рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 19

Найти период колебания. Трениянет.6.54. Из тонкого однородного дискарадиусом R = 20 см вырезана часть,имеющая вид круга радиусом r = 10 смтак, как это показано на рис. 6.11.Рис.6.11Оставшаясячастьдискаколеблетсяотносительно горизонтальной оси О, совпадающей с одной из115образующих цилиндрической поверхности диска. Найти период Тколебания такого маятника.6.55. Математический маятник длины l0 = 40 см и тонкийоднородный стержень длины l = 60 см совершают синхронно малыеколебания вокруг горизонтальной оси. Найти расстояние от центрастержня до этой оси.6.56. Материальная точка массой m = 0,1 г колеблется согласноуравнению x = 5 sin(20t) см.

Определить максимальные значениявозвращающей силы F и кинетической энергии Wкин точки.совершает6.57.Точкагармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 5 sin(2t)см. В момент, когда возвращающая сила впервые достигла значения F= +5 Н, точка обладала потенциальной энергией П = 100 мкДж. Найтиэтот момент времени и соответствующую ему фазу колебаний ϕ.6.58.Определитьотношениепотенциальнойэнергиигармонически колеблющейся точки к ее кинетической энергии, еслиизвестна фаза колебаний.6.59. Материальная точка совершает колебания по законуx = x0 sin(2πt + π/6) см.

В какой момент времени ее потенциальнаяэнергия равна кинетической?6.60. Тело массой m движется под действием силы F = F0cos(ωt).Найти выражение для кинетической энергии тела. Определитьмаксимум кинетической энергии (при t = 0, v = 0 ).6.61. На горизонтальной пружине жесткостью k = 800 Н мукреплено тело массой М = 4 кг , лежащее на гладкой горизонтальнойповерхности. Другой конец пружины прикреплен к вертикальной стене(рис.

6.12.). Пуля, массой m = 10 г ,летящая сrMскоростьюmv0 горизонтальнойv0 = 600 м с , попадает в тело изастревает в нем. Пренебрегая массойпружины и сопротивлением воздуха,Рис.6.12определить:1) амплитуду колебаний тела; 2) период колебаний тела.6.62. В в воде плавает льдина с площадью основания S = 1 м2 ивысотой H = 0,5 м.

Льдину погружают в воду на небольшую глубинуx0 = 5 см и отпускают. Определить период ее колебаний. Плотностьльда ρл = 900 кг/м3, плотность воды ρв = 1000 кг/м3. Силойсопротивления воды пренебречь.6.63. На концах тонкого стержня длиной l = 30 см укрепленыодинаковые грузики по одному на каждом конце. Стержень сгрузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей черезточку, удаленную на d = 10 см от одного из концов стержня.116Определить приведенную длину lпр и период t колебаний такогофизического маятника. Массой стержня пренебречь.6.64.

На стержень длиной l = 30 см укрепили два одинаковыхгрузика - один в середине стержня, другой - на одном из его концов.Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси,проходящей через свободный конец стержня. Определитьприведенную длину lпр и период t колебаний такой системы. Массойстержня пренебречь.6.65. Физический маятник представляет собой тонкийl = 35 см . Определить на какомоднородный стержень длинойрасстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частотаколебаний была максимальной.6.66. Два математических маятника, длины которых отличаютсяна Δl = 16 см , совершают за одно и то же время одинmn1 = 10n2 = 6 колебаний.колебаний, другойОпределить длины маятников l1 и l2 .xM6.67.

Маятник метронома представляет собой грузM , качающийся около оси O , с прикрепленной к немуOспицей, по которой может перемещаться малый груз maC(рис. 6.13). Как зависит период колебаний маятника откоординаты x грузика? Момент инерции груза M равенI. Груз т считать материальной точкой.6.68. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, Рис.6.13вбитый горизонтально в стену,колеблется вплоскости, параллельной стене. Радиус обруча R = 30 см.

Вычислитьпериод колебаний.6.69. Диск радиусом R = 24 смколеблется около горизонтальной оси,проходящей через одну из образующихцилиндрической поверхности диска.Каков период его колебаний?6.70. На тонкой нити длиной lподвешен шар радиусомr = 0,1l.Какова относительная погрешность вопределении периода колебания, еслимаятник считать математическим?m2RO2mRO1Рис.6.146.71. Обруч радиуса 2R имеет массу m иприварен к другому такой же массы и радиуса R1 (рис.6.14). Системастоит на горизонтальном столе. Определить период Т ее малыхколебаний.1176.72.

Шарик радиуса r катается по внутренней поверхностицилиндра радиуса R, совершая малые колебания около положенияравновесия . Найти период колебаний.6.73. Период колебаний крутильного маятника t0 = 4 с. Если нарасстоянии а = 0,5 м от оси колебания к нему прикрепить шар массойm = 0,3 кг (радиус шара r<<d ), то период колебаний станет равным T1= 8 с. Определить момент инерции маятника.6.74. Физический маятник совершает малые колебания вокруггоризонтальной оси О с частотой ω1 = 15 с-1.

Если в положенииравновесия к нему прикрепить под осью О на расстоянии l = 20 см отнее небольшое тело массы m = 50 г, то частота колебаний становитсяω2 = 10 с-1.Найти момент инерции первоначального маятникаотносительно оси О.6.75. Тонкая однородная пластинка в форме равностороннеготреугольника с высотой h совершает малые колебания вокруггоризонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найтипериод колебаний и приведенную длину данного маятника.RmРис.6.156.76. Найти частоту малых колебаний системы,показанной на рис. 6.15. Известны радиус блока R,его момент инерции J относительно оси вращения,масса тела m и жесткость пружины k. Массы нитии пружины пренебрежимо малы, нить по блоку нескользит, трения в оси блока нет.Начальнаяамплитудаколебаний6.77.математического маятника A1 = 20 см, амплитудапосле 10 полных колебания равна A10 = 1 см.Определитьлогарифмическийдекрементδзатухания и коэффициент затухания β, если периодколебания Т = 5 с.

Записать уравнение колебаний.6.78. Гиря массой m = 500 г подвешена к спиральной пружинежесткостью k = 20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторойсреде. Логарифмический декремент затухания λ = 0,004. Сколькоколебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда A колебанийуменьшилась в два раза? За какое время t произойдет это уменьшение?6.79. Жесткость пружин рессоры вагона k = 481 кН/м. Массавагона с грузом m = 64 т.

Вагон имеет четыре рессоры. При какойскорости v вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков настыках рельс, если длина рельса l = 12,8 м?1186.80. Затухающие колебания точки происходят по законуx = a0 e −βt sin(ωt). Найти: а) амплитуду смещения и скорость точки вмомент t = 0; б) момент времени, когда точка достигает крайнихположений.6.81. Тело совершает крутильные колебания по законуϕ = ϕ0 e −βt cos ωt.

Найти: а) угловую скорость ϕ& и угловое ускорение&& в момент t = 0; б) момент времени, когда угловая скоростьтела ϕмаксимальна.6.82. Математический маятник совершает затухающие колебанияс логарифмическим декрементом затухания λ = 0,2. Во сколько разуменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении заодно колебание?6.83. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания смаксимальной амплитудой Amax = 7 см, начальной фазой ϕ0 = 0 икоэффициентом затухания β = 1,6 c-1. На это тело начала действоватьвнешняя периодическая сила F, под действием которой установилисьвынужденные колебания.

Уравнение вынужденных колебаний имеетвид x = 5 sin(10πt - 3π/4) см. Найти (с числовыми коэффициентами)уравнениесобственныхколебанийиуравнениевнешнейпериодической силы.6.84. Осциллятор массы m движется по закону x = α sin(ωt) поддействием вынуждающей силы Fτ = F0 cos(ωt). Найти коэффициентзатухания β осциллятора.6.85.

Горизонтальный однородный дискмассы m и радиуса R укреплен на конце тонкогостержня АО (рис.6.16) при повороте диска наугол ϕ вокруг оси АО, на него действует моментупругих сил Nz = –kϕ, где k - постоянная. Найтиамплитуду малых крутильных колебаний и ихэнергию, если в начальный момент дискотклонили на угол ϕ0 из положения равновесияи сообщили ему угловую скорость ϕ& 0 .AOϕ0Рис.6.161197.Элементы специальной теории относительности(СТО)7.1.Основные понятия и законыДля описания движения со скоростями, близкими к скоростисвета, Эйнштейном была создана релятивистская механика, т.е.механикаучитывающаятребованияспециальнойтеорииотносительности (СТО).СТО представляет собой физическую теорию пространства ивремени для случая пренебрежимо малых гравитационных полей.

В ееоснову положены два постулата.Первый постулат – принцип относительности Эйнштейна: всезаконы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.Неизменность вида уравнений при замене в них всех координати времени одной системы отсчета на соответствующие величиныдругой системы называется инвариантностью. Поэтому первыйпостулат можно сформулировать иначе: уравнения, выражающиезаконы природы, инвариантны по отношению к преобразованиямкоординат и времени при переходе от одной инерциальной системыотсчета к другой.Второй постулат – принцип постоянства скорости света:скорость света в вакууме ( c = 3 ⋅ 108 м с ) одинакова во всехинерциальных системах отсчета и не зависит от движения источникови приемников света.Врелятивистскоймеханикерассматриваютсятолькоинерциальные системы отсчета.

Во всех задачах считается, что осииy , y′z , z′yy′сонаправлены, x иKK′совпадают, аx′скоростьv0rv0системы координатотносительноx′ K ′xOO′K′ системыxнаправленавдольобщей осиxx′v0tx′ Рис.7.1z(рис.7.1).z′′Преобразования Лоренца – преобразования координат ивремени при переходе от системы K к K ′120x′ + v0t ′t ′ + v0 x′ c 2, y = y′, z = z′, t =.(7.1)1 − v02 c 21 − v02 c 2Из преобразований Лоренца вытекает преобразование скоростейv y′ 1 − v02 c 2vz′ 1 − v02 c 2vx′ + v0vx =, vy =, vz =, (7.2)1 + v0vx′ c 21 + v0vx′ c 21 + v0vx′ c 2где vx′ , v y′ , vz′ - компоненты скорости в системе K ′ , vx , v y , vz компоненты скорости в системе K .При малых скоростях преобразования Лоренца (7.1) переходят впреобразования Галилея(7.3)x = x′ + v0t ′, y = y′, z = z′, t = t ′ ,а преобразования скоростей (7.2) принимают видvx = vx′ + v0 , v y = v y′ , vz = vz′ .(7.4)Таким образом, более общая физическая теория СТО включает всебя известную теорию как частный случай.