Соболев С.К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах (2004), страница 6

ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ КРИВОЙ„ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ И В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Для построения кривой я = х(г), р = р(Е) или т = т(<р) следует выполнить следующие действия. 1, Найти область изменения параметра 1 (угла у), 2, Исследовать расположение кривой относительно координатных асей. 3. Исследовать симметрии кривой. 4. Исследовать поведение кривой в точках разрыва н при $ -+ хса, т. е. выявить асимптотические точки, бесконечные ветви и аснмптоты, 5. Исследовать периодичность координкгных функций ж(4) и у(1) илн функции т(1о) и сделать соответствующие выводы. 6. Вычислить производные ж($) и р(1) и с помощью них исследовать координатные функции на монотонность и найти х- и увершины.

7. Для кривой в полярных координатах монотонность координатных функций и соответствующие вершины иследовать с помощью производных х'(у) = т'(у) сов~р — ~фр) яшар, у'(~р) = т'(~р) в1лу>+т(1е) соэ(у), Кроме того, исследовать монотонность самой функции т(р) с помощью т'(у) и найти соответствующие т-вершины, 8. Исследовать характер особых точек (точки гладкости, возврата или излома), 9. Вычислить ж($), р(1) и показатель выпуклости у(1) = жу' — жр, определить критические точки второго порядка (в которых у(1) = О или не существуют). Определить знаки у(4) в интервалах ее знакопостаянства и с помощью них определить участки положительной и отрицательной выпуклости и выявить характер критических точек второго порядка (точки выпуклости или перегиба, возврата первого или второго рода).

В случае кривой т = т(у) показатель выпуклости находится по формуле 7(1о) = тз — т тл+ 2(т')з, 10. Исследование знаков ж($), у(1) и у(1) целесообразно сделать в таблице, содержащей пять строк: для 1, для х, для у, для у(1) и для пояснений. Таблица должна содержать столбцы, соответствующие в порядке возрастания 1 всем точкам разрыва, критическим точкам для т(1) и всем интервалам, иа которые эти точки разбивают область определения. Строки, соответствующие х, у и у заполюпатся символами «+», «-», «О» или «а», В последней строке искривленной стрелкой обозначают поведение кривой на соответствующем промежутке (направленне вектора касательной с учетом знака выпуклости).

А именно, в случае у > 0 ставят.л (при х > О, у > О), '~ (при ж < О, у > 0), 1т (при ж < О, у < 0) и ~ (при х > О, у < 0), а вслучаеу < Оставят у«(при ж > О, у > 0), 1~(при х < О,у > О), I (при х < О, у < О) и ~ (при ж > О, у < О), В этой же строке в столбцах, соответствующих критическим точкам, делают выводы о наличии ж- и у-вершин, точек перегиба или возврата, 11. В случае задания кривой в полярных координатах вместо строк для ж'(~р) и у'([о) (или в дополнении к ним) в таблицу помещают строку для т'( р).

В этом случае рядом с искривленной стрелочкой рисуют еще и точку, символизирующую полюс (начало координат), Например, в случае у > 0 ставят ~ (при ж' < О, у' > О, т' > 0), к (при х' < О, у' < 0 и т' < О), а в случает < О ставят,т»' (при х' > О, у' > 0 и т' > 0) и ч (при ж' > О, р' < О и т' < 0), 12. Для уточнения положения кривой следует найти точки ее самопересечения. 13. В характерных точках (вершинах, точках перегиба и возврата) найти упювой коэффициент касательной, В асимптотических точках найти предельное полол<ение касательной.

! 4. Желательно (на не обязательно) вычислить кривизну К(1) и найти главные вершины кривой. 15, Построить эскиз кривой на основании пп, 1 — 14, 10. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 12 Пример 20. Исследовать и построить кривую х = —, у = 1 — 1 ез 1+3 54 55 5б — 21 „2 (г) = —, л(г) =— (1 — 1)з ' (Г 1)з Решение, Область определения; 1 ф 1 и З 7Ь 3, При 1 < -3 х(г) < 0 и у(8) < 0 кривая расположена в РП квадранте; при -3 < Ф < 1 х(г) < О, у(г) > 0 — во П квадранте; при $ > 1 х($) > О и д(Ф) > 0 — в 1 квадранте, Оси координат пересекаются в их начале (при $ = О). Кривая непрерывна на каждом нз интервалов (-оо; — 3), (-3; 1) и (1>+со) и поэтому состоит из трех непрерывных (но не связных между собой) частей. Кривая имеет шесть бесконечных ветвей, соответствующих стремлениям; 1) Ф -+ 1+ (при этом х(т) -+ +оо, д(т) — ~ 1/4); 2) 1 -+ 1- (при этом х -+ — со, д -+ 1/4); Э) Ф -+ -3+ (х -+ -9/4, у -+ +со); 4) 1 — ~ — 3- (х -+ -9/4, д — > — оо); 5) т — ~ +со (х -+ +оо, у -> +со); б) 3 -~ — оо (х -~ -со, у -~ -оо).

Прямая д = 1/4 является горизонтальной аснмптотой первых двух бесконечных ветвей, точнее, правая ее часть — ветви Ф -~ 1+, а левая — ветви 3 — ~ 1-. Аналогично, прямая х = — 9/4 является вертикальной аснмптотсй третьей и четвертой ветвей, а именно, верхняя ее часть — ветви а -+ — 3+, нижняя — ветви 3 -~ — 3-, Проверим наличие наклонных асимптот последних двух ветвей. Находим: Й = 11гп — = 1цп — = 1, д(1) х(1) ь З+ 3 ; ~г зз с= 11пт (у(1) — й х(8)) = Цш ( — —— ~-и ~-~ос г + 3 г — 1~ 4гз Ф-к ($ + 3) (Ф вЂ” 1) Следовательно, прямая у = х — 4 является наклонной асимптотой ветвей т -~ +ос и а — > -оо, точнее, правая (верхняя) ее часть— ветви Ф вЂ” > +ос, а левая (нижняя) — ветви $ -+ — оо, Теперь находим производные и критические точки: д'И) =, длИ) =— аз Ч бг. „18 (т+3)" (1+3)з' без(2г — 9) 7(г) = х у — х д = (1 1)з(З 1 3)з Отсюда х' = 0 при г = 0 и 3 = 2, х' не существует при 1 = 1; у' = 0 при 4 = 0 н $ = — 6, у' не существует при $ = 3; 7 = 0 при 1 = О и 1 = 9/2; 7 не существует при Ф = 1 и г = -3, 1 Получаем критические точки: М1(-7-; — 12) при З = -6, Мз(0, О) при $ = О, Мз(4, -) при $ = 2„М4(6 — 4, 2 — ) при а = 6.

Точка Мз — особая, так как х'(0) = у'(0) = О, Составляем таблицу: В особой точке Мз (О, 0), соответствующей 1 = О, находим угловой коэффициент касательной (а+ 6)(1 — 1)' 1 )с = 1пл —, = йт в-+с х' с-ьс (т — 2)(Ф+ 3)з 3 Других точек пересечений с осями координат и точек самопересечений нет. Теперь на основании таблицы и асимптот строим кривую (рис. 51), П у'(т) = 21 — 2, у"(з) = 2; 7($) = х'у" — х"у' = 2е' (3 — Зв), Отсюда х' = 0 при х = -1 у' = 0 при т = 1, у = 0 при 1 = ~ /3. Получаем четыре критические точки. Мз = (-~/Зе ~~; 3 + 2ъ/3) прил = -ъ~З; Мя( — ~;3) при 1 = — 1; Мз(е,-1) при $ = 1 и М4(Ле~~;3 — 2ъ'3) приз = ь/3. Особых точек нет.

Составляем таблицу; Пример 21. Исследовать и построить кривую х = $е', 12 Рещение, Функции х(х) и у(ь) определены н непрерывны при всехт е ть.К иваяи р меет две бесконечные ветви, соответствующие стремлениям х -+ +со (при этом х -> +со и у -> +со) и $ -> -оо (при этом х = +оо) Отсюда сразу следует, что прямаях = 0(е в ( е ерхияя часть) является вертикальной асимптотой ветви 1 — ~ -оо. Проверим наличие асимптоты ветви $ -~ +со; у(т), 1 — 2 оо ~-~+оо е' 6 = 1!ш (у — й ° х) = 1пп (тя — 2З) = +ос. Итак, эта ветвь асимптоты не имеет.

Найдем теперь производные и критические точки: х (т) = е' (4+ Ц, х" (т) = е' (1+ 2); 53 Находим точки пересечения кривой с осями координат: х = 0 при х = Π— точка (О; 0); у = 0 при 1 = 0 и при $ = 2, при этом х = 2ез. Точек самопересечений нет. Угловой коэффициент касательной к кривой в начале координат равен Й = — = -2, Теперь у'(О) х'(О) строим кривую (рис. 52). П Пример 22. Исследовать и построить кривую х = ~/Зз — бт, у = Д~+ 2$.

Решение. Функция х($) существует только при тз — б1 > О, т. е. при $ е (-оо;О] 0 [б; +со). Точно так же функция у(1) существует только при $ е (-со; -2[ 0 [О; +со). Поэтому кривая определена только на пересечении этих множеств, т. е. только при те ( —; — 2[ и [б;+оо). 4+1 Л'+ 21' Рис.

52 60 Кривая имеет две бесконечные ветви, отвечающие стремлениям З-++ос и и -+ +со (при этом х -+ +ос и д -> +оо) и 3 -+ — со (при этом тоже х -> +со н р -+ +со), Проверим наличие асимптот у этих ветвей; ф~$), ~Ж+ 2$, з+ 2 с-+со х($) ~-+оа,Я 64 г-~оо $ — 6 Ь= 11т(р-й х) = йт(~/д+гЗ- /Г~-И) = 1, (за+ 24) — Рз — 6$), Вз 1пп = 1пп " +~' ~/Зз + 2$ + Л~ — 6З "И! И1+2+ /1з) поскольку ~/Р = 1г1. Первый из этих пределов одинаков при г — з + +со и З вЂ” > — оо, а второй равен+4 приз — > +ос и -4 приз -~ -оо. Итак, прямая р = х + 4 (точнее, ее верхняя, или правая часть) является асимптотой ветви 8 — > +со, а прямая р = х — 4 (тоже ее верхняя, или правая часть) — ветви Ф -+ — со.

Находим производные функций х(Ф) и р(г) и критические точки; з — 3 „9 х = —, 'е — я ~~~ — бд)~ аз(2З + 9) 7(г) х рл — хер! 4(21+ 9) ~~ — 6) (~ ~-2) В области существования кривой х' ф О и р' ф О при всех З, х' не существует при З = 6, у' не существует при $ = — 2; у = О при 1 = -9/2 и не существует при З = -2 и г = 6. Критические точки: Мг Я42111 з~/5) при 4 = — 9/2, Мз(4, О) при $ = -2 и Мз(О;4~/3) при г' = 6.

Точки Мз и Мз — особые. Находим в них угловой коэф- фициент касательной, В точке Мз (при г = -2) (з+1) /з' бз й = 11гп =со, — — ($ — 3)ли + 21 Следовательно, в точке Мз касательная вертикальна, Аналогично, в точке Мз (прн З = 6), /:ч — -6- )г= 11га —,= 1пп =О, Ф-~0+ х~ с-~е+ ($ — 3)Д2+ 2З т. е. в тачке Мз касательная горизонтальна, Составляем таблицу; Наконец, строим кривую (рис. 53). П ргЯ = 2соз2С, у"(1) = -4згп21', Т(1) = х'рл — хггу' = 4зшЕзш2$+ 2созйсоз2З = 2созг(4зш г+ соз2г) = 2созг(2 — 2созг). Рне. 53 Пример 23.

Исследовать н построить кривую х = сов г, р = = зш23. Рещение. Функции х(г) и у(г) всюду определены и непрерывны. Поскольку х(г) — четная функция, а р(г) — печетная, то зта кривая симметрична относительно оси ОХ. Поэтому ее можно построить лишь для положительных 1, а потом отразить, Функции сов г и з~ш 2г имегот общий период 2гг, поэтому тачки кривой повторяются через каждые 2к. Следовательно, достаточно исследовать кривую для значений г е (О; гг), Кроме того, х(гг — г) =. -х(г), р(к — г) = р(1), значит, кривая симметрична и относительно оси ОУ. Функции х(г) и р(х) ограничены, поэтому бесконечных ветвей и асимптот нет. Найдем производные и критические точки: х (1) = — зш х'(г) = — созг, б2 Заметим, что 2 — соз 2б > 0 для всех $.