рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 10

Определить работу сил сопротивления запервую секунду ее действия.3.36. Частица движется вдоль оси ОХ под действием силыrrF = (α v ) i , где v - модуль скорости частицы, α - положительнаяпостоянная. В начальный момент времени скорость частицы быларавна v0. Определить работу силы за первую секунду движения точки.3.37.

Частица движется вдоль оси ОХ под действием силы55rrF = – (αt v ) i , где t - время, v - модуль скорости частицы, α положительная постоянная. В начальный момент времени скоростьчастицы была равна v0. Определить работу силы за первую секундудвижения точки.3.38. Частица движется вдоль оси ОХ с начальной скоростью v0под действием некоторой силы так, что vx = α, где v - модуль скоростичастицы, x - ее координата, α - положительная постоянная. Найтиработу силы за первую секунду движения точки. Масса частицы m.3.39. Частица массы m движется вдоль оси ОХ с начальнойскоростью под действием некоторой силы так, что av2 = β, где a модуль ускорения частицы, v - модуль ее скорости, β - положительнаяпостоянная.

Определить работу силы за первую секунду движенияточки.rr3.40. На частицу массой m действует сила F = β v i , гдеβ - положительная постоянная, v - модуль скорости частицы. При t =r0 скорость частицы v = 0. Определить работу силы за первую секундудвижения частицы.3.41. Определить работу при построении правильной усеченнойпирамиды высотой h, если нижнее и верхнее основания ее - квадратысо сторонами a и b соответственно.

Плотность материала ρ.3.42. Частица массы m попадает в область, где на нее действуетвстречная тормозящая сила. Глубина x проникновения частицы в этуобласть зависит от импульса p частицы по закону:x = αp, где α заданная постоянная. Определить работу тормозящей силы наначальном отрезке пути длиной l.3.43. Материальная точка массы m начинает двигаться изсостояния покоя в направлении оси ОХ так, что ее скорость v связанас координатой x соотношением v = α x , гдe α = const.

Определитьсуммарную работу всех сил, действующих на материальную точку, запервую секунду после начала ее движения.A→v0h3.44. Материальная точка Асоскальзывает без начальной скоростис вершины гладкойгорки высотойH,имеющейгоризонтальныйтрамплин (рис.3.7). При какой высотеh трамплина материальная точкапролетит наибольшее расстояние S?Чему оно равно?Рис.3.7rРис.3.83.45.

В горизонтальной гладкойтрубе имеется кольцевая петля радиуса56r (рис.3.8), расположенная в вертикальной плоскости. С какойминимальной скоростью должен двигаться на горизонтальном участкетрубы тонкий гибкий канат длиныl > 2πr, чтобы пройти черезпетлю? Считать радиус петли r много большим радиусов трубы иканата.rrFv03.46. Частица массой m соскоростью v0 влетает в область действияα1тормозящей силы F под углом α1 кнаправлению этой силы.

Под какимуглом α2 (риc.3.9) она вылетит из этойобласти? Ширина области действиясилы F равна l. При каком условиичастица не сможет пересечь этуα2область?l3.47. В условиях задачи 3.46Рис.3.9тормозящая сила линейно зависит от l :F = kl, гдe k - положительная постоянная. Найти α2. При какомусловии частица не вылетит из этой области?3.48. В шар массой M= 200 гсвободнорасположенныйна→v1горизонтальной подставке на высоте h =20 м от поверхности Земли, попадает mпуля массой m = 10 г, летевшаягоризонтально со скоростью v1 = 500 м/си, пройдя через шар, продолжаетдвигаться в том же направлении соскоростью v2 = 200 м/с (рис.3.10).Определить, с какой скоростью шарупадет на землю.

Пуля проходит черезцентр шара. Сопротивлением воздуха пренебречь.→v2mhРис.3.103.49. Два неупругих шара с массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кгдвижутся со скоростями соответственно v1 = 8 м/с и v2 = 4 м/с.Определить увеличение ΔU внутренней энергии шаров при ихстолкновении в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший;2) шары двигаются навстречу друг другу.3.50. Два куска глины одинаковой массы начали двигаться повертикали одновременно навстречу друг другу: один с Земли сначальной скоростью v0, а другой с высоты h = v02/2g = 20 м безначальной скорости.

Через сколько времени после абсолютнонеупругого удара они упадут на землю? Сопротивлением воздухапренебречь.3.51. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой57длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара m1 = 0,2 кг,масса второго - m2 = 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центрподнимается на высоту h1 = 4,5 см и отпускают.

На какую высотуподнимутся шары после соударения, если: 1) удар упругий; 2) ударнеупругий?3.52. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар,подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Массапули m1 = 5 г, масса шара m2 = 0,5 кг. Скорость пули v0 = 500 м/с. Прикакой предельной длине стержня (расстояние от точки подвеса доцентра шара) шар от удара пули поднимается до верхней точкиокружности?3.53.

Определить максимальную часть ω кинетической энергии,которую может передать частица массой m1 = 2·10-25 кг сталкиваясьупруго с частицей массой m2 = 6·10-25 кг, которая до столкновенияпокоилась.3.54. Материальнаяr точка массой m1 = 2 кг, движущаяся соr rrскоростью v 1 = 3 i +2 j - k [м/с], испытывает неупругое столкновениес материальной точкой массой m2 = 3 кг, имеющей в моментr r rrстолкновения скорость v 2 = –2 i +2 j +4 k [м/с]. Определить скорость uтел после удара.3.55. Найти приращение кинетической энергии ΔEK системы издвух частиц с массами m1 и m2 при их абсолютно неупругомсоударении. До соударения скорости частиц составляли v1 и v2.3.56.Трилодкиодинаковоймассыmидут друг за другом с одинаковой скоростью v.

Из средней лодкиодновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью uотносительно лодки грузы массы m1. Каковы будут скорости лодок v1,v2, v3 после переброски грузов?3.57. Навстречу друг другу летят два шара с массами m1 и m2.Между шарами происходит неупругий удар. Известно, чтокинетическая энергия одного шара в n раз больше кинетическойэнергии другого. При каком условии шары после удара будутдвигаться в сторону движения шара, обладающего меньшей энергией?3.58. Определить долю энергии, теряемую частицей массы m1при упругом столкновении ее с неподвижной частицей массы m2,если после столкновения частица продолжает двигаться в прежнемили прямо противоположном (когда m1<m2)(когда m1>m2 )направлениях.

При каком соотношении масс m1/m2 потеря энергиимаксимальна?3.59. Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чегоrвозникла составная частица. Найти ее скорость v и модуль v, еслимасса у частицы 2 в η = 2 раза больше, чем у частицы 1, а их скоростиrrrrrrперед столкновением равны v 1 = 2 i + 3 j [м/с] и v 2 = 4 i – 5 j [м/с].583.60. Два шарика одинаковых масс налетают друг на друга соскоростями v1, и v2 под углом α и разлетаются после абсолютноупругого удара со скоростями u1 и u2. Найти угол β между скоростямиrru 1 и u 2.3.61. Движущаяся частица претерпевает упругое нелобовоестолкновение с покоящейся частицей такой же массы.

Найти угол,между векторами скоростей частиц после столкновения.3.62. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью v,попадает по линии центра в однородный шар массой М и радиусом r,находящийся в покое на гладкой горизонтальной поверхности.Происходит неупругий удар, в результате чего пуля проходит подиаметру через весь шар и застревает у его поверхности. ОпределитьF среднюю силу сопротивления движению пули.3.63.

В баллистический маятник, состоящий из материальнойточки массы M, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нитидлины l, попадает снаряд (материальная точка) массой m, летевшийгоризонтально с некоторой скоростью v0, и в результатевзаимодействия с M снаряд падает вниз, потеряв свою скорость. Каковмаксимальный угол α отклонения нити маятника от вертикали?3.64. Пуля массы m, летевшая с начальной скоростью v,пробивает один подвешенный груз массы m и застревает во второмподвешенном грузе той же массы. Пренебрегая временемвзаимодействия пули с грузом, найти количество теплоты Q1,выделившееся в первом грузе, если во втором выделилось количествотеплоты Q2.3.65.

На тросе висит небольшой ящик с песком, в которомзастревают пули, летящие горизонтально со скоростью v. Масса пулиm1, много меньше массы ящика m2. Трос отклоняется от вертикали наугол α. Какое число пуль n попадает в песок за единицу времени?3.66. От груза, висящего на пружине жесткости k, отрываетсячасть массыm.

На какую высотуmподнимаетсяпослепрекращенияколебаний оставшаяся часть груза?3.67. Тело массы m падает свысоты h без начальной скорости настоящую вертикально на полу пружинужесткости k и длины l (рис.3.11). НайтиhklРис.3.1159максимальную силу давления на пол.3.68. Два тела массамиm = 0,1 кг и m = 0,2 кг, связанныенитью и невесомой сжатой пружиной жесткостью k = 100 Н/м, лежатна гладкой горизонтальной поверхности. Затем нить пережигают. Впроцессе последующего движения максимальная скорость первоготела v = 2 м/с. На сколько была первоначально сжата пружина?3.69.

Два одинаковых теламассы m каждое, соединенныеmmпружиной жесткости k, лежат наkгоризонтальной плоскости (рис.3.12).Левое тело касается вертикальнойстенки.Какуюминимальнуюскорость, направленную к стенке,Рис.3.12надо сообщить правому телу, чтобыпри обратном движении от стенки оно сдвинуло левое тело?Коэффициент трения каждого тела о плоскость равен f. Пружина вначальный момент не деформирована.rvminm2m1Рис.3.133.70.Подставкамассыm1сполуцилиндрической выемкой радиусаRстоит на гладком столе (рис.3.13). Теломассой m2 кладут на край выемки иотпускают.

Определить скорость тела иподставки, когда тело проходит нижнююточку полусферы.3.71. На покоящееся тело массой m1 налетает со скоростью vтело массой m2. Сила, возникающая при взаимодействии, линейнорастет за время τ от нуля до значения F0, а затем линейно убывает донуля за то же время. Определить скорости тел после взаимодействия иколичество выделившейся теплоты Q.3.72. Ракета сечения S, двигаясь в космическом пространстве соскоростью u, попадает в облако неподвижной пыли плотностью ρ.Какую силу тяги F должны развивать двигатели ракеты, чтобы тамогла продолжать двигаться с той же постоянной скоростью? Ударыпылинок о ракету считать абсолютно неупругими. Изменением массыракеты пренебречь.60614.Динамика вращательного движения4.1.Основные понятия и законыМоментомсилыrотносительно неподвижнойrточкиОназываетсяαвекторноепроизведениеπ−αrрадиус-вектора r , провеhденного из точки О к точкеrrFприложения силы, на силу F О( рис.4.1).Рис. 4.1r r rM = r , F .

(4.1)Модуль этой величины равенM = rF sin α = Fh ,(4.2)где h = r sin α - плечо силы, т.е. кратчайшее расстояниеrот точки О доrrи F (см. рис.4.1).αлинии действиясилы,угол,междувекторамиrВектор Mперпендикуляренплоскости, в которой лежатrrперемножаемые векторы r и F , и направлен по правилу векторногопроизведения.Моментом импульса материальной точки m относительнонеподвижной точки О называется векторное произведение радиусrrrвектора r на импульс точки p = mvr r rL = [r , mv ].(4.3)Его модуль равенL = rmv sin α ,(4.4)r rгде α – угол между векторами r и p .rrЧтобы получить связь момента импульса L и момента силы M ,продифференцируеммомент импульса по времениrrrdL d r r ⎡ dr r ⎤ ⎡ r d (mv )⎤.(4.5)= [r , mv ] = ⎢ , mv ⎥ + ⎢r ,dt dtdt ⎥⎦⎣ dt⎦ ⎣rdr rПоскольку= v ,первое слагаемое в соотношении (4.5) равно нулю, аdt[ ]второе слагаемое можно записать в видеrr⎡ r d (mv )⎤ r rr,=r,F=M.(4.6)⎢⎣dt ⎥⎦Подставив (4.5) в (4.6), получим основное уравнение динамикивращательногоrr движения материальной точкиdL dt = M .(4.7)Рассмотрим систему из n материальных точек, на которуюдействуют k моментов внешних сил.[ ]61Моментом импульса системы материальных точек (тела)относительно неподвижной точки О называется сумма моментовимпульса всех точекr n r(4.8)L = ∑ Li .i =1Записав для каждой входящей в систему точки основное уравнениединамики вращательного движения (4.7) и просуммировав по всем точкамсистемы с учетом того, что сумма моментов внутренних сил равна нулю,получим основное уравнение динамики вращательного движения длясистемыr материальных точекdL k r(4.9)= ∑ M jвнеш ,dt j =1т.е.