рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 16

Какой путь h пройдет ракета за первуюсекунду своего падения?5.60. Планета Марс имеет два спутника Фобос и Деймос. Первый4находится на расстоянии r1 = 0,95 ⋅ 10 км от центра масс Марса,второй - на расстоянии r2 = 2,4 ⋅ 10 км . Найти периоды обращения Т1и Т2 этих спутников вокруг Марса.5.61. Спутник Земли обращается вокруг нее по окружности навысоте h = 3600 км. Найти линейную скорость спутника.

РадиусЗемли R и ускорение свободного падения g считать известными.5.62. Искусственный спутник Луны движется по круговой орбитена высоте h = 20 км. Найти линейную скорость v движения этогоспутника, а также период его обращения Т вокруг Луны.5.63.

Найти вторую космическую скорость для Луны.5.64. Луна движется вокруг Земли со скоростью v1 = 1,02 км/с,среднее расстояние Луны от Земли равно 60,3 радиуса Земли R.Определить по этим данным, с какой скоростью v2 должен двигатьсяискусственный спутник, обращающийся вокруг Земли нанезначительной высоте над ее поверхностью?5.65. Ближайший спутник Марса находится на расстоянииr = 9 Мм от центра планеты и движется вокруг нее со скоростьюv=2,1 км/с.

Определить массу Марса M.5.66. Найти период обращения Т вокруг Солнца искусственнойпланеты, если известно, что большая полуось R1 ее эллиптическойорбиты превышает большую полуось R2 земной орбиты наΔR = 0,24 ⋅ 108 км .5.67. Один из спутников планеты Сатурн находитсяприблизительно на таком же расстоянии r от планеты, как Луна отЗемли, но период Т его обращения вокруг планеты в 10 раз меньше,чем у Луны.

Определить отношение масс Сатурна и Земли.5.68. Большая полуось R1 эллиптической орбиты первого в миреискусственного спутника Земли меньше большой полуоси R2 орбитывторого спутника на ΔR = 800 км. Период обращения вокруг Землипервого спутника в начале его движения был Т1 = 96,3 мин. Найтибольшую полуось R2 орбиты второго искусственного спутника Земли ипериод T2 его обращения вокруг Земли.5.69. Период обращения одного из спутников Юпитера Т1 = 2года, его среднее расстояние от планеты r1 = 23,5 млн. км. Периодобращения Юпитера вокруг Солнца Т2 = 12 лет, его среднее расстояниеот Солнца r2 = 7 млн.

км. Определить отношение массы Солнца M С кмассе Юпитера M Ю .45.70.МинимальноеудалениеотповерхностиЗемли97космического корабля "Восток-2" составляло hmin = 183 км, амаксимальное удаление - hmax = 244 км. Найти период обращениякорабля вокруг Земли.5.71. Какова будет скорость v ракеты на высоте, равной радиусуЗемли, если ракета запущена с Земли с начальной скоростью v0 = 10км/c? Сопротивление воздуха не учитывать.5.72. Космический корабльвывели на круговую орбиту вблизи поверхности Земли. Какуюдополнительную скорость в направлении его движения необходимократковременно сообщить кораблю, чтобы он мог преодолеть земноетяготение?5.73.

Ракета запущена с Земли с начальной скоростью v0 =15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, еслирасстояние ракеты от Земли будет бесконечно возрастать?Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кромеЗемли, не учитывать.5.74. С какой линейной скоростью v будет двигатьсяискусственный спутник Земли по круговой орбите: а) у поверхностиЗемли; б) на высоте h = 200 км и h = 7000 км от поверхности Земли?Найти период обращения Т спутника Земли при этих условиях.5.75.

Найти центростремительное ускорение an, с которымдвижется по круговой орбите искусственный спутник Земли,находящийся на высоте h = 200 км от поверхности Земли.5.76. Радиус Луны R1 = 0,27R2 радиуса Земли. Средняя плотностьρ1 = 0,61ρ2 - средней плотности Земли. Зная ускорение свободногопадения на поверхности Земли, определить по этим данным ускорениеg 1 свободного падения на поверхности Луны.5.77. Период обращения искусственного спутника ЗемлиT = 2 часа .

Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высотеh над поверхностью Земли движется спутник.986.Колебания6.1.Основные понятия и законыДвижение называется периодическим, еслиx(t ) = x(t + T ) , где T - период.(6.1)Колебание–это хпериодическое движение околоположения равновесия. На рис.6.1 вкачествепримераизображеныпериодическиенегармоническиеколебанияоколоположения 0равновесия x0 = 0.tПериод T – это время, заTкоторое совершается одно полноеколебание.Рис.6.1Частота – число полныхколебаний в единицу времени1ν= .(6.2)TКруговая (циклическая) частота2πω = 2πν =.(6.3)TГармоническими называются колебания, при которых смещениеточкиот положения равновесия в зависимости от времениизменяется по закону синуса или косинуса(6.4)x = A sin (ω0t + α ) ,где A - амплитуда колебаний (максимальное смещение точки отположения равновесия), ω0 - круговая частота гармоническихколебаний, ω0t + α - фаза, α - начальная фаза (при t = 0).Система, совершающая гармонические колебания, называетсяклассическим гармоническим осциллятором или колебательнойсистемой.Скоростьи ускорениепри гармонических колебанияхизменяются по законамdxv== x& = Aω0 cos(ω0t + α ) ,(6.5)dtd 2xa = 2 = &x& = − Aω02 sin (ω0t + α ) .(6.6)dtИз соотношений (6.6) и (6.4) получимa = −ω02 x ,(6.7)99откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямопропорционально смещению точки от положения равновесия инаправлено противоположно смещению.Из уравнений (6,6), (6,7) получим&x& + ω02 x = 0 .(6.8)Уравнение (6.8) называется дифференциальным уравнениемгармонических колебаний, а (6.4)r является его решением.

Подставивr(6.7) во второй закон Ньютона F = ma , получим силу, под действиемкоторой происходят гармонические колебанияF = −mω02 x .(6.9)Обозначим mω02 = k .(6.10)Из (6.9), (6.10) получимrrF = −kx .(6.11)Эта сила, прямо пропорциональная смещению точки отположения равновесия и направленная противоположно смещению,называется возвращающей силой, k называется коэффициентомвозвращающей силы. Таким свойством обладает сила упругости. Силыдругой физической природы, подчиняющиеся закону (6.11),называются квазиупругими.Колебания, происходящие под действием сил, обладающихсобственными(свободнымисвойством(6.11),называютсягармоническими) колебаниями.Из соотношений (6.3),(6.10) получим круговую частоту и периодэтих колебанийω0 =km; T0 = 2π.mk(6.12)При гармонических колебаниях по закону (6.4) зависимостикинетической и потенциальной энергии от времени имеют вид2mv 2 mA2ω0EK ==cos2 (ω0t + α ) ,22(6.13)2kx 2 mA2ω0U==sin 2 (ω0t + α ) .22(6.14)100Полнаясохраняетсяэнергиявпроцессегармоническихколебаний(6.15)EK + U = const .Подставляя в (6.15) выражения (6.4) и (6.5) для x и v, получимmA2ω02.(6.16)E = EK max = U max =2Примером классического гармоническогоосциллятора является легкая пружина, к которой(рис.6.2).

Коэффициентподвешен груз массой mвозвращающей силы k называется коэффициентомжесткости пружины. Из второго закона НьютонаxF = – kx получимдля груза на пружинеуравнение,совпадающеепоформесдифференциальным уравнением гармонических mxколебаний (6.8) Следовательно, груз на пружинепри отсутствии сил сопротивления среды будетсовершать гармонические колебания (6.4).Рис.6.2Гармонические колебания (6.4) можнопредставить в виде проекции на оси координат вектора, величинакоторого равна амплитуде A, вращающегося вокруг начала координат сугловой скоростью ω 0 . На этом представлении основан методвекторных диаграмм сложения гармонических колебаний содинаковой частотой, происходящих по одной осиx1 = A1 sin (ωt + ϕ1 ) ,(6.17)x2 = A2 sin (ωt + ϕ2 ) .Амплитуда результирующего колебания определяется потеореме косинусовA = A12 + A22 − 2 A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) .(6.18)Начальная фаза результирующего колебания ϕ может бытьнайдена из формулыA sin ϕ1 + A2 sin ϕ2.(6.19)tg ϕ = 1A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2При сложении однонаправленных колебаний с близкимичастотами ω1 и ω2 возникают биения, частота которых равна ω1 − ω2 .Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимноперпендикулярных колебанияхx = A1 sin (ωt + ϕ1 ) ,(6.20)y = A2 sin (ωt + ϕ2 )имеет вид101x2 y 2xy+−2cos(ϕ1 −ϕ2 ) = sin 2 (ϕ2 − ϕ1 ) .(6.21)22A1 A2A1 A2Если начальные фазы ϕ1 = ϕ2 , то уравнение траектории – прямаяAAy = 2 x , или y = − 2 x .A1A1Если разность фаз Δϕ = ϕ1 − ϕ2 = π 2 ,x2 y2точка движется по эллипсу 2 + 2 = 1 .A1 A2dOФизический маятник – это твердое тело,способное совершать колебания вокругзакрепленной оси, проходящей через точку Оϕ,не совпадающую с его центром масс СC(рис.6.3).

Колебания являются гармоническимипри малых углах отклонения.Момент силы тяжести относительно оси,rпроходящей через точку О, являетсяmgвозвращающим моментом и выражаетсясоотношениемrrРис.6.3M = mgd sin ϕ ≈ mgdϕ .(6.22)Основное уравнение динамики вращательного движения имеетвид (см. формулу (4.18))M = I ⋅ε ,(6.23)где I - момент инерции маятника относительно оси, проходящей черезточку О, ε - угловое ускорение.Из (6.23), (6.22) получим дифференциальное уравнениегармонических колебаний физического маятникаd 2ϕ mgd+ϕ= 0.(6.24)dt 2I(6.25)Его решения ϕ = ϕ0 sin ω0t ,mgd.IИз (6.3) получим формулу периода колебаний физическогомаятникаIT0 = 2π.(6.26)mgdМатематический маятник – материальная точка, подвешеннаяна невесомой нерастяжимой нити длиной L.