рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 13

Трениямежду подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найтикинетическую энергию этой системы через t секунд после началадвижения.764.51.Нашероховатойдоске на расстоянии l от ееконца находится сплошнойцилиндр (рис.4.26). Доску→начинаютдвигатьсla0rускорением α 0 влево. СРис.4.26какойскоростьюотносительно доски будет двигаться центр масс цилиндра в тотмомент, когда он будет находиться над краем доски? Движениецилиндра относительно доски происходит без скольжения.4.52. На полый тонкостенныйцилиндр массы m намотана тонкая иневесомая нить (рис.4.27).

Свободныйконец нити прикреплен к потолку лифта,rдвижущегося вниз с ускорением a 1.Цилиндр предоставлен сам себе. Найтиускорение цилиндра относительно лифтаи силу натяжения нити. Во времядвижения нить считать направленнойвертикально.→ma1Рис.4.274.53. Горизонтальный тонкий однородный стержень AB массы mи длины l может свободно вращаться вокруг вертикальной оси,проходящей через его конец А.

В некоторый момент на конец B началадействовать постоянная сила F, которая все время перпендикулярна кпервоначальному положению покоившегося стержня и направлена вгоризонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня какфункцию его угла поворота ϕ из→начального положения.m4.54. Однородный шар массой mαдвижетсяпоступательнопогоризонтальнойплоскостиподrF,действиемпостояннойсилыприложенной, как показано на рис. 4.28под углом α к горизонту. КоэффициентРис.4.28трения между шаром и плоскостью f.

Определить силу F и ускорениешара.4.55. Маховик, имеющий начальную угловую скорость ω0,начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси77пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найтисреднюю угловую скорость маховика за все времяторможения.4.56. Однородный сплошной цилиндррадиуса R и массой m может свободно вращатьсявокруг неподвижной горизонтальной оси О(рис.4.29). На цилиндр в один ряд намотан тонкийшнур длины l и массы m. Найти угловое ускорениеT(x) цилиндра в зависимости отдлины xсвешивающейся части шнура.

Считать, что центрРис.4.29масс намотанной части шнура находится на осицилиндра.4.57. Шар диаметром d = 10 см катится без скольжения нагоризонтальной плоскости, делая n = 4 об/с. Масса шара m = 2 кг.Определить кинетическую энергию шара.4.58. Карандаш длиной l = 10 см, поставленный вертикально,падает на стол. Какую угловую и линейную скорость будет иметь вконце падения: 1) середина карандаша, 2) верхний его конец?4.59. На гладкой горизонтальнойlплоскости лежит тонкий однородныйстержень длины l = 1 м и массы m1. Поплоскости перпендикулярно стержнюMсо скоростью v = 20 м/с скользитшарик (материальная точка) массы m =m1/3. Как и с какой скоростью будетдвигаться после удара стержень, еслишарик после удара останавливается?mРассмотреть два случая: 1) шарикударяется в середину стержня;2)точка удара отстоит от серединыстержня на расстояние x = l/4. НайтиРис.4.30ηэнергии,котораядолюизрасходовалась на работу против сил неупругой деформации.

4.60.Стержень массы М и длины l, который может свободно вращатьсявокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через один изего концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтальногоположения в вертикальное (рис.4.30). Проходя через вертикальноеположение, нижний конец стержняупруго ударяет о малое тело массы m,лежащее на гладком горизонтальномlстоле. Определить скорость тела m послеудара.Lmm4.61. Тонкий стержень массой m и длинойmmРис.4.3178L подвешен за один конец и может вращаться без трения вокруггоризонтальной оси.

К той же оси подвешен на нити длиной l шариктакой же массы m. Шарик отклоняется на некоторый угол иотпускается. При какой длине нитишарик после удара о стержень остановится? Считать удар абсолютноупругим (рис.4.31).4.62. Математический маятник массы m и стержень массы M(рис.4.32) подвешены к точке А. Длина нити маятника l, длина стержняl. Маятник отклоняют, так что шарик поднимается на высоту h, Затемшарик отпускают и он сталкивается неупруго со стержнем. Как будутдвигаться шарик и нижний конец стержня после удара и на какиевысоты поднимутся?4.63. Решить задачу 4.62, если доудара нижний конец стержня был поднят навысоту h.4.64.Вертикальновисящаяоднородная доска длины L = 1,5 м и массойM =10 кг может вращаться вокруггоризонтальной оси, проходящей через ееhверхний конец.

В нижний конец доскиударяет пуля массы m = 10 г, летящаяРис.4.32горизонтально с начальной скоростью v0 = 600 м/c, пробивает доску ивылетает со скоростью v. Определить скорость v, если после ударадоска стала колебаться с угловой амплитудой α = 0,1 рад.4.65.ТонкаяпрямоA1угольнаяпластинаможет0свободно вращаться вокругm2АА1горизонтальнойоси(рис.4.33), совпадающей с однойxиз ее длинных сторон. Короткаяm1сторона b = 0,6 м. В точку B, b→находящуюсянижеосиvвращения на расстоянииxx = 0,5 м, ударяет пуля массы m1= 10 г, летевшая горизонтальноРис.4.33перпендикулярно пластине соскоростью v = 200 м/с.

Масса пластины m2 = 8 кг. Какую угловуюскорость приобретет пластина, если удар абсолютно упругий? Прикаком значении x в момент удара не возникнет горизонтальная силареакции оси, действующей на пластину?794.66 На гладкой горизонтальной поверхностилежит стержень длины l и массы M (рис.4.34). Вточку, на расстоянии x от середины стержняm абсолютно упруго ударяет шарик массы m,движущийся перпен-дикулярно ему. Найти x иxсоотношение масс M и m, при котором шарикпередал стержню всю свою кинетическуюlэнергию.4.67. Горизонтальная платформа массойm1 = 120 кг вращается вокруг вертикальной оси,Bпроходящей через центр платформы, делая n1 =8 об/мин. Человек массой m2 = 60 кг стоит приРисэтом на краю платформы.

С какой частотойначнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы вточку, расположенную от центра платформы на расстоянии половины еерадиуса? Считать платформу круглым однородным диском, а человека материальной точкой.4.68. На горизонтальный диск, вращающийся вокруг своей оси сугловой скоростью ω1, падает другой диск, вращающийся вокруг той же осис угловой скоростью ω2. Моменты инерции дисков относительно указаннойоси равны J1 и J2. Удар абсолютно неупругий. На сколько изменитсякинетическая энергия системы после падения второго диска?4.69. Человек массой m1 стоит на краю горизонтального однородногодиска массы m2 и радиуса R, который может свободно вращаться вокругнеподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр.

В некоторыймомент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение наугол ϕ1 относительно диска и остановился. Пренебрегая размерами человека,найти угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека.4.70. Однородный стержень длиной l висит на горизонтальной оси,проходящей через один из его концов. Какую угловую скорость ω0 надосообщить стержню, чтобы он повернулся на 90 °?4.71.

Частица массы M начинает двигаться соскоростью v0, составляющей угол α с горизонтом, погладкой внутренней поверхности вертикальногоθцилиндра радиуса R. Найти силу давления частицы настенку цилиндра.4.72. Цепочка массой m, образующаяокружность радиуса R, надета на гладкий круговойωконус с углом полураствора θ, вращающийся сРис.4.35ωвокругпостояннойугловойскоростьювертикальной оси (рис.4.35). Найти натяжение цепочки.805.Гравитационное поле5.1.Основные понятия и законыПо современным представлениям, в природе существует четыревидафундаментальныхвзаимодействий:гравитационное,электромагнитное, ядерное и слабое.

Последние два из них предметизучения ядерной физики. Большинство сил, с которыми оперируетмеханика относятся к нефундаментальным – сила упругости, силатрения.Важнымифундаментальнымисиламиявляютсягравитационные силы, выражение для которых дает закон всемирноготяготения: сила, с которой две материальные точки массамиm1 ипритягиваются друг к другу, прямо пропорциональны массамm2этих точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния междунимиrrrrrmmmm rF = γ 1 2 2 , F12 = γ 1 2 2 e12 , F21 = − F12 , F21 = F12 = F ,(5.1)rrrгдеγ = 6,67 ⋅ 10−11 м3 (кг ⋅ с 2 ) - гравитационная постоянная, e12 единичный вектор, направленный от первой точки ко второй (рис.5.1).rF12m1re12rrrF21m2РисГравитационноевзаимодействиеосуществляетсячерезгравитационное поле.

Тело массы M создает в пространстве вокругсебя гравитационное поле.Напряженностьюгравитационного поля называетсяrr Fg= ,(5.2)mrгде F - сила, действующая на точку массы m , помещенную вгравитационное поле, созданное телом массы M . Напряженность – этосила, действующая на единичную массу со стороны поля.Как всякое стационарное поле центральных сил, гравитационноеполеявляетсяпотенциальным,гравитационныесилы–консервативными. Напомним, что работа консервативных сил приперемещении по замкнутому контуру равна нулю. Например, придвижении спутника по орбите вокруг Земли работа гравитационныхсил равна нулю.Используя определение потенциальной энергии, данное втретьем разделе, получим выражение для потенциальной энергиигравитационного поля.81Работа консервативной гравитационной силы равна убылипотенциальной энергии dA = − dU . Проинтегрировав это соотношениеполучим выражение для потенциальной энергииααU = − ∫ F (r )dr = − ∫ 2 dr = + C ,(5.3)rrгде α - постоянная, С - постоянная интегрирования.

За ноль отсчетапотенциальной энергии можно принять любой уровень. Обычносчитают, что при r → ∞ U = 0 , следовательно, С = 0.rMm rПоскольку F = γ 2 er , т.е. α = − γMm , потенциальная энергияrчастицы массы m в гравитационном поле, созданном телом массы Mопределяется выражениемMmU = −γ.(5.4)rПотенциалом гравитационного поля называется величина, равнаяпотенциальной энергии частицы единичной массы в данной точке поляUϕ= .(5.5)mРабота, совершаемая силами гравитационного поля над частицеймассы m при перемещении ее из точки 1 поля в точку 2, равна убылипотенциальной энергии(5.6)A12 = −(U 2 − U1 ) = U1 − U 2 = m(ϕ1 − ϕ2 ) .Вслучаецентральноrg симметричного поля F = F (r )очевидно, чтопродифференцировав U или ϕ по r ,αdsSrr мы получим соответственноndsвыражения силы (5.1) инапряженности поля (5.2).Соотношения(5.1)-(5.6),записанные для материальныхточек массами M и m, будутсправедливы и для системы,состоящей из однородногоРис.