рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 20

Релятивистская механикапри малых скоростях переходит в классическую механику Ньютона.Релятивистское сокращение длины стержняl = l0 1 − v02 c 2 ,(7.5)где l0 - собственная длина, т.е. длина стержня в системе K ′ ,относительно которой он покоится, располагаясь параллельно оси x′ ,l - длина стержня в системе x , относительно которой стерженьдвижется со скоростью v = v0 .Релятивистское сокращение промежутков времениΔt 0Δt =,(7.6)1 − v02 c 2где Δt0 - собственное время, т.е. интервал времени между двумясобытиями, происходящими в одной точке в системе K ′ , измеренныйпо часам этой системы, Δt - интервал времени между двумясобытиями, в системе K , измеренный по часам системы K .Релятивистская массаm0m=,(7.7)1 − v02 c 2где m0 - масса покоя, т.е.

масса в системе отсчета, относительнокоторой частица неподвижна ( K ′ ), v = v0 , v - скорость частицы ( K ).Релятивистский импульсrm0vrrp = mv =.(7.8)1 − v02 c 2x=121Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона) с учетом(7.8) имеет в релятивистской динамике тот же вид, что и вклассическойr dpr d (mvr )F==.(7.9)dtdtВ релятивистской механике полной энергией E называется суммакинетической энергии T и энергии покоя E0E = T + E0 .(7.10)Связь массы и энергииE = mc 2 ,E0 = m0c 2 .(7.11)(7.12)Учитывая соотношения(7.12), (7.11), из (7.10) получимвыражение для кинетической энергииm0c 222T = E − E0 = mc − m0c =− m0c 2 .(7.13)221 − v0 cПолная энергия и импульс релятивистской частицы связанысоотношениемE 2 − p2c2 = m2c4 .(7.14)0Связь кинетической энергии и импульса релятивистскойчастицы находим по формулеp 2c 2 = T (T + 2m0c 2 ).(7.15)1227.2.Примеры решения задачЗадача 7.1.

Вдоль оси х инерциальной системы отсчета движетсяракета со скоростью v = 0,9c, проходящая начало координат (точку О) вt = 9 с вслед за ракетоймомент времени t = 0 (см. рис.7.1). В моментпосылается световой сигнал из точки О, а с ракеты - световой сигнал вточку О. Найти: 1) момент времени t 2 , когда сигнал из точки Одостигнет ракеты; 2) момент времени t3 , когда сигнал с ракеты придетв точку О.Решение. В момент времени, когда из точки О испускаетсясветовой сигнал, ракета находится от точки О на расстоянии x1 = vt1 .Скорость, с которой световой сигнал догоняет ракету, равна (с – v).Следовательно, время достижения сигналом ракетыxvtΔt1 = t2 − t1 = 1 = 1 , oткудаc−v c−vvtc−v+vcttt2 = t1 + 1 = t1= 1 = 1 = 9 c.c−vc−vc − v 1− v cСкорость сигнала, идущего от ракеты к точке О, равна c.x vtПоэтому Δt2 = t3 − t1 = 1 = 1 , cледовательно,ccvtt3 = t1 + 1 = t1 (1 + v c ) = 9(1 + 0,9 ) = 17,1c .crЗадача 7.2.

ИмеютсяvB′две пары часов, одна из A′BB′ )которых( A′ ,движется относительносодругой(А,В)l′Aскоростью v (рис.7.2).lРасстояниемеждучасами А и В равно l,Рис.7.2они синхронизированы.Аналогично поступили с часами A′ и B′ в их системе отсчета.Момент, когда часы B′ и А оказались напротив друг друга, взятза начало отсчета. Определить: 1) показания часов B′ и В, когдаони окажутся напротив друг друга (с точки зрения наблюдателя,связанного с часами В); 2) показания часов A′ и А, когда ониокажутся напротив друг друга (с точки зрения наблюдателя,связанного с часами А).Решение. Показания часов В и B′ , когда они напротив другlv2 lv2друга, τ B = ; τ′B = τ B 1 − 2 = 1 − 2vcvc123Показания часов А и A′ : τ A =l′=vl 1−vv2c 2 ; τ′ =AτAl= .vv1− 2c2Задача 7.3.

Частица движется в системе К вдоль оси х соскоростью v x и ускорением a x . Система отсчета K ′ движетсявдоль оси x системы К со скоростью u. Чему равны скорость иускорение частицы в этой системе (см. рис.7.1).Решение. Воспользуемся преобразованиями Лоренца11.x′ = γ ( x − ut ); γ ==1 − β2u21− 2cПродифференцируем: dx1 = γ (dx − βcdt ) ,β ⎞⎛ ux ⎞⎛t ′ = γ⎜ t − 2 ⎟; dt ′ = γ⎜ dt − dx ⎟ .c ⎠⎝ c ⎠⎝Искомая скоростьdx− βcdx′ γ (dx − βcdt ) dtv −u=v′x === x,β dxuvxβ ⎞⎛dt ′1− 2γ⎜ dt − dx ⎟ 1 −cdtcc⎝⎠dxгде vx = . Это закон сложения скоростей.dtdv′Ускорение a′x = xdt′⎛ uvx ⎞′⎛ uvx ⎞ ⎛ uvx ⎞⎛ udv ⎞⎜1 − 2 ⎟(vx − u ) − (vx − u )⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟dvx − (vx − u )⎜ − 2 x ⎟c ⎠c ⎠ ⎝c ⎠⎝⎝ c ⎠=dv′x = ⎝=22⎛ uvx ⎞⎛ uvx ⎞⎜1 − 2 ⎟⎜1 − 2 ⎟c ⎠c ⎠⎝⎝⎛ u2 ⎞⎜⎜1 − 2 ⎟⎟dvxc ⎠.=⎝2⎛ uvx ⎞⎜1 − 2 ⎟c ⎠⎝124⎛ u2 ⎞⎛ u2 ⎞⎜⎜1 − 2 ⎟⎟dvx⎜⎜1 − 2 ⎟⎟dvxc ⎠dv′x⎝ c ⎠⎝===a′x =2−1 22dt ⎛ uvx ⎞ ⎡⎛ β ⎞ ⎤ ⎛ uvx ⎞ ⎛ u 2 ⎞udx⎡⎤⎜1 − 2 ⎟ γ ⎢dt − ⎜ ⎟dx ⎥ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ dt ⎢1 − 2 ⎥cc⎝⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎦ ⎝c ⎠ ⎝ c ⎠⎣ c dt ⎦3232⎛ u2 ⎞⎛ u2 ⎞⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ax ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟c ⎠c ⎠dv= x⎝= ⎝.33dt ⎛ uvx ⎞uv⎛⎞⎜1 − 2 ⎟⎜1 − 2x ⎟c ⎠c ⎠⎝⎝x0Задача 7.4.

Найтисобственную длинуxyBB0стержня, если влабораторнойсистеме отсчета егоyc, 0скорость v =2rдлина l = 1 м иvθуголмеждуxстержнеминаправлениемРис.7.3движения θ = 45°(рис. 7.3).Решение. Линейные размеры стержня в направлении движенияu2сокращаются x = x0 1 − 2 ; аcy0 остается постоянным.Длина стержня в лабораторной системе отсчета l 2 = x 2 + y02 ;yУгол наклона стержня tg θ = 0 ;xl2l2222222Поэтому l = x + x tg θ = x (1 + tg θ); x =;x=21 + tg θ1 + tg 2 θДлина стержня в собственной системе отсчета l0 = x02 + y02xlИз преобразований координат x0 =;x=v21 + tg 2 θ1+ 2cПодставив x в x0 и y0 , получим125x0 =l; y0 = x tg θ =l tg θ.1 + tg θ⎛ v ⎞⎜⎜1 − 2 ⎟⎟(1 + tg 2 θ)⎝ c ⎠Окончательно собственная длина стержня равна22⎛ v2 ⎞ 21 + ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ tg θl2l 2 tg 2 θ⎝ c ⎠l0 =l=+=22()1tg+θ⎞⎛⎛ v2 ⎞v⎜⎜1 − 2 ⎟⎟(1 + tg 2 θ )⎜⎜1 − 2 ⎟⎟(1 + tg 2 θ )⎝ c ⎠⎝ c ⎠⎛c2 ⎞1 + ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟1⎝ 4c ⎠ = l 7 = 1,08 м .=l6⎛c2 ⎞⎜⎜1 − 2 ⎟⎟(1 + 1)⎝ 4c ⎠Задача 7.5.

Собственное время жизни некоторой нестабильнойчастицы Δt0 = 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распадав лабораторной системе отсчета, в которой ее время жизниΔt = 20 нс?Решение. Соотношение между указанными временамиΔt0v 2 Δt0Δt =; 1− 2 == 0,5 .cΔtv21− 2c3v2 1 v2 3.Откуда, возведя в квадрат, получим 1 − 2 = ; 2 = ; v = c4 c42cПуть в лабораторной системе отсчета3Δtl = vΔt = c= 5,16 м .2Задача 7.6.

На 1 м 2поверхности, перпендикулярнойнаправлению солнечных лучей, около Земли вне ее атмосферыприходится 1,4 кВт энергии излучения Солнца (солнечная постоянная).Какую массу теряет Солнце в секунду за счет излучения света? Накакое время хватит 0,1 массы Солнца, чтобы поддерживать егоизлучение? Расстояние от Солнца до Земли150 млн км.

МассаСолнца M C = 2 ⋅ 1030 кг.126Решение. Солнечная постоянная κ = 1,4 кВт/м2 есть удельныйEпоток энергии (интенсивность) κ = , т.е. энергия, излучаемая сSτединицы поверхности в единицу времени всех длин волн.EПоток энергии (мощность) Φ = = κS = κ 4πl 2 - это энергия,τ2излучаемая в единицу времени, где 4πl - площадь сферы радиуса l.Используя связь массы и энергии E = mc 2 , получимmc 2 ⎛ m ⎞ 22Φ = κ 4πl == ⎜ ⎟c .τ⎝τ⎠Масса, которую теряет Солнце в единицу времени,2⎛ m ⎞ κ 4πl= 4,4 ⋅ 109 кг с .⎜ ⎟=2c⎝τ⎠1/10 массы Солнца –это 2 ⋅ 10 29 кг.Время, за которое масса Солнца уменьшится на 1/10,2 ⋅ 1029 2 ⋅ 10 29= 1,43 ⋅ 1012 лет .t==94,4 ⋅ 10⎛m⎞⎜ ⎟⎝τ⎠Задача 7.7.

Определить релятивистский импульс p икинетическую энергию T электрона, движущегося со скоростьюv = 0,9 c .Решение. Релятивистский импульсvm0vm0v,гдеβ=; β = 0,9 .p = mv ==cv21 − β21− 2cm βcp = 0 2 = 5,6 ⋅ 10−22 кг ⋅ м с .1− βКинетическая энергия – это разность полной энергии и энергиипокоя⎛⎞⎜⎟2mc10T = mc 2 − m0c 2 =− m0c 2 = m0c 2 ⎜− 1⎟ =22⎜⎟vv⎜⎟1− 21− 2cc⎝⎠⎛ 1⎞⎟ = 1,06 ⋅ 10−13 Дж .= m0c 2 ⎜−12⎜ 1− β⎟⎝⎠1277.3.Задачи для самостоятельного решения7.8. Мезон, входящий в состав космических лучей, движется соскоростью, составляющей 95% скорости света. Какой промежутоквремени Δτ по часам неподвижного наблюдателя соответствует однойсекунде "собственного времени" мезона?7.9. Отношение заряда движущегося электрона к его массе,определенное из опыта, равно 0,88·1011 Кл/кг.

Определить массудвижущегося электрона и его скорость.7.10. На сколько процентов изменится продольный размерпротона и электрона после прохождения ими разности потенциалов ϕ =106 В?7.11. Стержень движется в продольном направлении спостоянной скоростью относительно инерциальной К-системы отсчета.При каком значении v длина стержня в этой системе отсчета будет на η= 0,5 % меньше его собственной длины?7.12. Имеются две системы отсчета K и K', относительнаяскорость которых неизвестна.

Параллельный оси x стержень,движущийся относительно системы K со скоростью v2' = 0,1 c, имеет вэтой системе длину l' = 1,1 м. В системе К длина стержня равна l = 1 м.Найти скорость стержня vx в системе K и относительную скоростьсистем v0.7.13. Чему равно относительное приращение длины стержня Δl/l,если ему сообщить скорость v = 0,1с в направлении, образующем сосью стержня угол α? Вычислить Δl/l для α, равных 45° и 90°.7.14. Найти собственную длину стержня, если в лабораторнойсистеме отсчета его скорость v = c/2, длина l = 1 м, угол между ним инаправлением движения α = 45°.7.15. Имеются два одинаковых стержня.

Стержень 1 покоится всистеме отсчета К1, стержень 2 покоится в системе отсчета К2.Системы движутся друг относительно друга вдоль совпадающих осейx. Стержни параллельны этим осям. Какой стержень будет короче: а) всистеме K1, б) в системе K2?7.16. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катета = 5,00 м и угол между этим катетом и гипотенузой α = 30°.

Найти всистеме отсчета К', движущейся относительно этого треугольника соскоростью v = 0,866с вдоль катета а : а) соответствующее значениеугла α' ; б) длину l' гипотенузы и ее отношение к собственной длине.7.17. В системе К', относительно которой он покоится, стерженьимеет длину l' = 1 м и образует с осью x' угол α' = 45°. Определитьдлину стержня в системе К и угол α, который стержень образует с128осью x. Относительная скорость систем равна v0 = 0,5 с.7.18. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющегоформу куба, равна S0.