рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 15

Тогда для двух материальных точекdM и m можно записать закон всемирного тяготения в видеmdMmτdxdF = γ 2 = γ 2 .xxСилу найдем, проинтегрировав это выражениеa +lF = γm τ ∫adx1 ⎞ γmM⎛ 1⎞ a +l⎛1.= γmτ⎜ − ⎟= γmτ⎜ −⎟=2x⎝ x⎠ a⎝ a a + l ⎠ a (a + l )Задача 5.11. Напряженность гравитационного поля планеты наее поверхности равна g . Определить потенциал гравитационного поляв точке, удаленной от поверхности на расстояние, равное радиусу R .91m на поверхности планеты массыmMM радиуса R действует сила F = γ 2 .RСила и потенциальная энергия связаны соотношениемF = −gradU = − dU dr .mM.Откуда потенциальная энергия U = − γRrНапряженность гравитационного поля на поверхности планетыr FMg 0= ; следовательно, g 0= γ 2 , g 0 = −gradϕ .mRMПотенциал поля ϕ равен ϕ = − γ .RЕсли точка А удалена на расстояние 2R от центра планеты, тоM.потенциал в этой точке равен ϕ = − γ2RgRТак как g 0 R = γM , окончательно получим ϕ A = − 0 .2Решение.На тело массы925.3.Задачи для самостоятельного решения5.12.

Чему равна сила F взаимного притяжения двух космическихкораблей массой m = 10 т каждый, если они сблизятся до расстоянияr = 100 м?5.13. Найти силу гравитационного взаимодействия F междудвумя протонами, находящимися на расстоянии r = 10-16 м друг отдруга. Масса протона m = 1,67 10-27 кг.5.14. На какой высоте на поверхностью Земли напряженностьполя тяготения равна 0,5 Н кг ? Определить потенциал поля тяготенияна той же высоте.5.15.

Найти выражение для напряженности поля и силыгравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцомрадиусом R и массой М и материальной точкой массой m, лежащей вцентре кольца.5.16. Считая орбиту Земли круговой, определить линейнуюскорость v движения Земли вокруг Солнца.5.17. Найти выражение для напряженности поля и силыгравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцомрадиусом R и массой М и материальной точкой массой m, лежащей навысоте h на перпендикуляре к плоскости, восстановленном из центракольца.5.18.

Имеется тонкий однородный прямой стержень длиныl = 2a и массы М. На прямой, перпендикулярной к оси стержня,проходящей через его центр, на расстоянии b = 2a от центра находится1) Найти модуль силы F, с которой стерженьчастица массы m.действует на частицу. 2) Сравнить силу F с силой F', с которойвзаимодействовали бы материальные точки с массами M и m,находящиеся на расстоянии b = 2a друг от друга.5.19. Период обращения по круговой орбите спутника ЗемлиT = 3 ч. На какой высоте от поверхности Земли находится спутник?5.20. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу M.Определить силу гравитационного взаимодействия между этим дискоми материальной точкой массой m, лежащей: 1) на оси диска нарасстоянии h от него; 2) в центре диска.5.21.

Определить среднюю плотность Земли, если известна−1122гравитационная постоянная γ = 6,67 ⋅ 10 Н ⋅ м кг и радиус ЗемлиR = 6,4 ⋅ 103 км .5.22. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу M.Определить зависимость силы взаимодействия между этим диском иматериальной точкой массой m от ее расстояния h от плоскости диска внаправлении его оси симметрии. При каких h сила F будет93максимальной и минимальной?5.23. Найти вес тела массой m = 1 кг, находящегося между Землейи Луной на расстоянии x = 108 м от центра Земли.5.24. Два предмета одинаковой массы во время лунного затмениянаходятся в диаметрально противоположных точках земнойповерхности на прямой, проходящей через центры Луны, Земли иСолнца.

Вес какого из них будет больше?5.25. Найти изменение ускорения свободного падения тела наглубине h от поверхности Земли. На какой глубине ускорениесвободного падения составит 0,3 от ускорения свободного падения наповерхности Земли? Плотность Земли считать постоянной.5.26. Сравнить ускорение свободного падения у поверхностиЛуны gл с ускорением свободного падения у поверхности Земли gз.5.27.

Найти зависимость ускорения свободного падения g отвысоты h над поверхностью Земли. На какой высоте h ускорениесвободного падения gh составляет 0,25 ускорения свободного паденияg у поверхности Земли?5.28. Ускорение свободного падения на поверхности некоторойпланеты равно 1 м/c2. С каким ускорением начнет свободно падатьтело, поднятое над поверхностью планеты на высоту, равную 1)радиусу планеты, 2) 0,001 радиуса?5.29. Два медных шарика с диаметрами D1 = 4 см и D2 = 6 смнаходятся в соприкосновении друг с другом.

Найти гравитационнуюпотенциальную энергию Wп этой системы.5.30. Каково соотношение между высотой H горы и глубиной hшахты, если на вершине горы и на дне шахты ускорение свободногопадения одинаково?5.31. На какой высоте H над поверхностью Земли напряженностьполя тяготения g = 1 Н/кг?5.32. Какое ускорение Солнце сообщает телам, находящимся наЗемле?5.33. Найти расстояние d планеты от Солнца, если даны: массаМ , период обращения планеты вокруг СолнцаТ иСолнцагравитационная постоянная γ .5.34.РадиуспланетыМарсR = 3,4 ⋅ 103км,массаm = 6,4 ⋅ 1023 кг. Определить напряженность g поля тяготения наповерхности Марса.5.35.

Спутник нейтронной звезды вращается по круговой орбитев непосредственной близости от ее поверхности. Определить период173Т спутника, если плотность звезды ρ ≈ 10 кг м .5.36. На каком расстоянии r от центра Земли находится точка, в94которой напряженность Е суммарного гравитационного поля Земли иЛуны равна нулю? Принять, что масса M Земли в 81 раз большемассы m Луны и что расстояние l от центра Земли до центра Луныравно 60 радиусам R Земли.5.37.Определитьнапряженностьгравитационногополя,создаваемого тонкой бесконечной однородной нитью на расстоянии r0,используя принцип суперпозиции.

Масса единицы длины нитиравна σ.5.38. Найти силу гравитационного взаимодействия между тонкойоднородной нитью длиной l и массой M и материальной точкоймассой m, лежащей на отрезке перпендикуляра длиной r0,восстановленного к середине нити. Рассмотреть также случай l>>r0.5.39. Имеется бесконечная однородная пластина толщины d = 0,1м, плотность которой ρ = 10 г/см3. С какой силой F действует этапластина на находящееся вблизи от нее тело массы m = 1 кг?5.40.

С какой силой F в расчете на единицу площадипритягивают друг друга две параллельные бесконечные однородныепластины плотности ρ = 10 кг/см3 и и толщины d = 0,1 м каждая?5.41. Имеется тонкий однородный слой в виде полусферырадиуса R и массы M. В центре полусферы находится частица массы m.Найти модуль F силы, с которой слой действует на частицу.5.42. Найти напряженность g в пространстве между двумятонкими, параллельными, бесконечными, однородными плоскостями ивне их. Масса единицы поверхности равна σ.5.43.

Вывести выражение для напряженности гравитационногополя, создаваемого тонкой сферической оболочкой радиусом R внутрии вне оболочки. Масса единицы поверхности оболочки равна σ.Построить график зависимости g = f(r).5.44. Определить напряженность гравитационного поля,создаваемого тонкой бесконечной однородной нитью на расстоянии r0,используя аналог теоремы Гаусса для электростатики.

Масса единицыдлины нити равна σ.5.45. Найти напряженность g и потенциал ϕ гравитационногополя, создаваемого однородным шаром, масса которого M, радиус R.Нарисовать графики зависимостей g(r) и ϕ(r) для этого случая.5.46. С какой скоростью упадет на поверхность Луны метеорит,скорость которого вдали от Луны мала? Атмосферы на Луне нет.22RЛ = 1,74 ⋅ 10 6 м ,Масса Луны М Л = 7,3 ⋅ 10 кг , радиус Луны−1122гравитационная постоянная γ = 6,67 ⋅ 10 Н ⋅ м кг .5.47.

Определить значение потенциала ϕ гравитационного поляна поверхности Земли и Солнца.5.48. Определить высоту подъема снаряда зенитного орудия95запущенного вертикально вверх со скоростью v0 = 2 ⋅ 10 м с . Какойпуть пройдет снаряд за первую секунду своего падения на землю?Сопротивлением воздуха пренебречь.5.49. Во сколько раз кинетическая энергия Ек искусственногоспутника Земли, движущегося по круговой орбите, меньше егогравитационной потенциальной энергии U?5.50. Определить работу А, которую совершат силыгравитационного поля Земли, если тело массой М = 1 кг упадет наповерхность Земли 1) с высоты h, равной радиусу R Земли; 2) избесконечности.5.51. Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния,которое практически можно считать бесконечным. Начальная скоростьметеорита пренебрежимо мала.

Какую скорость v будет иметьметеорит в момент, когда его расстояние от Солнца будет равно11среднему расстоянию Земли от Солнца 1,49 ⋅ 10 м ?35.52. Два алюминиевых шарика ρ = 2,7 ⋅ 10 кг м радиусамиr1 = 3см иr2 = 5см соприкасаются друг с другом. Определитьпотенциальную энергию их гравитационного взаимодействия.5.53.Бурподнимаютнаповерхность Земли из скважины глубиной h. Определитьотносительную погрешность, допускаемую при определении работыпо поднятию бура, без учета изменения его веса.5.54. Каким должен быть радиус однородной сферы плот-ностьюρ = 5500 кг/м3, чтобы потенциал ее гравитационного поля в точке,лежащей на поверхности сферы был равен ϕ = 104 Дж/кг?5.55. Каким должен быть радиус однородной сферыплотностью 5500 кг/м3, чтобы потенциальная энергия молекулыазота, расположенной у поверхности сферы, в гравитационном поле−20этой сферы была равна 1,6 ⋅ 10 Дж ?5.56.

Какую работу необходимо совершить, чтобы тело массой500 кг стало спутником Солнца?5.57. Имеется тонкий однородный стержень массой m идлинной l . Для точки, находящейся на одной прямой со стержнем нарасстоянии a от его ближайшего конца, определить 1)потенциалгравитационного поля стержня; 2) напряженность его гравитационногополя.5.58. Космический корабль движется вокруг Земли по круговойорбите, радиус которой в η = 2,5 раза больше радиуса Земли. Какуюдополнительную скорость надо кратковременно сообщить кораблюв направлении от центра Земли по ее радиусу, чтобы он смог покинутьполе тяготения Земли?33965.59. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту H= 3200 км и начала падать.