вращательная вокруг мгновенной оси вращения с угловой68ЛЕКЦИЯ 13СФЕРИЧЕСКОЕ И СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛАскоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращений:~v = ω~ × ~r,Вектор ω~ называется мгновенной угловойскоростью.Из определения векторного произведения−−→следует, что если векторы ω~ и OM направленыпо одной прямой, то ~v = 0. Это доказывает существование мгновенной оси вращения, положениекоторой совпадает с направлением вектора ω~ . Приизвестном положении мгновенной оси вращениямодули скоростей точек тела определяются формулой: v = ωh.

Теорема доказана.Аналитически скорость может быть найдена по проекциям на оси подвижной или неподвижной систем координат.Найдем проекции скорости произвольной точки тела на оси подвижнойсистемы координат, для чего запишем выражения проекций ее радиус-вектора и угловых скоростей на соответствующие оси:где ω~ = ω~1 + ω~2 + ω~ 3 , ~r — радиус-вектор точки тела, проведенный изнеподвижного центра.Мгновенная ось вращения — геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю. (Существование мгновенной оси можно проиллюстрировать на примере качения без проскальзывания подвижного конуса по неподвижному. Очевидно, что мгновеннойосью является линия контакта между конусами.)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим сначала сложение двух вращательных движений (угол θ, например, будем считать фиксированным) и определим скорость произвольной точки тела по теореме сложения скоростей, принимая вращение с угловой скоростью ω~1за переносное, а вращение с угловой скоростью ω~3за относительное движения.По теореме сложения скоростей:~v = ~vr + ~ve .По формуле Эйлера:−−→~vr = ω~ 3 × OM ,−−→~ve = ω~ 1 × OM ,−−→~ 3 ) × OM .и ~v = (~ω1 + ω69−−→OM (ξ, η, ζ),ω~ 1 (ω1 sin θ sin ϕ, ω1 sin θ cos ϕ, ω1 cos θ),ω~ 2 (ω2 cos ϕ, −ω2 sin ϕ, 0),ω~ 3 (0, 0, ω3 ),ω~ (ω1 sin θ sin ϕ + ω2 cos ϕ, ω1 sin θ cos ϕ − ω2 sin ϕ, ω1 cos θ + ω3 ).Записываем векторное произведение ~i ~j~v = ωξ ωη ξ ηв координатной форме~k ωζ .ζ ~ 3 есть абсолютная угловая скорость в случае сложенияВектор ω~ =ω~1 + ωдвух вращательных движений.Так как в общем случае сферического движения тело одновременноучаствует в трех вращениях, абсолютная угловая скорость определяется~2 + ω~ 3.равенством ω~ =ω~1 + ω(Принимаем результат предыдущего сложения двух вращательных движений за переносное движение, а вращение с угловой скоростью ω~ 2 заотносительное.) Скорость любой точки тела, совершающего сферическоедвижение, находится по формуле Эйлера:Предлагается в качестве упражнения найти проекции вектора скорости наоси неподвижной системы координат.−−→~v = ω~ × OM .Следствие.

Проекции скоростей двух точек тела при его сферическомдвижении на направление вектора, соединяющего эти точки, равны междусобой.Откуда:vξ = ζ(ψ̇ sin θ cos ϕ − θ̇ sin ϕ) − η(ψ̇ cos θ + ϕ̇),vη = ξ(ψ̇ cos θ + ϕ̇) − ζ(ψ̇ sin θ sin ϕ + θ̇ cos ϕ),vζ = η(ψ̇ sin θ sin ϕ + θ̇ cos ϕ) − ξ(ψ̇ sin θ cos ϕ − θ̇ sin ϕ).70ЛЕКЦИЯ 13СФЕРИЧЕСКОЕ И СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛАДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим точки A и B тела, совершающего сферическое движение.Их скорости определяются равенствами−→−−→~νA = ω~ × OA, ~νB = ω~ × OB.−−→Вычитая одно равенство из другого и умножая скалярно на вектор AB,находим−−→−→ −−→ −−→−−→−−→ −−→~ ×(OA−OB) ·AB =⇒ (~νA −~νB )·AB = (~ω ×BA)·AB = 0.(~νA −~νB )·AB = ωОткуда−−→−−→~νA · AB = ~νB · ABили−→ ·~−→ ·~пр−νA = пр−νB .ABABСледствие доказано.Уравнения свободного движения твердого телаПоложение свободного твердого тела в пространстве можно задать тремя координатами некоторой точки тела, принятой за полюс, и тремя угламиЭйлера, определяющими поворот тела вокруг этого полюса.

Т. е. уравнениясвободного движения твердого тела имеют вид:xA = f1 (t),yA = f2 (t),zA = f3 (t),ψ = f4 (t),θ = f5 (t),ϕ = f6 (t).Скорости точек тела при свободном движенииТеорема. Скорость любой точки свободного твердого тела равнагеометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее сферическом движении вокруг полюса.71ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.По теореме сложения скоростей~v = ~vr + ~ve . Переносное движение —поступательное с полюсом A: ~ve == ~vA .

Относительное движение —~ . Следосферическое ~vr = ω~ × AMвательно:~.~v = ~vA + ω~ × AMТеорема доказана.Следствие. Проекции скоростей двух точек тела при его свободном движении на направление вектора, соединяющего эти точки, равнымежду собой.Доказывается аналогично следствию из теоремы о скоростях точек присферическом движении.Литература:[2, § 101, 102, 104, 107–109];[4, п. 14.3, 14.8].ЗАКОНЫ ГАЛИЛЕЯ – НЬЮТОНАЛЕКЦИЯ 14Законы динамики1.

Законы Галилея – Ньютона.2. Инерциальная система отсчета.3. Основные задачи динамики.4. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.5. Уравнения относительного движения.В основании динамики лежат установленные в результате обобщенияопыта законы.Законы Галилея1 – Ньютона21. Закон инерции.Материальная точка сохраняет равномерное и прямолинейное движение или находится в состоянии покоя до тех пор, пока на нее не подействуетсила.2. Закон пропорциональности силы и ускорения.Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение,которое пропорционально силе и направлено в сторону ее действияm~a = F~ — основное уравнение динамики,m — масса точки, являющаяся мерой ее инертности.1 Галилей Галилео (15.02.1564–8.01.1642) — итальянский физик, механик, математик,астроном, один из основателей точного естествознания.