рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 18

Тело массы m упало с высоты h на чашкупружинных весов (рис.6.10).Массы чашки и пружины пренебрежимомалы, коэффициент жесткости пружины k. Прилипнув к чашке, телоначинает совершать гармонические колебания в вертикальнойплоскости. Найти амплитуду колебаний,mсчитая их гармоническими.Решение.После падения грузаhпружина будет сжиматься на y1 , гдечашка остановится. В соответствии сy1закономсохраненияэнергии2kymg (h + y1 ) = 1 .2Решая квадратное уравнениеky12− mgy1 − mgh = 0 ,y2найдеммаксимальноесжатиепружиныРис.6.10110mg ± m 2 g 2 + 4 k 2 mgh mg ± m 2 g 2 + 2kmghy1 ==.2⋅k 2kТак как y1 > 0 , а подкоренное выражение больше m 2 g 2 , тоmg + m 2 g 2 + 2kmgh.y1 =kПоложение равновесия чашки с грузом определяется как mg = ky0 .mgy0 =.

Амплитуда колебаний – это максимальноеОткудаkотклонение от положения равновесия, поэтомуmg + m 2 g 2 + 2kmgh mgm 2 g 2 + 2kmgh.−=A = y1 − y0 =kkkЗадача 6.10. Логарифмический декремент затухания колебанийδ = 0,003. Определить число полных колебаний N, которые долженсовершить маятник, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в двараза.Решение. Число полных колебаний N = t T , где T - периодзатухающих колебаний. Логарифмический декремент затуханияδ = βT , где β - коэффициент затухания.

Амплитуда затухающихколебаний равна A(t ) = A0e −βt .По условию задачи A(t ) = A0 2 , поэтому A0 2 = A0e −βt ; eβt = 2 .Логарифмируя, получим βt = ln 2 , откуда t = ln 2 β . ТогдаN = t T = ln 2 β T = ln 2 δ = 231 .Задача 6.11.Колебательная система совершает затухающиеколебания с частотой ν = 1000 с-1. Определить частоту собственныхколебаний системы, если резонансная частота ν p = 998 с-1.Решение. Круговая частота затухающих колебаний равнаω = ω02 − β2 . Так как ω = 2πν , ω0 = 2πν 0 ,то2πν = 4π2ν 02 − β2 , или ν = ν 02 − β2 4π2 .Резонансная частота ω p = ω02 − 2β2 ,или ν p = ν 02 − 2β2 4π2 = ν 02 − β2 2π 2 .Решая уравнения совместно находим ν 0 , исключая β :ν 2 = ν 02 − β2 4π2 ; ν 2p = ν 02 − β2 2π2 Вычитаем 2ν 2 − ν 2p = 2ν 02 − ν 02 = ν 02Находим ν 0 = 2ν 2 − ν 2p = 1002 c −1 .1116.3.Задачи для самостоятельного решения6.12.

Через какое время от начала движения точка, совершающаягармоническое колебание, сместится относительно положенияравновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т = 24 с,начальная фазаϕ0 = 0.6.13. Найти амплитуду А, период Т, частоту ν и начальную фазу⎛ 39,2t + 5,2 ⎞ϕ0 колебания, заданного уравнением x = 5 sin ⎜⎟ см. Здесь t5⎝⎠в секундах.6.14.

Точка совершает гармонические колебания по законусинуса. Наибольшее смещение точки А = 100 см, наибольшая скоростьv = 20 см/с. Написать уравнение колебаний и найти максимальноеускорение amax точки.6.15. Написать уравнение гармонического колебательногодвижения с амплитудой А = 50 мм, периодом Т = 4 с и начальной фазойϕ0 = π/4. Найти смещение x колеблющейся точки от положенияравновесия при t = 0 и t = 1,5 c.⎛ πt ⎞6.16.

Уравнение движения точки дано в виде x = sin ⎜ ⎟ . Найти⎝6⎠моменты времени t, в которые достигаются максимальная скорость имаксимальное ускорение.6.17. Точка колеблется гармонически по закону x = x0sin (ωt +ϕ0). Найти максимальные значения скорости и ускорения точки.6.18. Начальная фаза гармонического колебания ϕ0 = 0.

Черезкакую долю периода скорость точки будет равна половине еемаксимальной скорости?6.19. Как изменится период колебания математическогомаятника при перенесении его с Земли на Луну?6.20. Точка равномерно вращается по окружности противd =часовой стрелки с периодом Т = 12 c. Диаметр окружности20 см. Написать уравнение движения проекции точки на прямую,касательную к окружности. За начало отсчета принять момент, когдаточка, вращающаяся по окружности, проходит через точку касания.6.21.

Точка совершает гармонические колебания с амплитудойА = 10 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение этих колебаний,считая, что при t = 0 смещение x = 0. Определить также фазу ϕ длядвух моментов времени: когда смещение точки х = 6 см; 2) когдаскорость точки v = 10 см/c.6.22. Найти зависимость скорости гармонического колебанияматериальной точки от смещения.1126.23. Через какое время от начала движения точка, совершающая⎛ πt ⎞колебательное движение по уравнению x = 7 sin ⎜ ⎟ , проходит путь⎝2⎠от положения равновесия до максимального смещения?Уравнениедвиженияточкидановвиде6.24.⎛ πt π ⎞x = 2 sin ⎜ + ⎟ см.

Найти период колебания Т, максимальную⎝ 2 4⎠скорость vmax и максимальное ускорение amax точки.6.25 Построить график зависимости скорости гармоническогоколебания материальной точки x = 5 sin(2 πt+ ϕ0) от смещения.6.26. Найти зависимость ускорения гармонического колебанияx = x0 sin(ωt+ ϕ0) от смещения.6.27. Точка колеблется гармонически. Амплитуда колебанийА = 5 см, круговая частота ω = 2 c-1, начальная фаза ϕ0 = 0.

Определитьускорение точки в момент, когда ее скорость v = 8 см/с.6.28. Найти закон, по которому изменяется со временемнатяжение F нити математического маятника, совершающегоколебание ϕ = ϕmcos(ωt). Масса маятника m, длина l.6.29. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси xоколо положения равновесия x = 0. Частота колебаний ω = 4 c-1. Внекоторый момент координата частицы x0 = 25 см и ее скорость v0 =100 см/с.

Найти координату x и скорость v частицы через t = 2,4 спосле этого момента.6.30. Точка совершает гармоническое колебание. Периодколебаний Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза ϕ0 = 0.Найти скорость v точки в момент времени, когда смещение точки отположения равновесия x = 25 мм.6.31. Точка совершает гармонические колебания. Максимальнаяскорость точки vmax = 10 см/c, максимальное ускорение amax = 100 см/c2.Найти циклическую частоту ω колебаний, их период t и амплитуду A.Написать уравнение колебаний.6.32.

Найти зависимость ускорения гармонического колебанияx = x0 sin(ωt + ϕ0) от скорости.6.33. Написать уравнение гармонических колебаний, еслимаксимальное ускорение amax = 49,3 см/c2, период колебаний Т = 2 с исмещение точки от положения равновесия в начальный моментвремени x0 = 25 мм.6.34. Точка совершает гармонические колебания. В некоторыймомент времени t смещение точки x1 = 5 см.

При увеличении фазывдвое смещение точки стало x2 = 8 cм. Найти амплитуду А колебаний.1136.35. Начальная фаза колебаний точки равна π/3. Периодколебаний Т = 0,06 с. Определить ближайшие моменты времени, вкоторые скорость и ускорение в два раза меньше амплитудныхзначений.6.36. Шарик массы m = 50 г подвешен на пружинес коэффициентом жесткости k = 49 Н/м. Шарик поднимают до такогоположения, когда пружина не напряжена, и отпускают без толчка.Пренебрегая трением и массой пружины, найти а) период Т иамплитуду А возникших колебаний; б) направив ось X вниз исовместив точку х = 0 с начальным положением шарика, написатьзакон движения шарика.6.37.

Найти круговую частоту и амплитуду гармоническихколебаний частицы, если на расстояниях x1 и x2 от положенияравновесия ее скорость равна соответственно v1 и v2.6.38. Начальная фаза гармонического колебания ϕ = 0. Присмещении точки от положения равновесия x1 = 2,4 см скорость точкиv1 = 3 см/с, а при смещении x2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найтиамплитуду А и период Т этого колебания.6.39. Точка совершает гармонические колебания. В некоторыймомент времени t смещение точки x = 5 см, ее скорость v = 20 см/c иускорение a = 80 cм/с2. Найти амплитуду А, циклическую частоту ω,период колебаний Т и фазу ϕ колебаний в рассматриваемый моментвремени.Присложениидвуходинаковонаправленных6.40.гармонических колебаний с одной и той же частотой и амплитудами,равными 2 и 4 см, получается гармоническое колебание с амплитудой5 см.

Найти разность фаз складываемых колебаний.6.41. Пренебрегая трением, определить частоту ω малыхколебаний ртути, налитой в U-образную трубку с внутреннимсечением σ = 0,5 cм 2. Масса ртути m = 136 г.Плотность ртути равна13600 кг/м3 .6.42. Найти графически амплитуду А колебаний, которыевозникают при сложении следующих колебаний одного направления:x1 = 3 cos (ωt + π/3), x2 = 8 sin(ωt + π/6).6.43. Найти графически амплитуду А колебаний, которыевозникают при сложении следующих колебаний одного направления:x1 = 3 cos (ωt), x2 = 5 cos (ωt + π/4), x3 = 6 sin (ωt).6.44.

Уравнение колебания материальной точки массой m = 10г⎛ π π⎞имеет вид x = 5 sin ⎜ t + ⎟ см.Найти максимальную силу,4⎠⎝6действующую на точку, и полную энергию E колеблющейся точки.1146.45. Материальная точка массой m = 0,05 кг совершаетгармонические колебания, уравнение которых имеет вид:x = 0,1 sin(5t) м.

Найти силу F, действующую на точку: 1) в момент,когда фаза колебания ϕ = 30°,2) в положении наибольшегоотклонения точки.6.46. Материальная точка одновременно участвует в двухвзаимно перпендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями⎛ πt ⎞x = 2 cos ⎜ ⎟ и y = – cos (πt). Определить уравнение траектории точки.⎝2⎠6.47. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одногонаправления, которые происходят по законам x1 = a cosωt иx2= a cos 2ωt. Найти максимальную скорость точки.6.48.

При сложении двух гармонических колебаний одногонаправления уравнение результирующего колебания точки имеет видx = a cos(2,1t) cos(50,0t), где t - время в секундах. Найти круговыечастоты складываемых колебаний и период биений.6.49. Точка движется в плоскости XY по закону x = A sin(ωt), y= B cos(ωt), где t, A, ω - постоянные. Найти: а) уравнение траекторииrточки y(x) б) ускорение a точки в зависимости от ее радиус-вектора rотносительно начала координат.6.50. Найти уравнение траектории y(x) точки, если она движетсяпо закону x = a sin(ωt), y = a sin(2ωt).

Изобразить график найденнойтраектории.6.51. Найти уравнение траектории y(x) точки, если она движетсяпо закону x = a sin(ωt), y = a cos(2ωt). Изобразить график найденнойтраектории.6.52. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральнойпружине на 600 г, то период колебанийrOгруза возрастает в 2 раза. Определить массупервоначального груза.6.53. Однородный стержень длины lсовершаетмалыеколебаниявокругO2горизонтальной оси, перпендикулярной кстержню и проходящей через его верхнийO1Rконец.