Соболев С.К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах (2004), страница 4

ел+ 1 Следовательно, эта ветвь имеет асимтоту у = Зх + 7. Сравнивая с нулем разность у(Ф) — (Зх(Ф) + 7) = — 4е' < О, получаем, что кривая все время находится ниже этой асимптоты (рис, 36). П Рие. 36 Рис. 37 Кривая, заданная в полярных координатах, может иметь прямолинейные асимптоты только тех бесконечных ветвей, которые соответствуют конечным односторонним стремлениям в» -+ ага+ или гр -» <ро-, А именно, прямая т в!п(уг — гро) = р является прямолинейной асимптотой бесконечной ветви, соответствующей стремлению !в -» у»с <=» 1!шт(у) = +со н Етт(в») в1п(⻠— ус) = р(при гр — » !»с) Пример 13.

Найти асимптоты бесконечных ветвей кривой т = 'Р— —, отве щющнх стремлениям у -» к —, р — » гг+. вш в» Решение. Находим а) при ~р -+ к-; р = 1!гпт(в») в1п(р — и) = 11гп —, х (с в(п ~р х( — в1пв») = -к. Уравнение асимптоты: тв!п(ч» — л) . = = — я е» т гйп уг = и «» у = я (в декартовых координатах). б) Из соображений симметрии сразу получаем асимптоту у = — и (в декартовых координатах) (см. рис. 34), П 5, УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ, ОСОБЫЕ ТОЧКИ Если функции т(Х) и у(Х) дважды дифференцируемы, то существует первая и вторая производные вектор-функции г(Х) = к(Х) !+ +у(Х)3: гг(Х) = — = тГ(Х) г + уг(Х) 1, г(Х Яг гв(Х) ~в(Х) ! + ув(Х) гХХ Производную по Х мы иногда будем обозначать точкой: т = л'(Х), у = у"(Х), Если параметр Х интерпретировать как время, х(Х) и у(Х) — как координаты двих<ущейся точки М(Х) в зависимости от вре- мени Х, а саму линию Š— как траекторию движущейся точки, то вектор ч(Хс) = г'(Хс) есть вектор мгновенной скорости в момент Х = Хс, а вектор а(Хв) = г" (Хс) — вектор мгновенного ускорения в момент Х = Хс (рис, 37).

Если г'(Хс) ф О, то вектор ч = г'(Хс) направлен по касательной к кривой Е в точке, соответствующей значению Хс. Точка, в которой Ф-+Во х/(г) = р/(2) = О, ! т'(/рс) = т(/рс) сьй//с, Рис. 38 тоз1п//с в!п(00 нли г'(гс) = О, называется особой. Таким образом, в ревулярной (нео- собой) точке Мс(хс, 'рс), где хс = х(Зс), рс = р(Зс), кривая имеет касательную, задаваемую каноническим уравнением — е» р ("сКх хс) = х (гс) (р — рс). (6) х (зв) р (1с) Аналогично, находим уравнение касательной к кривой, заданной в полярных координатах, Координатами касательного вектора здесь также служат производные х„, и р„„которые вычисляются по формулам: х' = (тсов7»)/„, = т, 'сов/р — твт/р;1 (7) р„' = (тв1п/р)' = т, 'ип/р+ тсов/р, )' Уравнение касательной к кривой т = т(/р) можно получить и непосредственно в полярных координатах, Для этого надо воспользоваться геометрическим смыслом производной т„',: где Ос — угол между радиус-вектором г(/рс) и касательным вектором в точке Мс(/рс, т(/ро) ), (см, рнс.

38), Уравнение касательной к кривой т = т(р) в ес точке Мс(/рс, тс1 имеет вид то з т= / тс сов Ьр — тс в1п /з/р то где то = тс(/рс). т/с = та(/ро), Оа = агсвй( —,) А'р = /р тс В особой точке Мс(хо1 ро) кривой, заданной параметрически уравнениями х = х($), р = р($), также может существовать касательная, если х(г) и р($) непрерывны при $ = зо и существует конечный или бесконечный предел В этом случае Й является угловым коэффициентом касательной и ее уравнение (при конечном й) имеет вид р — рс = Цх — хс).

При й = ос касательная параллельна оси ОУ н имеет уравнение р = ро. Пример 14, Найти уравнения касательных к кривой х = 1з— -бтз+ 12$ — 5, р = Зз — 41 + 2 в точках Мз и Мз, соответствующих значениям 1 = 1 и $ = 2, Решение. Находим х/(1) = Згз — 121 + 12 = 3(ь — 2)з, р'(Ф) = = 21 — 4 = 2($ — 2). В точке Мг (при 3 = 1) х'(1) = 3, р'(1) = -2, х(1) = 2, р(1) = -1, Уравнение касательной, согласно (б), имеет вн д х — 2 р+1 — = — с» 2х + 3р — 1 = О, 3 -2 В точке Мз (при 1 = 2) х(2) = 3, р(2) =- — 2, х'(2) поэтому зта точка особая, Вычисляем предел; р'(1), 2(з — г) х = 1пп — = 11ш — = оо.

/-/з х'(Ф) /-/з 3(1 — 2)з Следовательно, в этой точке касательная параллельна оси ОУ и ее уравнение х = 3, П 'р Пример 15, Найти уравнение касательной к кривой т = 18 — в 2 и ее точке Мс, соответствующей /рс = —. 3' Решение. Находим: "(3) ~ ) 3' () . '()* гсо Р® о- ~3)-3 З~/3 соя у + я(п х ' х(1)1+ рЩ Л~гягг ю~~Р (10) Рис. 39 б) Здесь х = Зтз, 1) = 41з, ~(2$ — 3)1 + 2) . ~31 + 2) = 1пп ~~~ — з) -';4 Гз 40 Отсюда, согласно (9), уравнение касательной в полярных координа- тах г— зг ъ/3 сов(~р — з ) — 2 з(п((а — кз) или, после упрощения, В декартовых координатах уравнение этой касательной имеет вид З~ГЗх + р = 2.

Отметим, что уравнение можно было бы также найти, перейдя к параметрическим уравнениям этой кривой; х = тсовх = 1йпз совУ, Р = тв(пр = сбавя а(пх, азатам вычислив х' и у при х = —, П 3 Если Мс — особая точка кривой г = г($), отвечающая 1 = то, то имеет смысл вычислить предельные значения нормированного (единичного) касательного вектора при1 — > 1с+ и прн1 — ~ ФоПредположим, что оба эти продела существуют. Обозначим их тр(1с+) и чс(1с-) соотнетствешю. Возможны три случая, 1, чо(1с+) = чо(тс-); в этом случае Мс называется щочкой аяадкосви (касательный вектор в точке то не меняет своего направления).

2. чс(«о+) = — чо(то — ); в этом случае Мс называется точкой возврата (касательный вектор в точке 1о меняет свое направление на противоположное). 3. ъс(Хс+) ф чо(1о — ),т. е. некторы чс(1о+) и чс(1о-) образуют некоторый угол строго в пределах от 0' до 180', В этом случае Мо — тпочха взлома. В точках гладкости и возврага кривая имеет двусторонн1ою касательную, а в точке излома — две различные односторонние касательные. Отметим, что регулярная точка всегда является точкой гладкости, и поэтому точками возврата и излома могут быть только особые точки кривой. Пример 1б, Исследовать характер особых точек при 1 = 0 кривых: а) х = 1~+ 2 р = 1~ — 3; б) х = 1~+ 2, р = $~ — 3; в) х = (Ф вЂ” 3) ° (4, ц = 21 — 1.

Решение, а) Здесь х =- 31з у = 21, х(0) = ))(О) = О, 31~1+ 213, 211 ъс(Ох) = 1пп =- 1пп — = ~З, Ф-ю* ~/я4 + тз ь->с*,д~2 Следовательно, особая точка Мс(2, — 3) — точка возврата, единич- ный касательный вектор при $ = 0 меняет свое направление с -3 на 1 «рис, 39). Зтз1+,Цз Зтг1 чс(0~) = 11п1 = 1пп — = Е * лР ттбЙ~ ' * 9Й~ Следовательно, Мс(2; -3) — точка гладкости (см. рис. 40), в) Находим х = (21 — 3) зяп(1) (при1ф О), у = 2, Рис. 40 Следовательно, Мс(0; -1) — точка излома, в ней кривая имеет раз- личные односторонние касательные (см, рис. 4!), Рис. 42 Пример 17, Найти угловой коэффициент предельного положе- 2 — $ е~ ния касательной к кривой х = —, у = — в ее асимптотической точке, отвечающей стремлению $ -~ — со.

Решение, Находим: )1тп х(1) — 1; 1пп У($) =0; <,р $-+-се е'(г — 1) х'®=- —,; у(1)= ;р) 1, 4-1 г 1 1 )тп ~. ° Ещ = ~ — ~ = -- 11тп — = Π— — — ге — -еИтак, в точке Мс( — 1, 0) данная кривая асимптотически касается оси ОХ (см, рис, 42). П Рис, 41 Если Мс — предельная (асимптотическая) точка кривой х = х(1), у = у($), отвечающая стремлению 1 -+ ~р, то имеет смысл найти в ней предельное положение касательной, угловой коэффициент к которой находится как предел 42 6. УЧАСТКИ МОНОТОННОСТИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ВЕРШИНЫ КРИВОЙ Для построения кривой х = х(г), у = у(Е) важно знать промежутки монотонности и точки экстремума каждой из координатных функций, которые полностью определяются знаками производных х'(С) и у'ф, т.

е. направлением касательного вектора. В регулярных точках возможны следующие восемь качественных случаев знаков этих производных и соответствующей ориентации касательного вектора: 43 »'>О я'>О х <О и' > О х <О Р О х' < О р'<о х' = О я'<о х' > О я' < О х' > О у'=о Например, если для всех г Е (г1, 1з) х'(Ф) < О, у'(е) > О, то Мз на этом интервале х(1) убывает, у(с) возрастает, касательный век- М тор направлен на «севсро-запад», и по мере увеличения параметра г от $г до 1з точка М(г) кривой М1 псрсмсщается «вверх и влево» от точки Мз = М(гг) до точки Мз = М(гз). Если же, сявкам, х'(11) = О и у'(11) > О, та в точке Мг касательный вектор направяен строго «вверх», т.

е, сонаправлен оси Ог" (см, рис, 43), Если лри г = гс одна из координатных функций х(~) (или у(1)) имеет экстремум, то в окрестности точки МО(ха;уо), где хс = х(1с), ус = у(1с), кривая расположена по одну сторону от прямой х = хо (соответственна, у = уо). Такие точки называются вершинами (х-вершинами и у-вершинпми соответственно), Точки кривой, отвечающие локальным максимумам и минимумам координатной функции х($), назывиотся соответственно правыми и левыми х-вершинами, а точки локального максимума и минимума координатной функции у(1) — верхними и нижними у-вершинами соответственно.